第六章 假设检验

第六章假设检验第一节假设检验的基本逻辑例：通过以往大规模调查，已知某地新生儿头围均值为34.50cm，标准差为1.99cm。为研究该地某矿区新生儿发育状况，从该矿区随机抽取新生儿55人，测得其头围均值为33.89cm。问该矿区新生儿头围均值是否小于一般新生儿头围均值？一、差异来源根据题意，Xbar=33.89，μ0=34.50，两者差值为0.61cm。该差异来源有两种可能性：1、该矿区的自然社会条件并不影响新生儿发育，矿区新生儿总体的头围均值μ1与一般新生儿（总体）头围均值μ0相等（μ1=μ0），样本均值与总体均值的差异来源于抽样误差，也就是说我们抽到了一个头围偏小的样本，由此造成的差异不具有显著性（significance）,即没有统计学意义。2、差异不仅仅由抽样误差造成，矿区新生儿总体头围均值小于一般新生儿总体头围均值（μ1<μ0），这种差异被认为具有显著性，亦即有统计学意义。在这两者之间如何抉择呢？关键在于两个均值的差异能否用抽样误差来解释。二、成立假设：在统计学里，上述问题是用反证法的方式来解决的，首先假设差异可由抽样误差解释，两总体均值相等，然后再来分析在μ1=μ0的总体中随机抽样，得到头围均值小到Xbar=33.89这个程度的可能性有多大。如果这个可能性很小，则拒绝这一假设，而采纳相反的假设。所以，我们首先要成立两个相互对立的假设：虚无假设H0和备择假设H1。虚无假设（nullhypothesis，或译为无效假设，）主张，差异可以由抽样误差来解释，也就是说差异在总体中不存在或无效。备择假设与虚无假设对立，主张样本数据表现出的差异来源于总体差异。在假设检验中，直接检验的是虚无假设，所以虚无假设又称检验假设（hypothesistobetested）。在本例中，我们可成立如下假设：H0：μ1=μ0H1：μ1<μ0三、在H0条件下计算检验统计量。如果H0成立，根据中心极限定理，均值的抽样分布服从正态分布，从研究总体中随机抽取样本量为55的样本，其均值会落在正态曲线横轴的任一位置，但大多数会落在总体均值μ1=μ0附近，远离中心点的可能性较小。样本均值偏离中心点的距离可由其标准值来衡量。本例中，n=55，σ=1.99，在H0：μ1=34.50条件下，将观测值Xbar标准化，即Xbar=33.89与中心点之间的距离（以标准差为单位来衡量）为：z=（33.89-34.50）/（1.99/n1/2）=-2.273由此可见Xbar=33.89落在距中心点较远的位置。四、计算概率值（p值），做出决策。在这个情况下，我们是否接受无效假设H0呢？我们先计算在H0成立的条件下，抽到头围均值小到Xbar=33.89这个程度的样本的可能性。查表可知，p（z<-2.273）=0.0116。这样，如果接受H0，则说明我们抽到了一个均值严重偏小的样本，抽到这么偏的样本的可能性只有1.16%。决策的风险两种选择：1、接受H0，我们的运气太差，抽到了一个很偏的样本；2、拒绝H0，犯错误的概率为1.16%。P值的含义在本例中，p=0.0116意味着在H0条件下，抽到如此偏小的样本的可能性只有0.0116。一般来说，1、概值意味着在H0条件下，抽到比实有样本更偏的样本的可能性；2、或者表述为，p值意味着样本数据对虚无假设的支持程度（或两者之间的一致性程度）；3、在假设检验过程中，如果p值较小，我们拒绝H0，p就是我们要冒的风险。结论：P值反映了拒绝原假设时所犯错误的可能性，在进行假设检验时，我们通常要设定一个我们所能接受的犯这种错误的风险水平α值，称为检验水准或显著性水平。p<α,拒绝原假设；p>α,不拒绝原假设。第二节进一步的讨论一、检验的方向二、两类错误三、假设检验的统计意义第三节均值比较的Z检验两个均值的比较这里讨论的是从两个总体中分别抽取随机样本，通过对样本数据的分析来推断总体均值差异的方法，亦即两个均值差异的比较问题。多均值比较在方差分析中另行介绍。基本思路：设两总体均值分别为U1和U2，成立虚无假设H0:U1-U2=0,或U1=U2；在H0条件下，两样本是从总体中随机抽取的，其均值差异X1-X2可以等于零，也可以不等于零，是一个围绕零值波动的随机分布。统计研究表明，样本均值差值X1-X2服从于均值为0，标准差为SE的正态分布。其中X1-X2的方差正好是X1和X2的方差之和。故两样本均值Z检验的统计量计算公式为：Z=X1-X2/SE。练习：有趣的环境是否会对脑发育产生影响呢？美国某生物学家对老鼠进行了实验。他随机抽出10窝新出生的老鼠，每窝中分别随机抽取出1只到处理组，1只到对照组。两组老鼠所受待遇相同，所不同的只是处理组的老鼠都住在一个笼子里，还放了许多好玩的东西；而对照组的老鼠却用隔板分开，也没有什么玩具。一个月后，取出每只老鼠的脑皮质，各窝中10对老鼠脑皮质重量如下表（单位：厘克）：处理组68656667666664696366对照组65626465645963655865第四节大样本比例的假设检验当n较大，且比例不接近于0和1时，大样本比例（或百分率）的比较可采用z检验。具体应用条件如下：n较大，且每组例数都大于60；样本比例p和1-p都不接近于100%和0；np和n(1-p)均大于5。一、单样本比例的z检验比例是均值的一种特殊情况，对比例进行检验，其思想是将属性数据转化为（二分变量），然后对其均值进行检验。对某高校随机抽样n=200的样本，根据样本计算出学生中城市户口为40%。问该高校城市户口学生比例是否高于35%。（显著性水平为0.05）　二、两个比例的比较对两个样本比例（p1和p2）进行检验的目的是推断两个总体的比例是否不同。其基本原理与两样本均值比较类同。例题：为比较城镇和农村小家庭的比例是否相等，分别抽取样本如下：n1=150,x1=123;n2=200,x2=102(显著度为0.001)练习：美国某学者对287位母亲抱新生儿的方式进行了观察，发现大多数母亲都把婴儿抱在左边，不管母亲是左撇子还是右撇子。数据如下：右边左边合计右撇子43212255左撇子72532合计50237287问：1、全部母亲中将婴儿抱在左边的比例是否为50%？2、右撇子母亲和左撇子母亲将婴儿抱在左边之比例的差异具有统计学意义吗？（是否具有显著性）猜一猜为什么母亲们偏爱在左边抱婴儿？第六节小结一、假设检验的p值法与经典法的比较二、假设检验中的两类误差（错误）三、假设检验的统计意义1、假设检验结论的正确性是以概率作为保证的2、p值的含义3、统计结论的表述