机械优化设计复习题-答案

《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速下降法求f(X)=100(X2-X12)2+(1-XI)2的最优解时，设X®=卜0.5,0.5卩，第一步迭代的搜索方向为［-47.-50卩。2、机械优化设计采用数学规划法，其核心一是寻找搜索方向,二是讣算最优步长。3、当优化问题是凸规划的情况下,任何局部最优解就是全域最优解。4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高一低一高趋势。5、包含n个设计变量的优化问题，称为n维优化问题。6、函数丄X’HX+B/X+C的梯度为B。2_7、设G为nxn对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d°,d1,满足(d°)TGd*=0.则d°、出之间存在共辄关系。8、设讣变量、口标函数、约束条件是优化设计问题数学模型的基本要素。9、对于无约束二元函数/(“勺)，若在x0(x10,x20)点处取得极小值，其必要条件是=0,充分条件是一V2f(X",x“)=0正定°10、条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。11、用黃金分割法求一元函数/(x)=x2-10x+36的极小点，初始搜索区间［°,切=［-10,10］,经第一次区间消去后得到的新区间为卜2.3610］。12、优化设计问题的数学模型的基本要素有设讣变量、LI标函数、约束条件。13、牛顿法的搜索方向dk二-H加,其计算量乂，且要求初始点在极小点附近位置。14、将函数f(X)=x12+x22-xix2-1Oxi-4x2+60示成-XTHX+BTX+C的形式2站切丄匕―；］创+•［二4—1•［釘•+6。。15、存在矩阵H,向量山，向量ch，当满足djHd严0,向量山和向量ch是关于H共轨。16、采用外点法求解约束优化问题时，将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因子r数列，具有单调递增特点。17、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即求最优步长。二、选择题1、下面c需要求海赛矩阵。A、最速下降法B、共辄梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题min/(X)=x；+疋一4x2+4g1(X)=x1-x；-l>0g2(X)=3-x.>0g3(x)yo根据目标函数等值线和约束曲线，判断x(,)=UJJr为，x(2)=[-,|]r22为oDA•点；点外点；外点c占•外占D.外点；点3、点惩罚函数法可用于求解优化问题。A无约束优化问题B只含有不等式约束的优化问题C只含有等式的优化问题D含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为[a,b],中间插入两个点ai、bi,aivbi,计算出f(ai)+aS(k>=X(0>+aS(0)-2+a12-2+12a■4-—6-4-6a-把新的迭代点带入訂标函数，LI标函数将成为一个关于单变量a的函数F(a)f(X(k+U)=f(「[器])=1・5(-2+12a)2+0.5(4一6a)2一(-2+12a)(4一6cx)—2(-2+12a)=F(a)令警=_180+612a=0,可以求出当前搜索方向上的最优步长⑴訴0.2941新的迭代点为X(。)+aS(o〉=152922.2354-当前梯度向量的长度||Vf||="12x12+6x6=13.4164>&因此继续进行迭代。第一迭代步完成。2、试用牛顿法求f(X)=(xi-2)2+(xi-2x2)2的最优解,设初始点x(0)=[2J]To解1：(注：题L1岀题不当，初始点已经是最优点，解2是修改题I」后解法。)牛顿法的搜索方向为S(k)=一沪⑴-W(f),因此首先求出当前迭代点X®的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵v(f)=[4*xl-4*x2-4l3L8*x2-4*xlV(f(x®))=曲计=皆:]妙=-V2(Q-lV(f)=[J]不用搜索，当前点就是最优点。解厶上述解法不是典型的牛顿方法，原因在于题LI的初始点选择不当。以下修改求解题目的初始点，以体现牛顿方法的典型步骤。以非最优点x（0）=[1,2]t作为初始点，重新釆用牛顿法计算牛顿法的搜索方向为S（k）=因此首先求出当前迭代点X（°）的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵V2®=[-48梯度函数：v(2[4M二„]初始点梯度向量：v(f(x(o)))=[g海色矩阵:海色矩阵逆矩阵:11.当前步的搜索方向为：S(k)=_v2(fTv(f)=-卅：][；；]=-1.1新的迭代点位于、打询的搜索方向上:X(k+1)=X(k>+aS+aS(0>+a-11一a.1-2+a.把新的迭代点带入LI标函数，LI标函数将成为一个关于单变量a的函数F(a)f(xz)"([；；：])=(a+1)2+(3a+3)2=F(a)令警"Oa+20=0,可以求出当前搜索方向上的最优步长新的迭代点为X⑴=X⑹+as⑹=g]-[-^=[2]就梯度向量的长度||Vf||=V12X12+8x8=14.4222>&因此继续进行迭代。第二迭代步：v(f)=[4*xl-4*x2-4lk7L8*x2-4*xlV(fg))=咼l|Vf||=002~2|=8-4=4>0-24I因此V2(f)正定,X-=g］=［；］是极小点,极值为f(X*)=-84、求U标函数f(X)=x12+x1X24-2X22+4x1+6X2+10的极值和极值点。解法同上5、试证明函数f(X)=2xi2+5X22+X32+2X3X2+2X3X1-6x2+3在点［1,1,-2］t处具有极小值。解：必要条件：4*xl+2*x3V(f)=10*x2+2*x3-6.2*xl+2♦x2+2♦x3.将点［1,1,・2卩带入上式，可得O'V(f)=0.0.充分条件V2(f)=0102L222J|4|=4>0010=40>04020102=80-40-16=24>0222护(f)正定。因此函数在点［1，1,-2卩处具有极小值6、给定约束优化问题minf(X)=(xi-3)2+(X2-2)2s.t.gi(X)=—xi2—X22+5^0g2(X)=—xi—2x2+4^0g3(X)=x&Og4(X)=X2^0验证在点x=[2,l]7Kuhn-Tucker条件成立。解：首先，找出在点X=[2,if起作用约束:gi(X)—0g2(X)—0g3(X)—2g4(X)=1因此起作用约束为gi(X).g2(X)o然后，计算LI标函数、起作用约束函数的梯度，检查LI标函数梯度是否可以表示为起作用约束函数梯度的非负线性组合。心[抚为七]啥)=匚:卧内V(g2)=匚;]求解线性组合系数V(f)=AlV(gl)+入2V(g2)得到A1=|,A2=|,均大于0因此在点X=[2,ifKuhn-Tucker条件成立7、设非线性规划问题min/(X)=(x,-2)2+x；s.t.gi(X)=X]»O^2(X)=x2>0g3(x)=彳—球+ino用K-T条件验证X*=[l,0]f为其约束最优点。解法同上8、已知目标函数为f(X)=xi+x2,受约束于：gl(X)=-Xi2+X2>0g2(X)=xi>0写出点罚函数。解：点罚函数的一般公式为P.min0(x,N))=F(x)+厂⑴刀—"=1丿xERn其中：r,n>r,2)>r(3)->r(k)->0是一个递减的正值数列r(k)=Cr'k-r),00g3(X)=Xi>0g4(X)=X2>0试写出点罚函数。解法同上10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法(x取何值)才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。11、某厂生产一个容积为MOOcm*的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。12、一根长/的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。14、薄铁板宽20cm,折成梯形槽/,求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c,高度为h,面积A=64516mm2,斜边与底边的夹角为8,见图1。管道液体的流速与管道截面的周长s的倒数成比例关系（s只包括底边和两侧边，不计顶边）。试按照使液体流速最大确定该管道的参数。写出这一优化设计问题的数学模型。并用matlab软件的优化工具箱求解（写出M文件和求解命令）。16、某电线电缆车间生产力缆和话缆两种产品。力缆每米需用材料9kg,3个工时，消耗电能4kW・h,可得利润60元；话缆每米需用材料4kg,10个工时，消耗电能5kWh,可得利润120元。若每天材料可供应360kg,有300个工时消耗电能200kWh可利用。如要获得最大利润，每天应生产力缆、话缆各多少米？写出该优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。