形如1＋9n（n＋1）-2的平方数

形如1＋9n（n＋1）-2的平方数 形如1，9n(n，1)-2的平方数 第25害篙期海南大学自然科学版 UNIVERSI20073NATURALSCIENCEJOURNALOFHAINANUNIVERSI—TY一 年月V01.25No.1Ml'r.2oo7 文章编号:1004—1729(2007)01—0013—02 形如1+9n(门+1)/2的平方数 乐茂华 广东湛江524048) (湛江师范学院数学系, 摘要:找出了所有可使1+9n(1't+1)/2是平方数的正整数l't. 关键词:平方数;PeU方程;正整数解 中图分类号:0156文献标识码:A 设N是全体正整数的集合,多项式整数值中的完全方幂问题是数论中引人关注的 研究课题?,最近, BenczeM[提出了以下问题: 问题找出所有可使1+9n(n+1)/2是平方数的正整数n. 本文利用Pell方程的基本性质解决了上述问题,即证明了: 定理设 口:3+.b:3一,(1) 此时,可使1+9n(n+1)/2为平方数的正整数n都可示成 n= 11(口2+b2k+1)一 1),(2) 其中k是任意正整数. 证明设凡是可使1+9n(n+1)/2为平方数的正整数.此时,存在正整数m适合 1+n(n+1):m,(3) 从(3)式可得 (3(2n+1))一8m=1,(4) 从(4)式可知 (,Y)=(3(2n+1),m)(5) 是Pell方程 一 8y=1(,Y?N)(6) 的一组满足条件 ;0(mod3),;1(mod2)(7) 的解. 由于3+是方程(6)的最小解,所以从文献[3]的定理10.9.2可知该方程的任何一组解 (,),)都 可表示成 +Y=口'(t?N),(8) 其中口适合(1)式.因为从(1)式,(6)式和(8)式可知 口…b:1=2—8),2=(+Y)x—Y)=口'x—Y), 收稿日期:2006—01—05 基金项目:国家自然科学基金(10271104);广东省自然科学基金项目(06029035) 作者简介:乐茂华(1952一),男,上海人,湛江师范学院数学系教授. 14海南大学自然科学版2007矩 所以 一 Y/ff=b'(t?N),(9) 故从(8)式和(9)式可得 = ?(口'+b'),(10) 将(10)式代入(5)式立得 3(2n+1)=?(口'+6').(11) 如果t是偶数,则从(1)式可知 1(口'+6)兰t38(i)8以兰(一1)(mod3),(12) 从(12)式可知此时(11)式不成立.相反,当t是奇数时,从(1)式可知 1(口.-1)/2(8(t)3.8(I-1)/2三.(rood3).(13) 因此,从(13)式可知:当,是奇数时,(口+6')/2是3的倍数,又因(口+b)/2=3,而且当 ,>1时, (口+6t)/2>3,所以(11)式对于任何大于1的奇数,都成立.于是从(11)式立得(2) 式.定理证完? 参考文献: f11SHOREYTN,TLIDEMANR.Exponentialdiophantineequations[M].Cambrideg:CambridgeUniversityPI-t~$,1986:340—368? [2]BENCZEM.Proposedproblem7508[J].OctogonMathMag,2005,13(1B):678? 『3]华罗庚.数论导71[M].北京:科学出版社,1979:287—289. TheSquareswiththeForm1+9n(+1)/2 LEMao.hua (DepartmentofMathematics,Zhan-jiangNormalCollege,Zhan-jiang524048,China) Abstract:Inthispaper,allpositiveintegersnwhichmake~theform1+9n(n+1)/2tobeasquarewasgiven? Keywords:square;Pell'sequation;positiveintegersolution