线性规划求最值问题

线性规划求最值问 山东 王中华 王彦秋 一、与直线的截距有关的最值问题 x,20?，, ,y,10?，zxy,,例1 已知点在不等式组表示的平面区域上运动，则的Pxy()，, ,xy，,220?, 取值范围是( )( (A),,2，,1, (B),,2，1, (C),,1，2, (D),1，2, zxy,,解析:由线性约束条件画出可行域如图1，考虑， yxz,,把它变形为，这是斜率为1且随z变化的一族平行 直线(是直线在y轴上的截距(当直线满足约束条件且 ,z zxy,,经过点(2，0)时，目标函数取得最大值为2; zxy,,直线经过点(0，1)时，目标函数取得最小值为,1(故选(C)( 注:本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0，1)，(2，1)，(2，0)，然后再一一代 ,入目标函数求出z=x-y的取值范围为,1，2,更为简单(这需要有最值在边界点取得的特殊值意识( 二、与直线的斜率有关的最值问题 xy,,20?，,y,xy，xcy，,240?，例2 设实数满足，则的最大值是__________( z,,x,230y,?，, yy,0解析:画出不等式组所确定的三角形区域ABC(如图2)，表示两点z,,xx,0OPxy(00)()，，，确定的直线的斜率，要求z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值(由图2可以看出直线OP的斜率最大，故P为xy，,,240与230y,,的交点，即A点( 33,,P1， ?(故为( ,,22,, yy,0注:解决本题的关键是理解目标函数的 z,,xx,0 y几何意义，当然本题也可设，则，即为求 ,tytx,x 的斜率的最大值(由图2可知，过点A时， ytx,ytx, 3t最大(代入，求出， t,ytx,2 3即得到的最大值是( 2 三、与距离有关的最值问题 xy,，20?，, ,22xy，,40?，zxyy,，,，1025例3 已知，求的最小值( , ,250xy,,?，, 22zxy,，,(5)解析:作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A(1，3)、B(3，1)、C(7，9)(而表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0，5)的距离的平方，过M作直线AC的垂线， 92易知垂足,在线段上，故z的最小值是( MN,AC2 注:充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离等( 四、与实际应用有关的最值问题 例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1(5倍，问桌、椅各买多少才行, 分析:先设出桌、椅的变数后，目标函数即为这两个变数 之和，再由此在可行域内求出最优解(解题中应当注意到问 题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件，若从图形直观上 得出的最优解不满足题设条件时，应作出调整，直至满足题设( 解:设应买x张桌子，y把椅子，把所给的条件表示成 50202000xy，?，, ,yx?，, 不等式组，即约束条件为 ,yx?1.5，,,,xy，，,N, 200,x,，,50202000xy，,，,,7 由解得( ,,200yx,，,,y,.,7, 200200,,，? A点的坐标为， ,,77,, x,25，,50202000xy，,，,, 由解得( ,75,y,.yx,1.5，,,,2 75,,25，? B点的坐标为( ,,2,, 20020075,,,,ABO，，，，，25(00)所以满足约束条件的可行域是以为顶点的三角形区,,,,772,,,, 域(如图4)(由图形可知，目标函数在可行域内的最优解为25，，但注意到zxy,， ,xy，,N，故取y,37( 答:应买桌子25张，椅子37把(