关于奇函数和偶函数

关于奇函数和偶函数 关于奇函数和偶函数 第21卷第4期 2001年l0月 大庆高等专科学校 JOURNAIOFDAQINGCOI1EGE Vol_21No.4 October.2001 关于奇函数和偶函数 袁成荣 '大庆市第16中学) 教材中关于奇函数和偶函数的定义一直都是这样叙述的: 对于函数f(x). 如果对于函数定义域里任意一个X,都有f(一x)一--f(x),函数f(x)就叫奇函数 如果对于函数定义域里任意一个X,都有f(--x)一f(x),函数f(x)就叫偶函数 教材中这样定义奇偶函数的方法,完全没有涉及到函数的定义域照这种定义的教学 生,就会使学生形成不准确的概念,认为只要形式上有f(x)一f(x),f(x)就是奇函数;有f (x)一f(x),f(x)就是偶函数,而与函数f(x)的定义域没有任何关系. 事实上,如果不先看函数的定义域,函数的奇偶性是无法判别的. 为什么它满足f(一x)一f(x) 例如:f(x)一x,xE[一2,4]既不是偶函数也不是奇函数. 而不是偶函数呢?关键就在于这个函数的定义域是[2.4],对于这个定义域中的任意一个 X,X不一定属于这个定义域. 如X一3E[一2.4],但一X一一3不属于[2,4].这就是说,对于定义在[一2.4]上的函 数f(x)一x.等式f(一x)一f(x)并不是对一切的XE[2,4]都成立 例1:判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)一log,/x+1+X(a>0.且a?1,X>0) (2)f(x)一+1,xE[a.b],且a--b?0. 解:<1)'f(一X)一log(X)+1X —I.g—. X+1+X 一一 1oz(x+v,i干) 一一f(X . f(x)为奇函数. (2)'.'f(一X)一(一x)+1 = )(2+1 一 f(x) . f(x)为偶函数 事实上,上述解法都是错误的(1)中忽略了题设条件x2>0,尽管等式f(一x)一一f(x) 成立.但它的定义域不关于原点对称.故在其定义域内既不是奇函数也不是偶函数.(2)中虽 132 然f(x)是个二次函数,它恒满足f(--x)一f(x),但由于a+b?O,xEEa.b3.故其定义域在实 数轴上不关于原点对称,所以它不是偶函数.可以画出它的图像,使学生直观地看出图象不 是关于y轴对称的. 因而,判断一个函数的奇偶性.应先考察这个函数的定义域是不是关于原点对称的 实数 集.不是,则这个函数既不是奇函数也不是偶函数;是,再判断是否有f(一X)一f(x) 或f(一 x)一f(x)成立.而教材上对于这至关重要的一点,没有任何说明.为此,我们对原定义 改动如 下: 绐定函数f(x),其定义域为M.对于任意的xEM,都有一xEM 若f(一x)一一f(x),则函数f(x)叫奇函数; 若f(一x)一f(x),则函数f(x)叫偶函数. 根据这种定义,对于例题的解法也必须做一些改进. 例2:判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)一2x+3x0 (2)f(x)一x+x{ 解:(1)'f(x)一2x+3x.的定义域是R, .对于任意的xER.都有一XER, 并且,f(--x)一2(一x)'+3(一x) 一 2x'3x 即f(一x)一f(x) 所以.f(x)=2x+3x是偶函数. (2)f(x)=X+x—j的定义域是(一co,O)U(O,+co). _..对于任意的xE(--co,0)U(0,+co), 都有一xE(一co,0)U(0,+co),并且 f(一x)一(一x)+(一x)一言 一一 (+x一号) 即f(一x)=一f(x) 所以,f(x)=X.+x{是奇函数. 例3:判断下列函数的奇偶性. (1)Y一一tanx,x??+k(kEz) (2)y一一ltanxl.x??+k(k?z) 解:(1)f(一x)一一tan(--x)一一(--tanx) 一一 f(x) 且f(x)的定义域关于原点对称,可知 y—f(x)一一taax,x??+k不(kEz)是奇函数. (2)f(一x)一一ltaa(一x)l一一l—tanxl — l/anxl—f(x) 且f(x)的定义域关于原点对称.可知 y—f(x)一一ltaaxl,x?+k不(k?z)是偶函数. 综上所述,我们认为,在讲述奇偶函数的定义及判别的教学过程中,应该扣住函数 的定 义域,使学生明确,离开定义域是无法研究函数的一些性质的,养成学生一提函数 马上就联 想到定义域的习惯. 133