《一元二次方程》教材分析

津南区教研室冯玉娴第二十二章一元二次方程2012年11月15日教材分析内容课程的要求本章的地位和作用课时安排教材处理与教学建议教材内容与编写特点命题研究与审题教学一、本章的地位和作用二元一次方程组一元一次方程一元二次方程根与系数的关系定义解法去分母根的判别式配方法、公式法、因式分解法转化思想转化思想整式方程分式方程方程定义解法定义解法定义解法代入消元加减消元整式方程列方程解实际问题降次方程的内容式数建立方程定义实际应用一、本章的地位和作用解法模型模型思想运算能力分析问题、解决问题能力方程思想建立方程建立方程建立方程方程的内容模型建立方程模型建立方程解法实际应用模型思想运算能力分析问题、解决问题能力方程思想式数定义不等式二次不等式二次函数高次方程转化思想课标要求1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。3、了解一元二次方程的根与系数的关系。4、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。二、课标要求知识技能1.以分析实际问题中的等量关系并求解其中的未知数为背景，理解一元二次方程的概念.2.根据化归的思想，抓住“降次”这一基本策略，掌握配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的基本解法，能选择恰当的方法解一元二次方程，形成基本操作技能.3.探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用方程进行表述的方法.数学思考1．通过用方程表述数量关系的过程，建立符号意识，发展抽象思维.2．在分析数量关系的过程中，发展综合分析能力，清晰地表达自己的想法.3．能独立思考，进一步体会模型思想，建立用方程求解实际问题中未知量的思维方式.问题解决1．初步学会在具体的情境中，从方程的角度发现问题和提出问题，并运用方程的知识和方法等解决简单的问题，增强应用意识，提高实践能力.2.掌握降次、配方等基本的数学方法，进一步建立转化的思想.3.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，积累用方程解决问题的体验，提高分析问题和解决问题的能力.4．在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论，能积极主动的表达自己的想法.情感态度1．积极参与和一元二次方程有关的数学活动，对实际问题的解答有好奇心和求知欲.2．在运用方程表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值.3．敢于发表自己的想法、勇于质疑、敢于创新，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求实的科学态度.三、课时安排本章约需13课时22.1一元二次方程2课时22.2降次——解一元二次方程7课时22.3实际问题与一元二次方程2课时数学活动小结2课时四、本章内容和教材编写特点实际问题数学问题ax2+bx+c=0(a≠0)数学问题的解实际问题的答案设未知数，列方程解方程检验开平方配方法公式法因式分解法降次教学重点、难点1、一元二次方程的概念2、一元二次方程的解法：配方法、公式法和因式分解法.降次的思想，将二次方程转化为一次方程.3、判别式的应用4、分析实际问题中的数量关系并以方程形式表示难点：列一元二次方程解应用题本章内容分析三个实际问题人体雕像问题、无盖盒子底面积问题、排球邀请赛问题观察未知数的个数和次数各是多少？一元二次方程定义一元二次方程的根建立方程模型归纳概括类比一元一次方程定义，找出相同点和区别，重点在于次数是2次.二次项、一次项、常数项估算求方程的解，一般有两个根目标：x2=a本章内容分析22.1一元二次方程重点：一元二次方程及其有关概念的认识难点：列方程，化整为零地培养学生由实际问题抽象出方程模型的能力由特殊到一般的方法归纳一元二次方程的定义对于a≠0的正确理解，二次项系数、一次项系数的理解经常出错.本章内容分析22.2降次——解一元二次方程(1)刷油漆问题求解验根降次归纳——直接开平方法抓住方程的特征，用开平方法解一元二次方程水到渠成！但实际问题要考虑符合题意，但学生应知道一元二次方程有两个根.从特殊到一般，让学生循序渐进地体会直接开平方法，理解开方起到的作用是“降次”，即一元二次方程转化为两个一元一次方程.本章内容分析22.2降次——解一元二次方程(2)长方形面积问题配方法定义配方过程的框图可以帮助学生理解配方的过程，是算法思想、转化和降次的思想的渗透.配方法的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对学生数学能力的影响很大.两种方程的配方，将问题由简单到复杂，再次体会转化的必要性.第三小题让学生体会一元二次方程的实根的存在性，某些一元二次方程无实数根.引导学生将问题x2+px+q=0转化为已知的（x+a)2=b(b是非负数）的形式，体会转化思想，也是学习数学的一般方法.体会配方法的必要性.本章内容分析22.2降次——解一元二次方程(3)配方法分类讨论求根公式仅仅是配方法的结果判别式的作用用配方法解一般形式的一元二次方程，并讨论实数根的存在性，从而发现“判别式”是判别方程有无实数根的关键，从而归纳判别式的意义.由求根公式可知一元二次方程的根由a、b、c所确定，而判别式决定一元二次方程的根的三种情况.回扣雕像问题，求出近似解回扣雕像问题，求出近似解当b2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，而不是只有一个实数根.用配方法解字母系数的一般形式的一元二次方程是个难点.本章内容分析22.2降次——解一元二次方程(4)抛球问题配方法比较麻烦，寻求简单解法因式分解法归纳解一元一次方程的基本思路：降次配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一个边为0.配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只用于某些一元二次方程.总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.本章内容分析22.2一元二次方程的根与系数的关系借助求根公式计算特殊到一般不求根而应用根解决问题，往往是设而不求，多用于二次函数和高中解析几何运算.为什么是求两根和、两根积呢？推导证明是针对一般式本章内容分析22.3实际问题与一元二次方程（一）探究1：流感问题分析数量关系建立模型传播问题、细胞分裂、信息传播高中数学：分期付款问题重点：一元二次方程与实际问题的联系，再次体现数学建模思想，培养运用一元二次方程分析和解决问题的能力.难点：正确建立一元二次方程关键：弄清问题背景，把有关数量量关系分析透彻，找出可以作为列方程依托的主要相等关系.两轮的传播，可以用一元二次方程作为数学模式.探究思考问题虽然涉及三轮传播，但只是求值问题，不需要用方程解决.本章内容分析22.3实际问题与一元二次方程（二）探究2：成本下降问题成本下降额平均下降率成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大，成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况人口增长率经济增长率难点：对下降率的正确认识.本题是真实的问题，学生对下降额度和下降率混淆.本章内容分析22.3实际问题与一元二次方程（三）探究3：封面设计问题以一元二次方程为模型分析几何图形封面及正中央矩形的长宽比是9:7上下、左右边衬宽度之比是9:7，设中央矩形长、宽分别为9x,7x设上下边衬的宽均为9x左右边衬的宽均为7x方法1方法2学会从不同角度分析问题和解决问题，例3中方程的两个解都是正数，但不都是问题的解，这种取舍要符合问题的实际意义，教学中应培养学生将数学知识和实际问题相结合的能力.用一元二次方程作为模型分析解决几何图形的问题模型.本题难点在于上下边衬与左右边衬的比仍为9:7，相等关系量可以用不同形式表示.本章内容分析数学活动活动1作圆柱活动2围长方形活动3计算变化率列一元二次方程，计算圆柱底面半径，然后动手制作立体模型.感受一元二次方程的根与判别式的值之间的联系，发现周长为定值为4a的矩形面积最大值为a2，此时对应的矩形是正方形.活动3计算变化率变化前数量×（1+x)n=变化后数量黄金分割数、三角点阵中前n行的点数计算、伟大的韦达四、教学建议1、重视一元二次方程与实际的联系，体现数学建模思想一元二次方程可以表达实际问题中所包含的数量相等关系建立重要数学模型1、避免脱离实际问题讲一元二次方程的内容，纯数学教学有局限性，不利于全面提高学生素质.2、解决实际问题的关键是找出问题中的相等关系量，“”成一元二次方程.3、借助图象、、式子等分析方法，发现相等关系量，注意检验所列方程及根的实际意义.4、加强一元二次方程分析实际问题能力的培养训练，提高学生应用数学知识解决实际问题的意义.四、教学建议2、重视一元二次方程的特殊性，突出一元二次方程的基本策略以及解法中的关键步骤特点：二次策略：一元二次方程转化为已经会解的一元一次方程关键：各种解法中能够创造条件实现降次四、教学建议3、重视三维目标的达成数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且把知识技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现教学目标.要激发学生的学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯.四、教学建议4、数学知识的教学，应注意对知识的理解，体会知识之间的关联.不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的算理,更要注意训练适度.切忌机械的重复训练，一定用概念指导解题.注重知识的“生长点”和“延伸性”四、教学建议4、感悟数学思想方法，以不变应万变.数学思想蕴含在数学知识形成、发展、应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.如：模型思想、方程思想、分类思想、类比思想、转化思想、降次法、配方法等.（1）未知转化为已知，是解方程的思路；（2）二次转化为一次，起到降次的作用；（3）特殊转化为一般，一般转化为特殊本章多次运用类比找出新旧知识间的联系，在新旧知识间进行对比，以利于更快更好地掌握新知识.类比思想有利于版主我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知、巩固旧知，应特别重视.5、突出数学课程标准的核心概念核心概念：数感、符号意识、运算能力、模型思想、应用意识、创新意识.四、教学建议五、命题研究19、如图①：（2009年1、（2010年）青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．（1）用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为；（2）根据题意，列出相应方程；（3）解这个方程，得；（4）检验：；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为五、命题研究（2009年2、如图①：要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2：3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2：3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②：用含x的代数式表示：AB=cm；AD=cm；矩形ABCD的面积为cm2；列出方程并完成本题解答．(2009年）五、审题教学1、审题要注意条件特点2、审题要注意题设成立的条件例2.一元二次方程与的所有实数根之和是多少？五、审题教学3、审题时要注意概念的严谨性例3.关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围.4、审题时要注意防止思维的片面性例4.当k为何值时，方程（k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根.五、审题教学一要教会学生审题：1、第一遍粗读题，大致了解题意；2、第二遍精读题，要逐字逐句的读，重点条件用笔画下来，引起重视；3、第三遍重读题，做完题后回过头重新审题，关键词句是否理解准确、到位，结果是否符合题意。二要学会翻译数学题：把觉得长的语句翻译成自己理解的简单语言，把文字性语言翻译成数学语言，进一步用符号语言来表达，有助于审题.案例分析见教师用的光盘