华东理工大学概率论与数理统计8答案

1 华东理工大学 概率论与数理统计 作业簿（第八册） 学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________ 第二十二次作业 一．填空题： 1．假设检验的基本思想基于“小概率反例否定性”。 2．在控制了犯第一类错误的概率后，要尽量减小犯第二类错误的概率，可以采 用的办法是 增加样本容量 。 二. 选择题： 1. 假设检验中分别用 0H 和 1H 表示原假设和备择假设，则显著性水平α 的含义 为( C )。 A. }|{ 00 为真接受 HHP B. }|{ 00 为不真接受 HHP C. }|{ 00 为真拒绝 HHP D. }|{ 00 为不真拒绝 HHP 2. 假设检验时，下面哪一个不属建立原假设的一般原则( B ) A. 包含等号 B. 原假设和备择假设对称 C. 尊重原假设 D. 控制后果严重性 三. 计算题： 1．已知在正常生产情况下某种汽车零件的质量服从正态分布 )75.0,54( 2N ，在某 日生产的零件中抽取 10 件，测得质量（ g）如下： 54.0 ，55.1 ，53.8，54.2 ，52.1 ，54.2，55.0 ，55.8，55.1，55.3 如果差不变，该日生产的零件质量的均值是否有显著差异（显著水平 )05.0=α ？ 解：由样本观测值计算,得 54.46X = ，本问题相当于要检验 0 1: 54.46, : 54.46H Hμ μ= ≠ ， 2 考虑到总体服从正态分布 2(54,0.75 )N ,故采用双侧 U 检验法， 取检验统计量的测试值为 0 0 54.46 54ˆ 1.9395 0.75 10 XU n μ σ − −= = = ， 由水平 0.05α = ,查表得 0.9751 2 1.96U Uα− = = ,由于 0.975Uˆ U< ，故接受 0H ，即该 日生产得零件的质量的均值没有显著差异。 2．从一批矿砂中，抽取 5 个样品，测得它们的镍含量（单位：%）如下： 3.25 3.24 3.26 3.27 3.24 设镍含量服从正态分布，问：能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25 （显著水平 05.0=α ）。 解:由样本观测值计算,得 13.252, 0.013nX S −= = ，本问题相当于要检验 0 1: 3.25, : 3.25H Hμ μ= ≠ 考虑到总体服从正态分布 2( , )N μ σ ,其中方差 2σ 未知,故采用双侧 t 检验法， 取检验统计量的测试值为 0 1 3.252 3.25ˆ 0.3440 0.013 5n XT S n μ − − −= = = ， 由水平 0.05α = ，查表得 0.9751 2 ( 1) (4) 2.776t n tα− − = = ， 由于 0.975ˆ (4)T t< ，故接受 0H ， 即可以认为这批矿砂中的镍含量得平均值为 3.25。 3．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度，重复测量 7 次。测得温度（˚ C）： 112.0，113.4 ， 111.2 ，112.0 ，114.5 ，112.9，113.6。而用某精确办法 测得温度为 112.6（可看作温度真值），试问热敏电阻测温仪间接有无系统偏差？ 解：由样本观测值计算，得 1112.8, 1.1358nX S −= = ， 本问题相当于要检验 0 1: 112.6, : 112.6H Hμ μ= ≠ ， 考虑到方差 2σ 未知，故采用双侧 t 检验法。 计算检验统计量的值为 0 1 112.8 112.6ˆ 0.4659 1.1358 7n XT S n μ − − −= = = ， 3 由水平 0.05α = ，查表得 0.9751 2 ( 1) (6) 2.4469t n tα− − = = ， 由于 0.975ˆ (6)T t< ，故接受 0H ，即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统 偏差. 4．某工厂生产的铜丝的折断力（ N ）服从正态分布 )40,2820( 2N ，某日抽取 10 根铜丝进行折断力试验，测得结果如下： 2830，2800，2795，2820，2850，2830，2890，2860，2875 是否可以认为该日生产的铜丝折断力的方差也是 )(40 22 N ( )05.0=α ？ 解：由样本观测值计算，得 2 12833.5, 1228.0556nX S −= = ， 本问题相当于要检验 2 2 2 20 1: 40 , : 40H Hσ σ= ≠ ， 考虑到均值μ未知，故采用双侧 2χ 检验法， 取检验统计量的测试值为 2 2 1 2 2 0 ( 1) 9 1228.0556 6.9078 40 nn Sχ σ ∧ −− ×= = = 由水平 0.05α = ，查表得 2 2 2 2 0.975 0.0251 2 2 ( 1) (9) 19.023, ( 1) (9) 2.700n nα αχ χ χ χ− − = = − = = ， 由于 2 2 20.025 0.975(9) (9)χ χ χ ∧ < < ，故接受 0H ，即可以认为该日生产的铜丝折断力 的方差为 240 （ 2N ）。 第二十三次作业 一．填空题： 1．设需要对某正态总体（方差 2σ 已知）的均值进行假设检验 :0H 15=μ ， :1H 15<μ ，显著性水平为 α ，采用的统计量为 n xu / 15 σ −= ，拒绝域为 α−−< 1uu 。 2．进行 5 次试验，测得锰的熔化点（˚C）如下：1269，1271，1256，1265，1254， 已知锰的熔化点服从正态分布。现要根据以上数据判断猛的熔化点是否显著 4 高于 1250˚C （ 01.0=α ），采用的原假设为 1250:0 ≤μH ，备择假设为 1250:1 >μH ，采用的统计量 ns xT n / 15 1− −= 在 0H 为真时服从的分布为 )1( −nt ，拒绝域为 7469.3>T 。 二. 选择题： 1．对某产品的制造工艺的改革效果进行评价，从工艺改革前、后所生产的产品 中各抽查 200 件样品，其中次品数分别为 20 和 13。若要判断能否认为工艺改革 后显著降低了产品的次品率，可以采用假设检验。设工艺改革前后的次品率分别 为 1 2,p p ，此时要检验的假设为（ D ）（ 05.0=α ） A. 210 : ppH > ， 211 : ppH ≤ B. 210 : ppH = ， 210 : ppH ≠ C. 210 : ppH ≥ ， 211 : ppH < D. 210 : ppH ≤ ， 211 : ppH > 2．在检验某产品的质量时，要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的 偏差是否为标准范围内，采用的统计量在原假设成立的情况下服从的分布为 （ C ） A. 正态分布 B. t 分布 C. 2χ 分布 D.F 分布 三. 计算题： 1．某种导线的电阻（单位：Ω）服从正态分布，按照规定，电阻的标准差不得 超过 0.005。今在一批导线中任取 9 根，测得样本标准差 007.01 =−nS ，这批导线 的电阻的标准差比起规定的电阻的标准差来是否显著地偏大( )05.0=α ？ 解：检验 2 2 2 20 1: 0.005 , : 0.005H Hσ σ≤ > ， 考虑到均值μ未知，故采用单侧 2χ 检验法。 取检验统计量 2 0 2 12 )1( σχ −−= nSn ，在 0H 真时服从 )1(2 −nχ 。 计算统计量的值： 2 2 2 1 2 2 0 ( 1) 8 0.007 15.68 0.005 nn Sχ σ ∧ −− ×= = = 5 由 0.05α = ，查表得 2 21 0.95( 1) (8) 15.507nαχ χ− − = = ，由于 2 20.95 (8)χ χ ∧ > ，故拒绝 0H ，即认为电阻的标准差显著偏大。 2．从某锌矿的东、西两支矿脉中，各抽取样本容量分别为 9 与 8 的样本进行测 试，的样本含锌平均值及样本方差如下： 东支： 230.0=x 1337.02 =xS 西支： 269.0=y 1736.02 =yS 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布且方差相同，问东、西两支矿脉 含锌量的平均值是否可以看作一样( )05.0=α ？ 解：检验 0 1 2 1 1 2: , :H Hμ μ μ μ= ≠ ，采用双侧 t 检验法 检验统计量为 nm S yxT w 11 + −= ，在 0H 真时服从 )2( −+ nmt 计算 8 0.1337 7 0.1736 0.15232 15w S × + ×= = ， 0.230 0.269ˆ 0.2056 1 1 1 10.15232 9 8w X YT S m n − −= = = − + + 由 0.05α = 查表得 0.9751 2 ( 2) (15) 2.1314t m n tα− + − = = ， 由于 0.975ˆ (15)T t< ，故接受 0H ，即这两支矿脉含锌量的平均值可以看作一样。 3．为了提高振动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度 1T 及 2T 进行试验，测 得振动板的硬度数据如下： 1T ：85.6， 85.9，85.7， 85.8， 85.7， 86.0， 85.5， 85.4 2T ：86.2， 85.7， 86.5, 85.7， 85.8， 86.3， 86.0， 85.8 设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验 （1） 两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异( )05.0=α ？ （2）淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响( )05.0=α ？ 6 解：由样本观测值计算得： 2 285.7, 86, 0.04, 0.09143x yX Y S S= = = = ， 8== nm (1)检验 2 2 2 20 1 2 1 1 2: , :H Hσ σ σ σ= ≠ ，使用双侧 F 检验。 检验统计量 2 2 y x S S F = 在 0H 真时服从 )7,7(F 计算 2 2 0.04ˆ 0.4375 0.09143 x y SF S = = = ， 由 0.05α = ，得 0.975 0.025 0.975 1 1(7,7) 4.99, (7,7) 0.2004 (7,7) 4.99 F F F = = = = 由于 0.025 0.975ˆ(7,7) (7,7)F F F< < ，故接受 0H ， 即两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。 (2)检验 0 1 2 1 1 2: , :H Hμ μ μ μ= ≠ ，由于 1 2,σ σ 未知，但上面已经检验了它们的 方差无显著差异，即可以认为 1 2σ σ= ，故采用双侧 t 检验法。 检验统计量为 nm S yxT w 11 + −= ，在 0H 真时服从 )2( −+ nmt 计算 7 0.04 7 0.09143 0.2563 14w S × + ×= = 85.7 86ˆ 2.3406 1 1 1 10.2563 8 8w X YT S m n − −= = = − + + 由 0.05α = 得 0.9751 2 ( 2) (14) 2.1448t m n tα− + − = = ， 由于 0.975ˆ (14)T t> ，故拒绝 0H ，即淬火温度对振动板硬度有显著影响。