nullnull二次函数 y=ax²+bx+c 的符号问题null
一:抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:与y轴的正半轴相交c>0与y轴的负半轴相交 c<0经过坐标原点c=0(1)a的符号:由抛物线的开口方向确定nullnull如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);
那么AB=|x1-x2|=Cx1x2null1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么?变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是正值的条件是什么?你知道吗?不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非负数的条件是什么?知识点二:a>0b2-4ac<0null知识点二:2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条
件是什么?变式:不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是负值的条件是什么?你知道吗?不论x取何值时,函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值永远是非正数的条件是什么?null知识点三:抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(5)a+b+c的符号:由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0(6)a-b+c的符号:由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0null1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a>0,
b<0,
c>0,
△>0.练习null2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a>0,
b>0,
c=0,
△>0.练习null3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a<0,
b<0,
c>0,
△>0.练习null4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a>0,
b=0,
c>0,
△=0.练习null5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a>0,
b=0,
c=0,
△=0.练习null6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示,试确定a、b、c、△的符号:xyo a<0,
b>0,
c<0,
△<0.练习null7、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则点M( ,a)在 ( )A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 xoy a<0,
b>0,
c>0,D练习null8、已知:一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c,它们在同一坐标系中的大致图象是图中的( )(A)(B)(C)(D)C练习null9、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b=2a;
③a+b+c<0;④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 ( )
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个C练习null10、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:①b>0;②c<0;③4a+2b+c > 0;④(a+c)2<b2,其中正确的个数是 ( )
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个B练习null11、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中下不正确的是 ( )
A、abc>0
B、b2-4ac>0
C、2a+b>0
D、4a-2b+c<0D练习null1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则c= .2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线x=2则b= ________ null练一练:1、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中:①abc>0;②b=2a;③a+b+c<0;④a+b-c>0; ⑤a-b+c>0正确的个数是 ( )
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个Cnull练一练:2、已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论中下正确的是( )
A、abc>0
B、b2-4ac>0
C、2a+b>0
D、4a-2b+c<0Dnull1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,
且a<0,a-b+c>0,则一定有( )
A.b2-4ac>0 B. b2-4ac=0
C.b2-4ac<0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图
像如图所示,则点M(b,c/a)在
( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D. 第四象限D-1a <0,b >0,c >0null3.(河北省)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( )B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c
的图像如图所示,则函数值
y<0时,对应的x取值范围
是 .-3<x<1.-3-31null5、已知二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图所示,下列结论:
① a+b+c<0,②a-b+c>0;
③ abc>0;④b=2a
中正确个数为 ( )
A.4个 B.3个
C.2个 D.1个A6、无论m为任何实数,二次函数y=x2-(2-m)x+m
的图像总是过点 ( )
A.(1,3) B.(1,0) C.(-1,3) D.(-1,0)C当x= 1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca <0,b <0,c>0x=- b/2a=-1nullD7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
的图像如图,则下列a、b、
c间的关系判断正确的是( )
A.ab < 0 B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图,则不等式bx+a>0的
解为 ( )
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <0null9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,
那么下列判断不正确的有( )
A.abc>0 B. b2-4ac>0
C.2a+b>0 D.4a-2b+c<0
DX= - b/2a<1
∴-b<2a
∴2a+b>0 当x=-2时,
y=4a-2b+c>0nullD10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a>- 4/9
C.a> 9/4 D.a<9/4且a≠0null11.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直,如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面40/3米,则水流落地点B离墙的距离OB是 ( )
A.2米 B.3米
C.4米 D.5米BO①抛物线顶点M(1,40/3)
与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;null1、(青海省)如图所示,已知抛物线
y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0),
B(x2,0),且x1+x2=4,x1x2=3,
(1)求此抛物线的解析式;
(2)设此抛物线与y轴的交点为C,过点B、C作直线,求此直线的解析式;
(3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升null2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).
(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点;
(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点;
(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.
(2)另一个交点坐标为(1,0) (3)当m>-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限 nullnull用待定系数法求二次函数解析式,要根据给定条件的特点选择合适的
来求解一般地,在所给条件中已知顶点坐标时,可设顶点式y=a(x-h)2+k,在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴,可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时,可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次方程组来求解。null例:已知关于x的二次函数,当x=-1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.{待定系数法null例:根据下列条件,分别求出对应的二次函数解析式(1)已知抛物线的顶点是(1,2)且过点(2,3)(2)已知抛物线与x轴两交点横坐标为1,3且图像过(0,-3)已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k
∵顶点是(1,2)
∴设y=a(x-1)2+2,又过点(2,3)
∴a(2-1)2+2=3,∴a=1
∴ y=(x-1)2+2,即y=x2-2x+3已知与x轴两交点横坐标,设交点式y=a(x-x1)(x-x2)
由抛物线与x轴两交点横坐标为1,3,∴设y=a(x-1)(x-3),过
(0,-3),∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1
∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3null(3)已知二次函数的图像过(-1,2),(0,1),(2,-7)已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,
设y=ax2+bx+c过(-1,2),(0,1),(2,-7)三点
∴y=-x2-2x+1null例:已知一抛物线与x轴的交点A(-2,0),B(1,0)且经过点C(2,8)
(1)求该抛物线的解析式 (2)求该抛物线的顶点坐标
解:设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c
由已知,抛物线过点(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得,a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为(-1/2,-9/2)null例:如图,已知二次函数 的图像经过点A和点B.
(1)求该二次函数的表达式;
(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标;
(3)点P(m,m)与点Q均在该函数图像上(其中m>0),且这两点关于抛物线的对称轴对称,求m的值及点Q 到x轴的距离.null解:(1)将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入
得 解得
∴二次函数的表达式为.
(2)对称轴为 ;顶点坐标为(2,-10).
(3)将(m,m)代入 ,得 ,
解得 .∵m>0,∴ 不合题意,舍去.
∴ m=6.
∵点P与点Q关于对称轴 对称,
∴点Q到x轴的距离为6. null抛物线y=ax2+bx+c的符号问题:(1)a的符号:由抛物线的开口方向确定小结例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线,求m的值及函数解析式.例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线,求m的值及函数解析式.解:由题意得 m+1=2
-m≠0
∴m=1
解析式为:y= -x2+2x+3
null(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P(点C除外),使△ABP面积等于△ABC面积?解:假设存在满足条件的点P,
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3,∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。
∴p(2,3)
或-3= -x2+2x+3, x2_2x-6=0
x=1±√7,∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3)
xy03B-1C3PQAnull(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M,当M在对称轴上移动时,抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(x1
0,c>0,则它的图像顶点在第________象限7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,用不等式连结下列各式:
a __0,b __0,c ___0, △___0
a+b+c___0, a-b+c___01-1=1,-7,-3一<>>>>3/410. 若二次函数y=kx2+3x-5的图像与x轴有两个交点,则k的取值范围是__________________.K>-9/20且k≠0null1.已知二次函数y=5x2-5x+m的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)且有x12+x22=9/5,求二次函数解析式.null2.如图,AC=5, (1)求A,B,C三点坐标
(2)求经过A,B,C三点的二次函数解析式
(3)写出二次函数的对称轴,顶点坐标
(4)当y随x的增大而增大时,x的取值范围ACBOnullB1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.不论k 取任何实数,抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的
顶点都在
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上 D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是
4 B. -1 C. 3 D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 B.abc>0
C.a+b+c=0 D.a-b+c<0
1CAxyo-1 B( )
( ) null5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则
A.b=2 B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8 D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限,
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( )( )
B
-3-3-3-3C
null应用 用6 m长的铝合金型材做一个形状如
图所示的矩形窗框.应做成长、宽各为
多少时,才能使做成的窗框的透光面积
最大?最大透光面积是多少?