2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学(人教版)(理工农林医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至1页,第Ⅱ卷3至10页。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出
后,用铅笔在答题卡上对应题目的答案涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
三角函数的和差化积公式
一、选择题
1.设集合
,
,则集合
中元素的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
2.函数
的最小正周期是
( )
A.
B.
C.
D.
3.设数列
是等差数列,且
,
是数列
的前
项和,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.圆
在点
处的切线方程为
( )
A.
B.
C.
D.
5.函数
的定义域为
( )
A.
B.
C.
D.
6.设复数
的辐角的主值为
,虚部为
,则
=
( )
A.
B.
C.
D.
7.设双曲线的焦点在
轴上,两条渐近线为
,则该双曲线的离心率
( )
A.
B.
C.
D.
8.不等式
的解集为
( )
A.
B.
C.
D.
9.正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,则此三棱锥的体积为
( )
A.
B.
C.
D.
10.在△ABC中,AB=3,BC=
,AC=4,则边AC上的高为
( )
A.
B.
C.
D.
11.设函数
,则使得
的自变量
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
12.将4名教师分配到3所中学任教,每所中学至少1名,则不同的分配
共有( )
A.12种
B.24种
C.36种
D.48种
第Ⅱ卷
二、填空题(每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
13.用平面
截半径为
的球,如果球心到平面
的距离为
,那么截得小圆的面积与球的
面积的比值为 .
14.函数
在区间
上的最小值为 .
15.已知函数
是奇函数,当
时,
,设
的反函数是
,则
.
16.设
是曲线
上的一个动点,则点
到点
的距离与点
到
轴的距离之和的最小值为 .
三、解答题(6道题,共76分)
17.(本小题满分12分)已知
为锐角,且
,求
的值.
18.(本小题满分12分)解方程
.
19.(本小题满分12分)某村计划建造一个室内面积为800
的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留1
宽的通道,沿前侧内墙保留3
宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少?
20.(本小题满分12分)三棱锥P-ABC中,侧面PAC与底面ABC垂直,PA=PB=PC=3,
(1)求证:AB ⊥ BC;
(2)设AB=BC=
,求AC与平面PBC所成角的大小.
21.(本小题满分12分)设椭圆
的两个焦点是
与
,且椭圆上存在一点
,使得直线
与
垂直.
(1)求实数
的取值范围;
(2)设
是相应于焦点
的准线,直线
与
相交于点
,若
,求直线
的方程.
(Ⅱ)准线L的方程为
设点Q的坐标为
,则
22.(本小题满分14分)已知数列
的前
项和
满足
.
(1)写出数列
的前三项
;
(2)求数列
的通项公式;
(3)证明:对任意的整数
,有
.
(Ⅰ)解:由
由
由
(Ⅱ)解:当
时,有
……
所以
经验证a1也满足上式,所以
(Ⅲ)证明:由通项公式得
当
且n为奇数时,
当
为偶数时,
当
为奇数时,
所以对任意整数m>4,有
2004年普通高等学校招生全国统一考试
数学参考答案(人教版)(理)
1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 11.A 12.C
13.
14.1 15.-2 16.
17.本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式等基础知识以及三角恒等变形的能力.满分12分.
解:原式
因为
所以
. 因为
为锐角,由
所以 原式
18.本小题主要考查解带绝对值的方程以及指数和对数的概念与运算.满分12分.
解:当
时,原方程化为
解得
无解.
由
舍去.
当
时,原方程化为
解得
无解.
19.本小题主要考查把实际问题抽象为数学问题,应用不等式等基础知识和方法解决问题的能力.满分12分.
解:设矩形温室的左侧边长为a m,后侧边长为b m,则 ab=800.
蔬菜的种植面积
所以
当
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为648m2.
20.本小题主要考查两个平面垂直的性质、直线与平面所成角等有关知识,以及逻辑思维能力和空间想象能力.满分12分.
(Ⅰ)证明:如图1,取AC中点D,连结PD、BD.
因为PA=PC,所以PD⊥AC,又已知面PAC⊥面ABC,
所以PD⊥面ABC,D为垂足.
因为PA=PB=PC,所以DA=DB=DC,
可知AC为△ABC的外接圆直径,因此AB⊥BC.
(Ⅱ)解:如图2,作CF⊥PB于F,连结AF、DF.
因为△PBC≌△PBA,所以AF⊥PB,AF=CF.
因此,PB⊥平面AFC,
所以面AFC⊥面PBC,交线是CF,
因此直线AC在平面PBC内的射影为直线CF,
∠ACF为AC与平面PBC所成的角.
在Rt△ABC中,AB=BC=2
,所以BD=
在Rt△PDC中,DC=
在Rt△PDB中,
在Rt△FDC中,
所以∠ACF=30°.
即AC与平面PBC所成角为30°.
21.本小题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.满分12分.
解:(Ⅰ)由题设有
设点P的坐标为
由PF1⊥PF2,得
化简得
①
将①与
联立,解得
由
所以m的取值范围是
.
(Ⅱ)准线L的方程为
设点Q的坐标为
,则
②
将
代入②,化简得
由题设
,得
, 无解.
将
代入②,化简得
由题设
,得
.
解得m=2. 从而
,
得到PF2的方程
22.本小题主要考查数列的通项公式,等比数列的前n项和以及不等式的证明.考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由
由
由
(Ⅱ)解:当
时,有
……
所以
经验证a1也满足上式,所以
(Ⅲ)证明:由通项公式得
当
且n为奇数时,
当
为偶数时,
当
为奇数时,
所以对任意整数m>4,有
2004年高考试题全国卷1
理科数学(必修+选修Ⅱ)
(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分. 共150分. 考试时间120分钟.
第I卷(选择题 共60分)
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
Pn(k)=C
Pk(1-P)n-k
一、选择题 :本大题共12小题,每小题6分,共60
1.(1-i)2·i=
( )
A.2-2i
B.2+2i
C.-2
D.2
2.已知函数
( )
A.b
B.-b
C.
D.-
3.已知
、
均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|
+3
|=
( )
A.
B.
C.
D.4
4.函数
的反函数是
( )
A.y=x2-2x+2(x<1)
B.y=x2-2x+2(x≥1)
C.y=x2-2x (x<1)
D.y=x2-2x (x≥1)
5.
的展开式中常数项是
( )
A.14
B.-14
C.42
D.-42
6.设A、B、I均为非空集合,且满足A
B
I,则下列各式中错误的是
( )
A.(
A)∪B=I
B.(
A)∪(
B)=I
C.A∩(
B)=
D.(
A)
(
B)=
B
7.椭圆
的两个焦点为F1、F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点
为P,则
=
( )
A.
B.
C.
D.4
8.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l
的斜率的取值范围是
( )
A.[-
,
]
B.[-2,2]
C.[-1,1]
D.[-4,4]
9.为了得到函数
的图象,可以将函数
的图象
( )
A.向右平移
个单位长度
B.向右平移
个单位长度
C.向左平移
个单位长度
D.向左平移
个单位长度
10.已知正四面体ABCD的表面积为S,其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T,则
等于
( )
A.
B.
C.
D.
11.从数字1,2,3,4,5,中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于9的概率为
( )
A.
B.
C.
D.
12.
的最小值为
( )
A.
-
B.
-
C.-
-
D.
+
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.不等式|x+2|≥|x|的解集是 .
14.由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,∠APB=60°,则动点P的轨迹方程为 .
15.已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项
16.已知a、b为不垂直的异面直线,α是一个平面,则a、b在α上的射影有可能是 .
①两条平行直线
②两条互相垂直的直线
③同一条直线
④一条直线及其外一点
在一面结论中,正确结论的编号是 (写出所有正确结论的编号).
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
求函数
的最小正周期、最大值和最小值.
18.(本小题满分12分)
一接待中心有A、B、C、D四部热线电话,已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5,电话C、D占线的概率均为0.4,各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.
19.(本小题满分12分)
已知
求函数
的单调区间.
20.(本小题满分12分)
如图,已知四棱锥 P—ABCD,PB⊥AD侧面PAD为边长等于2的正三角形,底面ABCD为菱形,侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°.
(I)求点P到平面ABCD的距离,
(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.
21.(本小题满分12分)
设双曲线C:
相交于两个不同的点A、B.
(I)求双曲线C的离心率e的取值范围:
(II)设直线l与y轴的交点为P,且
求a的值.
22.(本小题满分14分)
已知数列
,且a2k=a2k-1+(-1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….
(I)求a3, a5;
(II)求{ an}的通项公式.
2004年高考试题全国卷1
理科数学(必修+选修Ⅱ)
(河南、河北、山东、山西、安徽、江西等地区)
参考答案
一、选择题
DBCBABCCBADB
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.
13.{x|x≥-1} 14.x2+y2=4 15.
16.①②④
三、解答题
17.本小题主要考查三角函数基本公式和简单的变形,以及三角函娄的有关性质.满分12分.
解:
所以函数f(x)的最小正周期是π,最大值是
,最小值是
.
18.本小题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念.考查运用概率知识解决实际问题的能力.满分12分.
解:P(ξ=0)=0.52×0.62=0.09.
P(ξ=1)=
×0.52×0.62+
×0.52×0.4×0.6=0.3
P(ξ=2)=
×0.52×0.62+
EMBED Equation.3 ×0.52×0.4×0.6+
×0.52×0.42=0.37.
P(ξ=3)=
EMBED Equation.3 ×0.52×0.4×0.6+
EMBED Equation.3 ×0.52×0.42=0.2
P(ξ=4)= 0.52×0.42=0.04
于是得到随机变量ξ的概率分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
0.09
0.3
0.37
0.2
0.04
所以Eξ=0×0.09+1×0.3+2×0.37+3×0.2+4×0.04=1.8.
19.本小题主要考查导数的概率和计算,应用导数研究函数性质的方法,考查分类讨论的数学思想.满分12分.
解:函数f(x)的导数:
(I)当a=0时,若x<0,则
<0,若x>0,则
>0.
所以当a=0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.
(II)当
由
所以,当a>0时,函数f(x)在区间(-∞,-
)内为增函数,在区间(-
,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数;
(III)当a<0时,由2x+ax2>0,解得0
-
.
所以当a<0时,函数f(x)在区间(-∞,0)内为减函数,在区间(0,-
)内为增函数,在区间(-
,+∞)内为减函数.
20.本小题主要考查棱锥,二面角和线面关系等基本知识,同时考查空间想象能力和推理、运算能力.满分12分.
(I)解:如图,作PO⊥平面ABCD,垂足为点O.连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E,连结PE.
∵AD⊥PB,∴AD⊥OB,
∵PA=PD,∴OA=OD,
于是OB平分AD,点E为AD的中点,所以PE⊥AD.
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角,
∴∠PEB=120°,∠PEO=60°
由已知可求得PE=
∴PO=PE·sin60°=
,
即点P到平面ABCD的距离为
.
(II)解法一:如图建立直角坐标系,其中O为坐标原点,x轴平行于DA.
.连结AG.
又知
由此得到:
所以
等于所求二面角的平面角,
于是
所以所求二面角的大小为
.
解法二:如图,取PB的中点G,PC的中点F,连结EG、AG、GF,则AG⊥PB,FG//BC,FG=
BC.
∵AD⊥PB,∴BC⊥PB,FG⊥PB,
∴∠AGF是所求二面角的平面角.
∵AD⊥面POB,∴AD⊥EG.
又∵PE=BE,∴EG⊥PB,且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中,EG=PE·cos60°=
.
在Rt△PEG中,EG=
AD=1.
于是tan∠GAE=
=
,
又∠AGF=π-∠GAE.
所以所求二面角的大小为π-arctan
.
21.(本小题主要考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.
解:(I)由C与t相交于两个不同的点,故知方程组
有两个不同的实数解.消去y并整理得
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
双曲线的离心率
(II)设
由于x1+x2都是方程①的根,且1-a2≠0,
22.本小题主要考查数列,等比数列的概念和基本知识,考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.满分14分.
解:(I)a2=a1+(-1)1=0,
a3=a2+31=3.
a4=a3+(-1)2=4,
a5=a4+32=13,
所以,a3=3,a5=13.
(II) a2k+1=a2k+3k
= a2k-1+(-1)k+3k,
所以a2k+1-a2k-1=3k+(-1)k,
同理a2k-1-a2k-3=3k-1+(-1)k-1,
……
a3-a1=3+(-1).
所以(a2k+1-a2k-1)+(a2k-1-a2k-3)+…+(a3-a1)
=(3k+3k-1+…+3)+[(-1)k+(-1)k-1+…+(-1)],
由此得a2k+1-a1=
(3k-1)+
[(-1)k-1],
于是a2k+1=
a2k= a2k-1+(-1)k=
(-1)k-1-1+(-1)k=
(-1)k=1.
{an}的通项公式为:
当n为奇数时,an=
当n为偶数时,
2005年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(全国卷Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3到10页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么
球是表面积公式
如果事件A、相互独立,那么
其中R表示球的半径
球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径
一 选择题
(1)函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是
(A).
(B)
(C)
(D)2
(2) 正方体ABCD—A1 B1 C1 D1中,p、q、r、分别是AB、AD、B1 C1的中点。那么正方体的过P、Q、R的截面图形是
(A)三角形 (B)四边形
(C)五边形 (D)六边形
(3)函数y=
-1(X≤0)的反函数是
(A)y=
(x≥-1) (B)y= -
(x≥-1)
(C) Y=
(x≥0) (d)Y= -
(x≥0)
(4)已知函数y=tan
在(-
,
)内是减函数,则
(A)0 <
≤ 1 (B)-1 ≤
< 0 (C)
≥ 1 (D)
≤ -1
(5)设a、b、c、d ∈
R,若
为实数,则
(A)bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0
(C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0
(6)已知双曲线
-
= 1的焦点为F1、、F2,点M在双曲线上且MF1 ⊥ x轴,则F1到直线F2 M的距离为
(A)
(B)
EMBED Equation.3
(C)
(D)
(7)锐角三角形的内角A、B 满足tan A -
= tan B,则有
(A)sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0
(C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0
(8)已知点A(
,1),B(0,0),C(
,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有
,其中
等于
(A)2 (B)
(C)-3 (D) -
(9)已知集合M={x∣
-3x -28 ≤0},N = {x|
-x-6>0},则M∩N 为
(A){x|- 4≤x< -2或3 3 } (D){x|x<- 2或x≥3}
(10)点P在平面上作匀数直线运动,速度向量
=(4,- 3)(即点P的运动方向与
相同,且每秒移动的距离为|
|个单位).设开始时点P的坐标为(- 10,10),则5秒后点P的坐标为
(A)(- 2,4) (B)(- 30,25) (C)(10,- 5) (D)(5,- 10)
(11)如果
… ,
为各项都大于零的等差数列,公差d≠0,则
(A>
>
(B)
<
(C>
(D)
=
(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为
(A)
(B)2+
(C)4+
(D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3.本卷共10小题,共90分。
题号
二
总分
17
18
19
20
21
22
分数
二,填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上。
(13)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0 相切的圆的方程为________.
(14)设a为第四象限的角,若
,则tan 2a =______________.
(15) 在由数字0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中,不能被5整除的数共有__________个。
(16)下面是关于三棱锥的四个命题:
①,底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
②,底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
③,底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
④,侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
其中,真命题的编号是______________。(写出所有真命题的编号)
三,解答题:本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
得分
评卷人
(17)(本小题满分12分)
设函数∮(x)
,求使∮(x)≥的
的x取值范围。
得分
评卷人
(18)(本小题满分12分)
已知{
}是各项均为正数等差数列,1g
、1g
、 1g
成等差数列.又
=
, n =1,2,3,…
(Ⅰ)证明{
}为等比数列 。
(Ⅱ)如果无穷等于比数列{
}各项的和s =
, 求数列{
}的首项
和公差
.
( 注:无穷数列各项的和即当 n
时数列前n项和的极限)
得分
评卷人
(19)(本小题满分12分)
甲、乙两队进行一场排球比赛,根据以往经验,单局比赛甲队胜乙队的概 为0.6 .本场比赛采用五局三胜制.既先胜三局的队获胜,比赛结束.设各局比赛相互间没有影响.令
为本场比赛的局数,求
的概率分布和数学期望.(精确到0.0001)
得分
评卷人
(20)(本小题满分12分)
如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD = PD,E、F 分别为CD、PB的中点。
(1)求证:EF⊥ 平面PAB;
(2)设AB =
,求AC与平面AEF 所成的角的大小。
得分
评卷人
(21)(本小题满分14分)
P、Q、M、N四点都在椭圆
上,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知
与
共线,
与
共线,且
·
= 0.求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值.
得分
评卷人
(22)(本小题12分)
已知a≥ 0 ,函数f(x) = (
-2ax )
(!)当X为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;
(2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求a的取值范围.
2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考号填写清楚,并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式
如果事件A、B互斥,那么
如果事件A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么
次独立重复试验中恰好发生
次的概率是
一.选择题
(1)已知集合
,则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(2)函数
的最小正周期是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)过球的一条半径的中点,作垂直于该半径的平面,则所得截面的面积与球的表面积的比为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)已知
的顶点B、C在椭圆
上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则
的周长是( )
(A)
(B)6 (C)
(D)12
(6)函数
的反函数为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)如图,平面
平面
,
与两平面
、
所成的角分别为
和
。过A、B分别作两平面交线的垂线,垂足为
、
则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)函数
的图像与函数
的图像关于原点对称,则
的表达式为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(9)已知双曲线
的一条渐近线方程为
,则双曲线的离心率为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(10)若
则
( )
(A)
B)
(C)
(D)
(11)设
是等差数列
的前
项和,若
则
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(12)函数
的最小值为( )
(A)190 (B)171 (C)90 (D)45
第II卷
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在横线上。
(13)在
的展开式中常数项是_____。(用数字作答)
(14)已知
的三个内角A、B、C成等差数列,且
则边BC上的中线AD的长为_______。
(15)过点
的直线
将圆
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线
的斜率
(16)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图)。为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查,则在
(元)月收入段应抽出_____人。
三.解答题:本大题共6小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
已知向量
(I)若
求
(II)求
的最大值。
(18)(本小题满分12分)
某批产品成箱包装,每箱5件,一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意出取2件产品进行检验。设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品。
(I)用
表示抽检的6件产品中二等品的件数,求
的分布列及
的数学期望;
(II)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝的概率。
(19)(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱
中,
、
分别为
、
的中点。
(I)证明:ED为异面直线
与
的公垂线;
(II)设
求二面角
的大小。
(20)(本小题12分)
设函数
若对所有的
都有
成立,求实数
的取值范围。
(21)(本小题满分为14分)
已知抛物线
的焦点为F,A、B是抛物线上的两动点,且
过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。
(I)证明
为定值;
(II)设
的面积为S,写出
的表达式,并求S的最小值。
(22)(本小题满分12分)
设数列
的前
项和为
,且方程
有一根为
(I)求
(II)求
的通项公式
2006年普通高等学校招生全国统一考试(全国II卷)
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案和评分参考
评分说明:
1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4.只给整数分数—选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
⑴D ⑵D ⑶A ⑷A ⑸C ⑹B ⑺A ⑻D ⑼A ⑽C ⑾A ⑿C
二、填空题
⒀45 ⒁EQ \r(,3) ⒂EQ \f(\r(,2),2) ⒃25
三、解答题
17.解:(Ⅰ)若a⊥b,则sinθ+cosθ=0,……………2分
由此得 tanθ=-1(-EQ \f(π,2)<θ<EQ \f(π,2)),所以 θ=-EQ \f(π,4);………………4分
(Ⅱ)由a=(sinθ,1),b=(1,cosθ)得
|a+b|=EQ \r(,(sinθ+1)\S(2)+(1+cosθ)\S(2))=EQ \r(,3+2(sinθ+cosθ))
=EQ \r(,3+2\r(,2)sin(θ+\f(π,4))),………………10分
当sin(θ+EQ \f(π,4))=1时,|a+b|取得最大值,即当θ=EQ \f(π,4)时,|a+b|最大值为EQ \r(,2)+1.……12分
18.解:(Ⅰ)ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=EQ \f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(2,3),C\S(2,5))=EQ \f(18,100)=EQ \f(9,50)
P(ξ=1)=EQ \f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(2,3),C\S(2,5))+EQ \f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(1,3)·C\S(1,2),C\S(2,5))=EQ \f(12,25)
P(ξ=2)=EQ \f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(1,3)·C\S(1,2),C\S(2,5))+EQ \f(C\S(2,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(2,2),C\S(2,5))=EQ \f(15,50)
P(ξ=3)=EQ \f(C\S(1,4),C\S(2,5))·EQ \f(C\S(2,2),C\S(2,5))=EQ \f(1,25). ………………8分
ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
EQ \f(9,50)
EQ \f(12,25)
EQ \f(15,50)
EQ \f(1,25)
数学期望为Eξ=1.2.
(Ⅱ)所求的概率为
p=P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=EQ \f(15,50)+EQ \f(1,25)=EQ \f(17,50) ……………12分
19.解法一:
(Ⅰ)设O为AC中点,连接EO,BO,则EOEQ \o(\s\up(∥),\s\do3(=))
EQ \f(1,2)C1C,又C1CEQ \o(\s\up(∥),\s\do3(=))B1B,所以EOEQ \o(\s\up(∥),\s\do3(=))DB,EOBD为平行四边形,ED∥OB. ……2分
∵AB=BC,∴BO⊥AC,
又平面ABC⊥平面ACC1A1,BO(面ABC,故BO⊥平面ACC1A1,
∴ED⊥平面ACC1A1,BD⊥AC1,ED⊥CC1,
∴ED⊥BB1,ED为异面直线AC1与BB1的公垂线.……6分
(Ⅱ)连接A1E,由AA1=AC=EQ \r(,2)AB可知,A1ACC1为正方形,
∴A1E⊥AC1,又由ED⊥平面ACC1A1和ED(平面ADC1知平面
ADC1⊥平面A1ACC1,∴A1E⊥平面ADC1.作EF⊥AD,垂足为F,连接A1F,则A1F⊥AD,∠A1FE为二面角A1-AD-C1的平面角.
不妨设AA1=2,则AC=2,AB=EQ \r(,2)ED=OB=1,EF=EQ \f(AE×ED,AD)=EQ \f(\r(,2),\r(,3)),
tan∠A1FE=EQ \r(,3),∴∠A1FE=60°.
所以二面角A1-AD-C1为60°. ………12分
解法二:
(Ⅰ)如图,建立直角坐标系O-xyz,其中原点O为AC的中点.
设A(a,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c).
则C(-a,0,0),C1(-a,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c). ……3分
EQ \O(ED,\S\UP8(→))=(0,b,0),EQ \O(BB\S\do(1),\S\UP8(→))=(0,0,2c).
EQ \O(ED,\S\UP8(→))·EQ \O(BB\S\do(1),\S\UP8(→))=0,∴ED⊥BB1.
又EQ \O(AC\S\do(1),\S\UP8(→))=(-2a,0,2c),
EQ \O(ED,\S\UP8(→))·EQ \O(AC\S\do(1),\S\UP8(→))=0,∴ED⊥AC1, ……6分
所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线.
(Ⅱ)不妨设A(1,0,0),则B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),
EQ \O(BC,\S\UP8(→))=(-1,-1,0),EQ \O(AB,\S\UP8(→))=(-1,1,0),EQ \O(AA\S\do(1),\S\UP8(→))=(0,0,2),
EQ \O(BC,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))=0,EQ \O(BC,\S\UP8(→))·EQ \O(AA\S\do(1),\S\UP8(→))=0,即BC⊥AB,BC⊥AA1,又AB∩AA1=A,
∴BC⊥平面A1AD.
又 E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,1),
EQ \O(EC,\S\UP8(→))=(-1,0,-1),EQ \O(AE,\S\UP8(→))=(-1,0,1),EQ \O(ED,\S\UP8(→))=(0,1,0),
EQ \O(EC,\S\UP8(→))·EQ \O(AE,\S\UP8(→))=0,EQ \O(EC,\S\UP8(→))·EQ \O(ED,\S\UP8(→))=0,即EC⊥AE,EC⊥ED,又AE∩ED=E,
∴ EC⊥面C1AD. ……10分
cos<EQ \O(EC,\S\UP8(→)),EQ \O(BC,\S\UP8(→))>= \O(EC,\S\UP8(→))EQ \f(·EQ \O(BC,\S\UP8(→)),|EQ \O(EC,\S\UP8(→))|·|EQ \O(BC,\S\UP8(→))|)
=EQ \f(1,2),即得EQ \O(EC,\S\UP8(→))和EQ \O(BC,\S\UP8(→))的夹角为60°.
所以二面角A1-AD-C1为60°. ………12分
20.解法一:
令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……5分
(i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数,
又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0),
即当a≤1时,对于所有x≥0,都有 f(x)≥ax. ……9分
(ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数,
又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0),
即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立.
综上,a的取值范围是(-∞,1]. ……12分
解法二:令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax,
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立. ……3分
对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a
令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, ……6分
当x> ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数,
当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0.
由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]. ……12分
21.解:(Ⅰ)由已知条件,得F(0,1),λ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2).由EQ \O(AF,\S\UP8(→))=λEQ \O(FB,\S\UP8(→)),
即得 (-x1,1-y)=λ(x2,y2-1),
EQ \b\lc\{(\a\al(-x\S\do(1)=λx\S\do(2) ①,1-y\S\do(1)=λ(y\S\do(2)-1) ②))
将①式两边平方并把y1=EQ \f(1,4)x12,y2=EQ \f(1,4)x22代入得 y1=λ2y2 ③
解②、③式得y1=λ,y2=EQ \f(1,λ),且有x1x2=-λx22=-4λy2=-4,
抛物线方程为y=EQ \f(1,4)x2,求导得y′=EQ \f(1,2)x.
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是
y=EQ \f(1,2)x1(x-x1)+y1,y=EQ \f(1,2)x2(x-x2)+y2,
即y=EQ \f(1,2)x1x-EQ \f(1,4)x12,y=EQ \f(1,2)x2x-EQ \f(1,4)x22.
解出两条切线的交点M的坐标为(EQ \f(x\S\do(1)+x\S\do(2),2),EQ \f(x\S\do(1)x\S\do(2),4))=(EQ \f(x\S\do(1)+x\S\do(2),2),-1). ……4分
所以EQ \O(FM,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))=(EQ \f(x\S\do(1)+x\S\do(2),2),-2)·(x2-x1,y2-y1)=EQ \f(1,2)(x22-x12)-2(EQ \f(1,4)x22-EQ \f(1,4)x12)=0
所以EQ \O(FM,\S\UP8(→))·EQ \O(AB,\S\UP8(→))为定值,其值为0. ……7分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在△ABM中,FM⊥AB,因而S=EQ \f(1,2)|AB||FM|.
|FM|=EQ \r(,(\f(x\S\do(1)+x\S\do(2),2))\S(2)+(-2)\S(2))=EQ \r(,\f(1,4)x\S\do(1)\S(2)+\f(1,4)x\S\do(2)\S(2)+\f(1,2)x\S\do(1)x\S\do(2)+4)
=EQ \r(,y\S\do(1)+y\S\do(2)+\f(1,2)×(-4)+4)
=EQ \r(,λ+\f(1,λ)+2)=EQ \r(,λ)+EQ \f(1,\r(,λ)).
因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以
|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=λ+EQ \f(1,λ)+2=(EQ \r(,λ)+EQ \f(1,\r(,λ)))2.
于是 S=EQ \f(1,2)|AB||FM|=(EQ \r(,λ)+EQ \f(1,\r(,λ)))3,
由EQ \r(,λ)+EQ \f(1,\r(,λ))≥2知S≥4,且当λ=1时,S取得最小值4.
22.解:(Ⅰ)当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=EQ \f(1,2).
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-EQ \f(1,2),
于是(a2-EQ \f(1,2))2-a2(a2-EQ \f(1,2))-a2=0,解得a1=EQ \f(1,6).
(Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,
即 Sn2-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,代入上式得
Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
由(Ⅰ)知S1=a1=EQ \f(1,2),S2=a1+a2=EQ \f(1,2)+EQ \f(1,6)=EQ \f(2,3).
由①可得S3=EQ \f(3,4).
由此猜想Sn=EQ \f(n,n+1),n=1,2,3,…. ……8分
下面用数学归纳法证明这个结论.
(i)n=1时已知结论成立.
(ii)假设n=k时结论成立,即Sk=EQ \f(k,k+1),
当n=k+1时,由①得Sk+1=EQ \f(1,2-S\S\do(k)),即Sk+1=EQ \f(k+1,k+2),
故n=k+1时结论也成立.
综上,由(i)、(ii)可知Sn=EQ \f(n,n+1)对所有正整数n都成立. ……10分
于是当n≥2时,an=Sn-Sn-1=EQ \f(n,n+1)-EQ \f(n-1,n)=EQ \f(1,n(n+1)),
又n=1时,a1=EQ \f(1,2)=EQ \f(1,1×2),所以
{an}的通项公式an=EQ \f(n,n+1),n=1,2,3,…. ……12分
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)
理科数学(必修+选修Ⅱ)
注意事项:
1. 本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.
3. 选择题的每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.
4. 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写,字体工整,笔迹清楚
5. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答.超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效.
6. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件
互斥,那么
球的表面积公式
如果事件
相互独立,那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率
其中
表示球的半径
一、选择题
1.
( )
A.
B.
C.
D.
2.函数
的一个单调增区间是( )
A.
B.
C.
D.
3.设复数
满足
,则
( )
A.
B.
C.
D.
4.下列四个数中最大的是( )
A.
B.
C.
D.
5.在
中,已知
是
边上一点,若
,则
( )
A.
B.
C.
D.
6.不等式
的解集是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知正三棱柱
的侧棱长与底面边长相等,则
与侧面
所成角的正弦值等于( )
A.
B.
C.
D.
8.已知曲线
的一条切线的斜率为
,则切点的横坐标为( )
A.3
B.2
C.1
D.
9.把函数
的图像按向量
平移,得到
的图像,则
( )
A.
B.
C.
D.
10.从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有( )
A.40种
B.60种
C.100种
D.120种
11.设
分别是双曲线
的左、右焦点,若双曲线上存在点
,使
且
,则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
12.设
为抛物线
的焦点,
为该抛物线上三点,若
,则
( )
A.9
B.6
C.4
D.3
第Ⅱ卷(非选择题)
本卷共10题,共90分
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.
的展开式中常数项为 .(用数字作答)
14.在某项测量中,测量结果
服从正态分布
.若
在
内取值的概率为0.4,则
在
内取值的概率为 .
15.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1cm,那么该棱柱的表面积为 cm
.
16.已知数列的通项
,其前
项和为
,则
.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在
中,已知内角
,边
.设内角
,周长为
.
(1)求函数
的解析式和定义域;
(2)求
的最大值.
18.(本小题满分12分)
从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取1件,假设事件
:“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率
.
(1)求从该批产品中任取1件是二等品的概率
;
(2)若该批产品共100件,从中任意抽取2件,
表示取出的2件产品中二等品的件数,求
的分布列.
19.(本小题满分12分)
如图,在四棱锥
中,底面
为正方形,
侧棱
底面
分别为
的中点.
(1)证明
平面
;
(2)设
,求二面角
的大小.
20.(本小题满分12分)
在直角坐标系
中,以
为圆心的圆与直线
相切.
(1)求圆
的方程;
(2)圆
与
轴相交于
两点,圆内的动点
使
成等比数列,求
的取值范围.
21.(本小题满分12分)
设数列
的首项
.
(1)求
的通项公式;
(2)设
,证明
,其中
为正整数.
22.(本小题满分12分)
已知函数
.
(1)求曲线
在点
处的切线方程;
(2)设
,如果过点
可作曲线
的三条切线,证明:
.
2007年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题(必修+选修Ⅱ)参考答案
评分说明:
1. 本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.
2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度.可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
4. 只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题
1.D
2.C
3.C
4.D
5.A
6.C
7.A
8.A
9.C
10.B
11.B
12.B
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:(1)
的内角和
,由
得
.
应用正弦定理,知
,
.
因为
,
所以
,
(2)因为
,
所以,当
,即
时,
取得最大值
.
18.解:(1)记
表示事件“取出的2件产品中无二等品”,
表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”.
则
互斥,且
,故
于是
.
解得
(舍去).
(2)
的可能取值为
.
若该批产品共100件,由(1)知其二等品有
件,故
.
.
.
所以
的分布列为
0
1
2
19.解法一:
(1)作
交
于点
,则
为
的中点.
连结
,又
,
故
为平行四边形.
,又
平面
平面
.
所以
平面
.
(2)不妨设
,则
为等
腰直角三角形.
取
中点
,连结
,则
.
又
平面
,所以
,而
,
所以
面
.
取
中点
,连结
,则
.
连结
,则
.
故
为二面角
的平面角
.
所以二面角
的大小为
.
解法二:(1)如图,建立空间直角坐标系
.
设
,则
,
.
取
的中点
,则
.
平面
平面
,
所以
平面
.
(2)不妨设
,则
.
中点
又
,
,
所以向量
和
的夹角等于二面角
的平面角.
.
所以二面角
的大小为
.
20.解:(1)依题设,圆
的半径
等于原点
到直线
的距离,
即
.
得圆
的方程为
.
(2)不妨设
.由
即得
.
设
,由
成等比数列,得
,
即
.
由于点
在圆
内,故
由此得
.
所以
的取值范围为
.
21.解:(1)由
整理得
.
又
,所以
是首项为
,公比为
的等比数列,得
(2)方法一:
由(1)可知
,故
.
那么,
又由(1)知
且
,故
,
因此
为正整数.
方法二:
由(1)可知
,
因为
,
所以
.
由
可得
,
即
两边开平方得
.
即
为正整数.
22.解:(1)求函数
的导数;
.
曲线
在点
处的切线方程为:
,
即
.
(2)如果有一条切线过点
,则存在
,使
.
于是,若过点
可作曲线
的三条切线,则方程
有三个相异的实数根.
记
,
则
.
当
变化时,
变化情况如下表:
0
0
0
极大值
极小值
由
的单调性,当极大值
或极小值
时,方程
最多有一个实数根;
当
时,解方程
得
,即方程
只有两个相异的实数根;
当
时,解方程
得
,即方程
只有两个相异的实数根.
综上,如果过
可作曲线
三条切线,即
有三个相异的实数根,则
即
.
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至10页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
注意事项:
1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上.
2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.
3.本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
参考公式:
如果事件
互斥,那么
球的表面积公式
如果事件
相互独立,那么
其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
,那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示球的半径
一、选择题
1.设集合
,
( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,
,∴
【高考考点】集合的运算,整数集的符号识别
2.设
且
,若复数
是实数,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
,因是实数且
,所以
【高考考点】复数的基本运算
3.函数
的图像关于( )
A.
轴对称 B. 直线
对称
C. 坐标原点对称 D. 直线
对称
【答案】C
【解析】
是奇函数,所以图象关于原点对称
【高考考点】函数奇偶性的性质
4.若
,则( )
A.
<
<
B.
<
<
C.
<
<
D.
<
<
【答案】C
【解析】由
,令
且取
知
<
<
5.设变量
EMBED Equation.3
满足约束条件:
,则
的最小值( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】如图作出可行域,知可行域的顶点是
、
及
。于是
在点
取得最小值,
即
。
6.从20名男同学,10名女同学中任选3名参加体能测试,则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
7.
的展开式中
的系数是( )
A.
B.
C.3
D.4
【答案】B
【解析】
【易错提醒】容易漏掉
项或该项的负号
8.若动直线
与函数
和
的图像分别交于
两点,则
的最大值为( )
A.1
B.
C.
D.2
【答案】B
【解析】在同一坐标系中作出
及
在
的图象,由图象知,当
,即
时,得
,
,∴
(方法二):
。
【高考考点】三角函数的图象,两点间的距离
【备考提示】函数图象问题是一个常考常新的问题
9.设
,则双曲线
的离心率
的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
,因为
是减函数,所以当
时
,所以
,即
(讨论
的技巧性)。
【高考考点】解析几何与函数的交汇点
10.已知正四棱锥
的侧棱长与底面边长都相等,
是
的中点,则
所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】连接AC、BD交于O,连接OE,因OE∥SD。所以∠AEO为所求。设侧棱长与底面边长都等于2,则在⊿AEO中,OE=1,AO=
,AE=
,
(或在
中,
)于是
。
11.等腰三角形两腰所在直线的方程分别为
与
,原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( )
A.3 B.2 C.
D.
【答案】A
【解析】
,
,设底边为
由题意,
到
所成的角等于
到
所成的角于是有
再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A
【高考考点】两直线成角的概念及公式
【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。(人教版P49例7)
12.已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )
A.1 B.
C.
D.2
【答案】C
【解析】设两圆的圆心分别为
、
,球心为
,公共弦为AB,其中点为E,则
为矩形,于是对角线
,而
,∴
【高考考点】空间想象能力。球的有关概念,两平面垂直的性质
2008年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修Ⅱ)
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.
13.设向量
EMBED Equation.3
,若向量
与向量
共线,则
.
【答案】 2
【解析】
则向量
与向量
共线
14.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直,则
.
【答案】 2
【解析】
,∴切线的斜率
,所以由
得
15.已知
是抛物线
的焦点,过
且斜率为1的直线交
于
两点.设
,则
与
的比值等于 .
【答案】
【解析】设
由
EMBED Equation.3 ,
,(
);
∴ 由抛物线的定义知
。
【高考考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用
16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边分别平行.类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件① ;
充要条件② .
(写出你认为正确的两个充要条件)
【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交于一点;底面是平行四边形.
注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案,同样给分.
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)
在
中,
,
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)设
的面积
,求
的长.
【解析】
(Ⅰ)由
,得
,
由
,得
.
所以
.
5分
(Ⅱ)由
得
,
由(Ⅰ)知
,
故
,
8分
又
,
故
,
.
所以
.
10分
18.(本小题满分12分)
购买某种保险,每个投保人每年度向保险公司交纳保费
元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为
.
(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率
;
(Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).
【解析】 各投保人是否出险互相独立,且出险的概率都是
,记投保的10 000人中出险的人数为
,则
.
(Ⅰ)记
表示事件:保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金,则
发生当且仅当
,
2分
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
又
,故
.
5分
(Ⅱ)该险种总收入为
元,支出是赔偿金总额与成本的和.
支出
,
盈利
,
盈利的期望为
,
9分
由
知,
,
EMBED Equation.DSMT4 .
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 (元).
故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
12分
19.(本小题满分12分)
如图,正四棱柱
中,
,点
在
上且
.
(Ⅰ)证明:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的大小.
【解析】
解法一:
依题设知
,
.
(Ⅰ)连结
交
于点
,则
.
由三垂线定理知,
.
3分
在平面
内,连结
交
于点
,
由于
,
故
,
,
与
互余.
于是
.
与平面
内两条相交直线
都垂直,
所以
EMBED Equation.DSMT4 平面
.
6分
(Ⅱ)作
,垂足为
,连结
.由三垂线定理知
,
故
是二面角
的平面角.
8分
,
,
.
,
.
又
,
.
.
所以二面角
的大小为
.
12分
解法二:
以
为坐标原点,射线
为
轴的正半轴,
建立如图所示直角坐标系
.
依题设,
.
,
.
3分
(Ⅰ)因为
,
,
故
,
.
又
,
所以
平面
.
6分
(Ⅱ)设向量
是平面
的法向量,则
,
.
故
,
.
令
,则
,
,
.
9分
等于二面角
的平面角,
.
所以二面角
的大小为
.
12分
20.(本小题满分12分)
设数列
的前
项和为
.已知
,
,
.
(Ⅰ)设
,求数列
的通项公式;
(Ⅱ)若
,
,求
的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)依题意,
,即
,
由此得
.
4分
因此,所求通项公式为
,
.①
6分
(Ⅱ)由①知
,
,
于是,当
时,
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
EMBED Equation.DSMT4 ,
当
时,
EMBED Equation.DSMT4 .
又
.
综上,所求的
的取值范围是
.
12分
21.(本小题满分12分)
设椭圆中心在坐标原点,
是它的两个顶点,直线
与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(Ⅰ)若
,求
的值;
(Ⅱ)求四边形
面积的最大值.
【解析】
(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为
,
直线
的方程分别为
,
.
2分
如图,设
,其中
,
且
满足方程
,
故
...............①
由
知
,得
;
由
在
上知
,得
.
所以
,
化简得
,
解得
或
.
6分
(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点
到
的距离分别为
,
.
9分
又
,所以四边形
的面积为
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
当
,即当
时,上式取等号.所以
的最大值为
.
12分
解法二:由题设,
,
.
设
,
,由①得
,
,
故四边形
的面积为
EMBED Equation.DSMT4
9分
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 ,
当
时,上式取等号.所以
的最大值为
.
12分
22.(本小题满分12分)
设函数
.
(Ⅰ)求
的单调区间;
(Ⅱ)如果对任何
,都有
,求
的取值范围.
【解析】
(Ⅰ)
.
2分
当
(
)时,
,即
;
当
(
)时,
,即
.
因此
在每一个区间
(
)是增函数,
在每一个区间
(
)是减函数.
6分
(Ⅱ)令
,则
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
故当
时,
.
又
,所以当
时,
,即
.
9分
当
时,令
,则
.
故当
时,
. 因此
在
上单调增加.
故当
时,
,即
.
于是,当
时,
.
当
时,有
.
因此,
的取值范围是
.
12分
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页。第II卷3至4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。满分150分,考试用时120分钟。
第I卷(选择题,共60分)
注意事项:
1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚,并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在的位置贴好条形码,
2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选题其它答案标号,在试卷上答案无效。
参考公式:
如果事件互斥,那么 球的表面积公式
如果事件
相互独立,那么 其中
表示球的半径
球的体积公式
如果事件
在一次试验中发生的概率是
,
那么
次独立重复试验中事件
恰好发生
次的概率 其中
表示球的半径
本卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
1、 选择题:
1.
A.
B.
C.
D.
2. 设集合
,则
=
A.
B.
C.
D.
3. 已知
中,
, 则
A.
B.
C.
D.
4.曲线
在点
处的切线方程为
A.
B.
C.
D.
5. 已知正四棱柱
中,
EMBED Equation.DSMT4 为
中点,则异面直线
与
所成的角的余弦值为
A.
B.
C.
D.
6. 已知向量
,则
A.
B.
C.
D.
7. 设
,则
A.
B.
C.
D.
8. 若将函数
的图像向右平移
个单位长度后,与函数
的图像重合,则
的最小值为
A.
B.
C.
D.
9. 已知直线
与抛物线
相交于
两点,
为
的焦点,若
,则
A.
B.
C.
D.
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种
B. 12种
C. 30种
D. 36种
11. 已知双曲线
的右焦点为
,过
且斜率为
的直线交
于
两点,若
,则
的离心率为
A.
B.
C.
D.
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“
”的面的方位是
A. 南
B. 北
C. 西
D. 下
2009年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第II卷(非选择题,共90分)
注意事项:
本卷共2页,10小题,用黑色碳素笔将答案答在答题卡上。答在试卷上的答案无效。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题卡上。
13.
的展开式中
的系数为 。
14. 设等差数列
的前
项和为
,若
则
.
15.设
是球
的半径,
是
的中点,过
且与
成45°角的平面截球
的表面得到圆
。若圆
的面积等于
,则球
的表面积等于
16. 已知
为圆
:
的两条相互垂直的弦,垂足为
,则四边形
的面积的最大值为 。
三、解答题:本大题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17(本小题满分10分)
设
的内角
、
、
的对边长分别为
、
、
,
,
,求
。
18(本小题满分12分)
如图,直三棱柱
中,
、
分别为
、
的中点,
平面
(I)证明:
(II)设二面角
为60°,求
与平面
所成的角的大小。
19(本小题满分12分)
设数列
的前
项和为
已知
EMBED Equation.DSMT4
(I)设
,证明数列
是等比数列
(II)求数列
的通项公式。
20(本小题满分12分)
某车间甲组有10名工人,其中有4名女工人;乙组有5名工人,其中有3名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
(I)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(II)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率;
(III)记
表示抽取的3名工人中男工人数,求
的分布列及数学期望。
(21)(本小题满分12分)
已知椭圆
的离心率为
,过右焦点F的直线
与
相交于
、
粮店,当
的斜率为1时,坐标原点
到
的距离为
(I)求
,
的值;
(II)
上是否存在点P,使得当
绕F转到某一位置时,有
成立?
若存在,求出所有的P的坐标与
的方程;若不存在,说明理由。
22.(本小题满分12分)
设函数
有两个极值点
,且
(I)求
的取值范围,并讨论
的单调性;
(II)证明:
www.ks5u.com
正棱台、圆台的侧面积公式
� EMBED Equation.3 ���
其中c′、c分别表示上、下底面周长,l表示
斜高或母线长
台体的体积公式
� EMBED Equation.3 ���
其中R表示球的半径
P
C
A
B
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
球的表面积公式
S=4� EMBED Equation.3 ���
其中R表示球的半径,
球的体积公式
V=� EMBED Equation.3 ���,
其中R表示球的半径
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
� EMBED PBrush ���
球的表面积公式
� EMBED Equation.DSMT4 ���
其中R表示球的半径
球的体积公式
� EMBED Equation.DSMT4 ���
其中R表示球的半径
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
F
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
O
z
x
y
A
E
B
C
F
S
D
A
E
B
C
F
S
D
H
G
M
A
A
E
B
C
F
S
D
G
M
y
z
x
A
B
C
_1242905676.unknown
_1242912065.unknown
_1274862013.unknown
_1274876836.unknown
_1279101192.unknown
_1305912327.unknown
_1305913378.unknown
_1305913829.unknown
_1305914011.unknown
_1305914052.unknown
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