离散数学及其应用(课后习题)习题1.1
2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
(3)大雁北回,春天来了。
(4)不是东风压倒西风,就是西风压倒东风。
(5)张三和李四在吵架。
解:(3)和(4)是复合命题,(5)是原子命题。
习题1.2
1. 指出下列命题的真值:
(1)若
,则太阳从西方升起。
解:该命题真值为T(因为命题的前件为假)。
(3)胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解:该命题真值为F(如鸭嘴兽虽是哺乳动物,但不是胎生动物)。
2. 令P:天气好。Q:我去公园。请将下列命题符号化。
(2)只要天气好,我就去公园。
(3)只有天气好,我才...
习题1.1
2. 指出下列命题是原子命题还是复合命题。
(3)大雁北回,春天来了。
(4)不是东风压倒西风,就是西风压倒东风。
(5)张三和李四在吵架。
解:(3)和(4)是复合命题,(5)是原子命题。
习题1.2
1. 指出下列命题的真值:
(1)若
,则太阳从西方升起。
解:该命题真值为T(因为命题的前件为假)。
(3)胎生动物当且仅当是哺乳动物。
解:该命题真值为F(如鸭嘴兽虽是哺乳动物,但不是胎生动物)。
2. 令P:天气好。Q:我去公园。请将下列命题符号化。
(2)只要天气好,我就去公园。
(3)只有天气好,我才去公园。
(6)天气好,我去公园。
解:(2)
。
(3)
。
(6)
。
习题1.3
2. 将下列命题符号化(句中括号内提示的是相应的原子命题的符号表示):
(1)我去新华书店(P),仅当我有时间(Q)。
(3)只要努力学习(P),成绩就会好的(Q)。
(6)我今天进城(P),除非下雨(Q)。
(10)人不犯我(P),我不犯人(Q);人若犯我,我必犯人。
解:(1)
。
(3)
。
(6)
。
(10)
。
习题1.4
1. 写出下列公式的真值表:
(2)
。
解:该公式的真值表如下表:
0 0 0
1
1
0 0 1
1
1
0 1 0
0
0
0 1 1
1
1
1 0 0
1
1
1 0 1
1
1
1 1 0
0
1
1 1 1
1
1
2.
下列等价公式:
(2)
。
证明:
(4)
。
证明:
3. 甲、乙、丙、丁4人参加考试后,有人问他们谁的成绩最好,甲说,不是我。乙说:是丁。丙说:是乙。丁说:不是我。已知4个人的回答只有一个人符合实际,问成绩最好的是谁?
解:设
:甲成绩最好。
:乙成绩最好。
:丙成绩最好。
:丁成绩最好。
四个人所说的命题分别用
表示,则
;
;
;
。
则只有一人符合实际的命题
符号化为
同理,
所以,当
为真时,
为真,即甲的成绩最好。
习题1.5
2. 证明下列各蕴含式:
(3)
。
证明:
方法一:真值表法(列出命题公式
的真值表)。
0 0 0
1
1
1
1
1
1
0 0 1
1
1
1
1
1
1
0 1 0
1
1
0
1
1
1
0 1 1
1
1
1
1
1
1
1 0 0
0
0
1
1
1
1
1 0 1
0
1
1
1
1
1
1 1 0
1
0
0
0
0
1
1 1 1
1
1
1
1
1
1
方法二:等值演算法
方法三:分析法
(1)直接分析法:若前件
为真,分两种情况:
(I)
为假,则
为真,
为真,
为真。
(II)
为真,则
为真,此时若
为真,则
为真,则
为真,
为真,
为真;若
为假,则
为假,
为真。
综上,若前件为真,后件必为真,故该蕴含式成立。
(2)间接分析法:若后件
为假,则
为真,
为假。由
为假可知,
为真,
为假。再由
可知,
为真。此时
为假,
为假,即前件为假。故蕴含式成立。
5. 叙述下列各个命题的逆换式和逆反式,并以符号写出。
(1)如果下雨,我不去。
解:设
:天下雨。
:我去。
逆换式:如果我不去,天就下雨。符号表示为
。
逆反式:如果我去,天就不下雨。符号表示为
。
(2)仅当你走我将留下。
解:设
:我留下。
:你走。
逆换式:如果你走,我就留下。符号表示为:
。
逆反式:如果你不走,我就不留下。符号表示为:
。
习题1.6
2. 将下列命题公式用只含
和
的等价式表达,并要求尽可能简单。
(1)
解:
(2)
解:
(3)
解:
习题1.7
6.求下列命题公式的主析取范式和主合取范式:
(1)
解:
(主合取范式)
(主析取范式)
习题1.8
1. 证明
证明: (1)
P(附加前提)
(2)
P
(3)
T(2)E
(4)
T(1)(3)I
(5)
P
(6)
T(5)E
(7)
T(4)(6)I
(8)
P
(9)
T(7)(8)I
(10)
CP
2.用间接证法证明
,
,
,
证明: (1)
P(附加前提)
(2)
P
(3)
T(1)(2)I
(4)
P
(5)
P
(6)
T(4)((5)I
(7)
T(3)(6)I
(8)
P
(9)
T(7)(8)I
(10)
(矛盾式) T(4)(9)I
由(10)得出了矛盾,根据归谬法说明原推理正确。
5.“如果下雨,春游就会改期;如果没有球赛,春游就不会改期。结果没有球赛,所以没有下雨。”证明上述论断正确。
解:设
:下雨。
:有球赛。
:春游改期。则上述论断转化为要证明
,
,
证: (1)
P
(2)
P
(3)
T(1)(2)I
(4)
P
(5)
T(3)(4)I
因此,上述推理正确。
7. 证明
是前提
,
,
的有效结论。
证明: (1)
P
(2)
T(1)E
(3)
P
(4)
T(2)(3)I
(5)
P
(6)
T(5)E
(7)
T(4)(6)I
(8)
T(7)E
习题2.1
用谓词表达式写出下列命题:
(5)每个有理数是实数。
解:
,其中
:
是有理数。
:
是实数。
(6)有的函数连续。
解:
,其中
:
是函数。
:
连续。
习题2.2
2. 将下列命题符号化:
(3)没有人登上过木星。
解:设
:
是人。
:
登上过木星。则命题可表示为
3. 符号化下列命题:
(2)尽管有人聪明,但未必一切人都聪明。
解:设
:
是人。
:
聪明。则命题可表示为
习题2.3
2. 对下列谓词公式中约束变元进行换名:
(1)
(2)
解:(1)
(2)
3. 对下列谓词公式中自由变元进行代入:
(1)
(2)
解:(1)
(2)
习题2.4
3. 证明下列等价式:
(1)
证明:
(2)
证明:
习题2.5
求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式:
(1)
解:
(前束析取范式、前束合取范式)
(2)
证明:
(辖域扩张)
(辖域扩张)(前束析取范式)
(前束合取范式)
习题2.6
1. 证明下列各式。
(2)
证明:(1)
P
(2)
US(1)
(3)
P
(4)
US(3)
(5)
T(2)(4)I
(6)
P
(7)
US(6)
(8)
T(5)(7)I
(9)
UG(8)
2. 符号化下列命题并推证其结论。
(3)所有有理数是实数,某些有理数是整数,因此,某些实数是整数。
解:设
:
是有理数。
:
是实数。
:
是整数。则命题可符号化为:
,
。
证明如下:
(1)
P
(2)
ES(1)
(3)
P
(4)
US(3)
(5)
T(2)I
(6)
T(4)(5)I
(7)
T(2)I
(8)
T(6)(7)I
(9)
EG(8)
(4)每个大学生不是文科生就是理科生,有的大学生是优等生,小张不是理科生,但他是优等生,因此如果小张是大学生,他就是文科生。
解:设
:
是大学生。
:
是文科生。
:
是理科生。
:
是优等生。
:小张。该命题可符号化为:
,
,
,
。
证明如下:
(1)
P
(2)
US(3)
(3)
附加前提
(6)
T(4)(5)I
(7)
P
(8)
T(6)(7)I
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