正确认识驻点、极值点与拐点

科技信息格朗日［J］.物理与工程,2005,5:53-55.［4］胡作玄.第三次数学危机［M］.成都:四川人民出版社,1985:15-20.［5］周东启.第二次数学危机的实质是方法论的变革［J］.自然辨证法研究,22(6),2006:105-109.［6］明清河.数学分析的思想与方法［M］.济南:山东大学出版社,2006:285-286.［7］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:104.［8］牛顿.赵振江译.自然哲学的数学原理［M］.北京:商务印书馆,2006:47-48.［9］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:99.［10］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:150.［11］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:152.［12］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:156.［13］克莱因.古今数学思想第二册［M］.上海:上海科学技术出版社,1979:157.［14］克莱因.古今数学思想第四册［M］.上海:上海科学技术出版社,1982:1.［15］［16］卡尔·B·波耶.微积分概念发展史［M］.上海:复旦大学出版社,2007:265-266.［17］沈永欢.维尔斯特拉斯.吴文俊主编.世界著名数学家传记(下集).北京:科学出版社,1995:965.（上接第100页）如何正确认识驻点、极值点与拐点呢？主要依据其定义及相关定理，理解透定义与定理，进而找到他们的本质差别，才不至于把三者混为一谈。下面重点介绍一下一元函数的驻点、极值点与拐点。三者的定义如下：驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。极值点：令函数y=f(x)，给定x0的一个小邻域u(x0,δ),对于任意x∈u(x0,δ)，都有f(x)≥f(x0)，称x0是f(x)的极小值点；否则，称x0是f(x)的极大值点。极小值点与极大值点统称极值点。拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。拐点的判定定理：令函数y=f(x)，若f"(x0)=0，且x<x0,f"(x)>0;x>x0时，f"(x)<0或x<x0,f"(x)<0;x>x0时，f"(x)>0，称点(x0，f(x0))为f(x)的拐点。极值点的必要条件：令函数y=f(x)，在点x0处可导，且x0是极值点，则f'(x0)=0。仔细理解上述定义与定理得，驻点﹑极值点与拐点的区别与联系如下；①驻点﹑极值点指的都是函数y=f(x)的一个横坐标x0，拐点指的是函数y=f(x)图像上的一个点（x0，f(x0)）。②驻点﹑极值点均与函数y=f(x)的一阶导数f'(x)有关，而拐点与函数y=f(x)的二阶导数f"(x)有关。③拐点是函数y=f(x)图象上凹凸性的分界点，极值点刻画的是函数y=f(x)图像的局部最值问题，但不是图像上的一个点。④驻点不一定是极值点，如y=x3,y'(0)=0,显然x0=0是驻点，但不是极值点。⑤极值点不一定是驻点，如函数y=x,如图示：显然x0=0是极值点，但不是驻点只有正确认识到三者的联系与区别，才能得心应手地把三者区分开。由上述关系知，极值点的来源：部分驻点和一阶导数不存在的点；拐点的来源：部分二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点。如何求函数y=f(x)的驻点、极值点与拐点呢？由上述相关定义和三者的联系与区别知:驻点的求法最简单：计算y',令y'(x0)=0,则x0为其驻点极值点的求法：①计算y',令y'(xi)=0，找y'不存在的点xj；②xi，xj把函数y=f(x)的定义域分成若干个区间；③判断上述区间上对应的y'符号（y'>0，函数递增；y'<0，函数递减）；④结合③和极值点定义进而求出极值点；⑤列：把上述步骤列为一个表格。例1：求函数y=38x83-32x23的极值点与极值。解：∵函数的定义域为R∵y'=x53-x-13=x-13(x2-1)=(x+1)(x-1)x3姨令y'=0，得驻点x1=-1,x2=1，而x=0是y'不存在的点。列表如下:拐点的求法：①计算y",令y"（xi）=0,找y"不存在的点xj；②分区间，其中xi，xj把函数y=f(x)的定义域分为若干个区间；③判断上述区间上对应的y"符号；④列表；⑤结合拐点的判定定理，求出其拐点。例2：求函数y=x+x53的拐点解：∵函数y=x+x53的定义域为R∵y'=1+53x23∴y"=109x-13列表如下：显然y"≠0X=0时，y"不存在显然（0,0）是函数y=x+x53的拐点。参考文献［1］李华,王小军.应用数学上册［M］.郑州:大象出版社，2006（77-87）.［2］侯风波.经济数学基础［M］.北京：高等教育出版社,2004(67-72).x(-∞,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+∞)y'-0+不存在-+y的单调性与极值递减极小值-98递增极大值0递减极小值-98递增正确认识驻点、极值点与拐点鹤壁职业技术学院电子系郭卫霞［摘要］多数学生对驻点、极值点与拐点分不清，如何正确认识驻点、极值点与拐点呢？主要依据其定义及相关定理，抓住他们的本质差别，认识与求驻点、极值点与拐点也就很轻松了。［关键词］驻点极值点拐点导数x(-∞，0)0(0,+∞)y"的符号-不存在+高校理科研究101——