2006IMO中国国家队选拔(第二十一届)
《数学奥林匹克报》 www.mathoe.com
Mathematical Olympiad Express
普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息。
IMO 中国国家队选拔考试 2006 第 21 届
2006年3月31日 8∶00~12∶30辽宁沈阳东北育才学校每题21分
一、设H为ΔABC的垂心,D,E,F为ΔABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF,S,T,U分别为D,E,F关于边
BC,CA,AB的对称点。求证: S,T,U,H 四点共圆。
二、给定正整数 n,求最...
《数学奥林匹克报》 www.mathoe.com
Mathematical Olympiad Express
普及数学知识,传播奥林文化,快递竞赛信息。
IMO 中国国家队选拔考试 2006 第 21 届
2006年3月31日 8∶00~12∶30辽宁沈阳东北育才学校每
21分
一、设H为ΔABC的垂心,D,E,F为ΔABC的外接圆上三点使得AD∥BE∥CF,S,T,U分别为D,E,F关于边
BC,CA,AB的对称点。求证: S,T,U,H 四点共圆。
二、给定正整数 n,求最大的实数C,满足:若一组大于1的整数(可以有相同的)的倒数之和小于C ,
则一定可以将这一组数分成不超过 n组,使得每一组数的倒数之和都小于1。
三、对正整数M,如果存在整数a,b, c, d 使得M ≤a<b≤ c< d≤M+49,ad=bc,
则称M为好数, 否则称M为坏数。试求最大的好数和最小的坏数。
2006年4月1日8∶00~12∶30辽宁沈阳东北育才学校每题21分
四、设 k≥3是奇数.
:存在一个次数为 k的非整系数的整值多项式 ( )f x ,具有下面的性质:
(1) ( )0f =0, ( )1f =1;
(2) 有无穷多个正整数 n,使得:若方程 n= ( )1f x +⋯⋯+ ( )sf x 有整数解 1x ,⋯⋯, sx ,
则 s≥ 2k-1。(若对每个整数 x,都有 ( )f x Z∈ ,则称 ( )f x 为整值多项式。)
五、给定正整数m,a,b, ( ),a b =1。A 是正整数集的非空子集,使得对任意的正整数 n都有 an∈A
或 bn∈A。对所有满足上述性质的集合A,求 { }1,2, ,A m∩ "" 的最小值。
六、已知ΔABC覆盖凸多边形M。证明:存在一个与ΔABC全等的三角形,能够覆盖M,并且它的一条边所在
的直线与M的一条边所在的直线平行或者重合。
2006第47届IMO于2006年7月6日~7月18日在斯洛文尼亚卢布尔雅那举行
中国国家队队员是
任庆春 天津耀华中学 金牌
邓 煜 深圳高级中学 金牌
沈才立 浙江镇海中学 金牌
柳智宇 华中师大一附中 金牌
甘文颖 湖北武汉武钢三中 金牌
金 龙 长春东北师大附中 金牌
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