概率3-2

概率论第四节边缘分布边缘分布离散型随机变量的边缘分布律连续型随机变量的边缘概率密度课堂小结布置作业概率论二维联合分布全面地反映了二维随机变量(X,Y)的取值及其概率规律.而单个随机变量X,Y也具有自己的概率分布.那么要问:二者之间有什么关系呢?这一节里,我们就来探求这个问题.概率论二维随机变量(X,Y)作为一个整体,一、边缘分布函数概率论一般地，对离散型r.v(X,Y)，则(X,Y)关于X的边缘分布律为二、离散型随机变量的边缘分布律概率论(X,Y)关于Y的边缘分布律为概率论【注】边缘分布律可由联合分布律表所决定: 1即是联合分布律表中所在行的概率之和是联合分布律表中所在列的概率之和_1193125117.unknown_1193125264.unknown_1193125331.unknown_1193912770.unknown_1193912822.unknown_1193912837.unknown_1193912926.unknown_1193912788.unknown_1193912651.unknown_1193912752.unknown_1193912634.unknown_1193125297.unknown_1193125313.unknown_1193125279.unknown_1193125206.unknown_1193125235.unknown_1193125251.unknown_1193125219.unknown_1193125174.unknown_1193125179.unknown_1193125135.unknown_1193125027.unknown_1193125075.unknown_1193125098.unknown_1193125056.unknown_1193124969.unknown_1193125002.unknown_1193124927.unknown概率论概率论例1已知下列分布律求其边缘分布律.概率论注意联合分布边缘分布解概率论解P{X=i,Y=j}=P{Y=j|X=i}P{X=i}=(1/i)(1/4),(i≥j)于是(X,Y)的分布律及关于X和Y的边缘分布律为例2：令随机变量X表示在1,2,3,4中等可能地取一个值,令随机变量Y表示在1~X中等可能地取一个值.求（X，Y）分别关于X和Y的边缘分布律. YX 1 2 3 4 P{Y=j} 1 1/4 1/8 1/12 1/16 25/48 2 0 1/8 1/12 1/16 13/48 3 0 0 1/12 1/16 7/48 4 0 0 0 1/16 3/48 P{X=i} 1/4 1/4 1/4 1/4 1概率论我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上，由此得出边缘分布这个名词.联合分布律与边缘分布律的关系：由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布概率论对连续型r.v(X,Y)，X和Y的联合概率密度为则(X,Y)关于X的边缘概率密度为事实上,三、连续型随机变量的边缘概率密度概率论同理可得Y的边缘分布函数Y的边缘概率密度.概率论例1设随机变量X和Y具有联合概率密度求边缘概率密度fX(x),fY(y).解概率论解例2概率论概率论概率论例2：设二维随机变量（X，Y）的概率密度.分别求X和Y的密度函数和._1193915165.unknown_1197409610.unknown_1191304471.unknown解X的密度函数为_1191304471.unknownY的密度函数为_1193915165.unknown概率论解（X，Y）的联合密度函数则（X，Y）关于X的边缘密度函数（X，Y）关于Y的边缘密度函数例3：设二维随机变量服从单位圆上的均匀分布,求关于X和Y的边缘分布._1008270473.unknown_1193917285.unknown概率论例4设(X,Y)在椭圆所围成的区域上服从均匀分布。即其联合密度为求X,Y的边缘密度。解(1)当︱x︱>a时，概率论(2)当︱x︱≤a时，概率论同理，可得关于Y的边缘密度概率论例4：设(X,Y)的概率密度是求(1)c的值；（2）两个边缘密度。=5c/24,c=24/5.解(1)故概率论例：设(X,Y)的概率密度是解求(1)c的值;(2)两个边缘密度.(2)暂时固定概率论注意取值范围综上,概率论例2设(X,Y)的概率密度是解(2)求(1)c的值;(2)两个边缘密度.暂时固定概率论综上,注意取值范围概率论例5：设二维随机变量（X，Y）的概率密度.求X和Y的边缘密度函数和边缘分布函数._1384164289.unknown解X的密度函数为_1191304471.unknownY的密度函数为_1193915165.unknown概率论X的边缘分布函数为_1384164977.unknownY的边缘分布函数为_1384165213.unknown概率论在求连续型r.v的边缘密度时，往往联合密度在某区域上的积分.当联合密度函数是分片表示的时候，在计算积分时应特别注意积分限.下面我们介绍两个常见的二维分布.概率论设G是平面上的有界区域，其面积为A.若二维随机变量（X,Y）具有概率密度则称（X,Y）在G上服从均匀分布.向平面上有界区域G上任投一质点，若质点落在G内任一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及位置无关.则质点的坐标(X,Y)在G上服从均匀分布.概率论若二维随机变量（X,Y）具有概率密度概率论例6试求二维正态随机变量的边缘概率密度.解因为所以概率论则有概率论同理可见由边缘分布一般不能确定联合分布.不同的二维正态分布,但它们的边缘分布却都是一样的.此例表明概率论四、课堂练习概率论解暂时固定故暂时固定概率论暂时固定暂时固定故概率论1.在这一讲中，我们与一维情形相对照，介绍了二维随机变量的边缘分布.由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.2.请注意联合分布和边缘分布的关系:五、小结概率论六、布置作业