2011数学建模---matlab拟合

nullnull数学建模与数学实验 拟 合 null实验目的实验2、掌握用数学软件求解拟合问题。1、直观了解拟合基本内容。1、拟合问题基本理论。2、用数学软件求解拟合问题。3、应用实例null曲 线 拟 合 问 题 的 提 法已知一组（二维）数据，即平面上 n个点（xi,yi) i=1,…n, 寻求一个函数（曲线）y=f(x), 使 f(x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 y=f(x)i 为点（xi,yi) 与曲线 y=f(x) 的距离null拟合与插值的关系 函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似，由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。 实例：下面数据是某次实验所得，希望得到X和 f之间的关系？MATLAB(cn)问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面解决方案：若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题；null最临近插值、线性插值、样条插值与曲线拟合结果：null曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路第一步:先选定一组函数 r1(x), r2(x), …rm(x), m0)模型假设1. 机体看作一个房室，室内血药浓度均匀——一室模型模型建立 在此，d=300mg，t及c（t）在某些点处的值见前

表

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，需经拟合求出参数k、vnull用线性最小二乘拟合c(t)MATLAB(lihe1)用非线性最小二乘拟合c(t)null给药方案 设计 设每次注射剂量D, 间隔时间 血药浓度c(t) 应c1 c(t)  c2 初次剂量D0 应加大c1=10,c2=25 k=0.2347 v=15.02null故可制定给药方案：即: 首次注射375mg， 其余每次注射225mg， 注射的间隔时间为4小时。null估计水塔的流量2、解题思路3、算法设计与编程1、问题null 某居民区有一供居民用水的园柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量，但面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最低水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位时停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量．通常水泵每天供水一两次，每次约两小时. 水塔是一个高12.2米，直径17.4米的正园柱．按照设计，水塔水位降至约8.2米时，水泵自动启动，水位升到约10.8米时水泵停止工作． 表1 是某一天的水位测量

记录

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，试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量． nullnull流量估计的解题思路拟合水位~时间函数确定流量~时间函数估计一天总用水量null 拟合水位~时间函数 测量记录看，一天有两个供水时段（以下称第1供水时段和第2供水时段），和3个水泵不工作时段（以下称第1时段t=0到t=8.97，第2次时段t=10.95到t=20.84和第3时段t=23以后）．对第1、2时段的测量数据直接分别作多项式拟合，得到水位函数．为使拟合曲线比较光滑，多项式次数不要太高，一般在3~6．由于第3时段只有3个测量记录，无法对这一时段的水位作出较好的拟合．null 2、确定流量~时间函数 对于第1、2时段只需将水位函数求导数即可，对于两个供水时段的流量，则用供水时段前后（水泵不工作时段）的流量拟合得到，并且将拟合得到的第2供水时段流量外推，将第3时段流量包含在第2供水时段内．null3、一天总用水量的估计 总用水量等于两个水泵不工作时段和两个供水时段用水量之和，它们都可以由流量对时间的积分得到。null算法设计与编程1、拟合第1、2时段的水位，并导出流量2、拟合供水时段的流量3、估计一天总用水量4、流量及总用水量的检验null 1、拟合第1时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第1时段各时刻的流量可如下得： 1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多项式拟合第1时段水位，c1输出3次多项式的系数 2）a1=polyder（c1）； % a1输出多项式（系数为c1）导数的系数 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1输出多项式（系数为a1）在tp1点的函数值（取负后边为正值），即tp1时刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量函数为：null 2、拟合第2时段的水位，并导出流量 设t，h为已输入的时刻和水位测量记录（水泵启动的4个时刻不输入），第2时段各时刻的流量可如下得： 1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多项式拟合第2时段水位，c2输出3次多项式的系数 2） a2=polyder(c2)； % a2输出多项式（系数为c2）导数的系数 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2输出多项式（系数为a2）在tp2点的函数值（取负后边为正值），即tp2时刻的流量 MATLAB(llgj2)4）流量函数为：null 3、拟合供水时段的流量 在第1供水时段（t=9~11）之前（即第1时段）和之后（即第2时段）各取几点，其流量已经得到，用它们拟合第1供水时段的流量．为使流量函数在t=9和t=11连续，我们简单地只取4个点，拟合3次多项式（即曲线必过这4个点），实现如下： xx1=-polyval（a1，[8 9]）； %取第1时段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，[11 12]）； %取第2时段在t=11,12的流量 xx12=[xx1 xx2]； c12=polyfit（[8 9 11 12]，xx12，3）； %拟合3次多项式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； % x12输出第1供水时段 各时刻的流量 MATLAB(llgj3)拟合的流量函数为：null 在第2供水时段之前取t=20，20.8两点的流水量，在该时刻之后（第3时段）仅有3个水位记录，我们用差分得到流量，然后用这4个数值拟合第2供水时段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后3个时刻的两两之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3个水位的两两之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=[20 20.8 t(22) t(23)]； xx3=[-polyval(a2，t3(1：2)，dht3)]； %取t3各时刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %拟合3次多项式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；% x3输出第2供水时段 （外推至t=24）各时刻的流量MATLAB(llgj4)拟合的流量函数为：null 3、一天总用水量的估计 第1、2时段和第1、2供水时段流量的积分之和，就是一天总用水量．虽然诸时段的流量已表为多项式函数，积分可以解析地算出，这里仍用数值积分计算如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1时段用水量（仍按高 度计），0.1为积分步长 y2=0.1*trapz(x2)； %第2时段用水量 y12=0.1*trapz(x12)； %第1供水时段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水时段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*237.8*0.01； %一天总用水量（ ） 计算结果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4MATLAB(llgjz)null 4、流量及总用水量的检验 计算出的各时刻的流量可用水位记录的数值微分来检验．用水量y1可用第1时段水位测量记录中下降高度968-822=146来检验，类似地，y2用1082-822=260检验． 供水时段流量的一种检验方法如下：供水时段的用水量加上水位上升值260是该时段泵入的水量，除以时段长度得到水泵的功率（单位时间泵入的水量），而两个供水时段水泵的功率应大致相等．第1、2时段水泵的功率可计算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2输出第2供水时段 各时刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水时段水泵的功率 （水量仍以高度计） 计算结果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)null计算结果流量函数为：null流量曲线见图n=(3,4)n=(5,6)null用非线性最小二乘拟合c(t)-用lsqcurvefit2、主程序lihe2.m如下 clear tdata=[0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8]; cdata=[19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01]; x0=[10,0.5]; x=lsqcurvefit('curvefun3',x0,tdata,cdata); f=curvefun3(x,tdata) x MATLAB(lihe2)