周期函数与其导函数周期相同的条件

周期函数与其导函数周期相同的条件 贾海峰 (郑州幼儿师范高等专科学校 河南?郑州 450000) 文章摘要:可微的周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足特定的条件，它们才能够相同( 关键词:可微 原函数 导函数 周期性 命题:可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数. 所谓具有相同周期，当然是指二者周期的集合相同(原函数的周期一定是导函数的周期;反之，导函数的周期一定是原函数的周期)，或者二者最小正周期相同. 文献1中给出的“证明”，是由f(x?T)?f(x)得f?(x?T)?f?(x)[1]，这只能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T?而言，有T?KT?(K为正整数).至于T是否为导函数的一个周期，即是否T?T?，并未得证，尚需证T?一定也是原函数f(x)的一个周期:f(x?T?)?f(x)，才有T?T?.许多书上的证明多时如此. 本文将指出:可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同;同时，提出一个周期相同的一个充分条件. 一、现举一反例 我们约定J示整数集合，R表示实数集合，E(x)表示不超过x的最大整数. 1例1 设D?{xx?R?J,x?k?,k?J}.考察定义在D上的函数2 f(x)?x?E(. x) 与正切函数类似，虽然f(x)在R上有可列间断点，但f(x)在其定义域D中每点连续可微. 111首先，不会是f(x)的周期，这只要取x0?k?，有x0?D，f(x0)?; 244 13131x0??k??D，f(x0?)?，便有f(x0?)?f(x0). 24242 1f(x)的导函数f?(x)?1，是f?(x)的一个周期.因为，对任意x?D，2 11x??D，f?(x)?f?(x?)?1. 22 这样，我们已经得到f(x)与f?(x)周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.当然，我们也可以分别证明，f(x)最小正周期为1，f?(x)最小正周期为1. 2 通过f(x)与f?(x)的图像来对比，结论也是非常明显的(如图1) 例2设 2D?{xx?R?J}.考察定义在D1??(1?E1x()?( 2)中的函数f(x?)x?[Ex 同样，f(x)的导函数f?(x)?2[x?E(x)],x?D. 可以例1一样，验证1是f?(x)的周期而不是f(x)的周期，从而二者周期不同.不过，现在我们采用另外的办法，证明f(x)的最小正周期为2，而f?(x)的一个周期为1，则f?(x)的最小正周期T??1，便有T??1?2?T，即T??T. 对任意x?D，有x?2?D，且 1?(?1)1?E(x?2) f(x?2)?[(x?2)?E(x?2)]?2 1?(?1)1?E(x)?2 2?[x?2?E(x)?2]? 2 1?(?1)1?E(x) 2?[x?E(x)]?2 ?f(x)2 可知，2是f(x)的一个周期.再证任何一个小于2的正整数?不会是f(x) 的周期. 若??1.对任意x?D，也有x?1?D，但 1?(?1)1?E(x?1) f(x?1)?[(x?1)?E(x?1)]?2 1?(?1)2?E(x) 2?[x?E(x)]? 2 ?f(x)2 若??1,0???2,不会对一切x?D,有f(x??)?f(x).比如，对x?2???D，因x???2?????2?D，便不会有f(x??)?f(x). 故 f(x)的最小正周期T?2. 再看导函数f?(x)?2[x?E(x)]. 对任意x?D，有x?1?D，且 f?(x?1)?2[x?1?E(x?1)] ?2[x?E(x)] ?f?(x) 于是，若T?为f?(x)的最小正周期，有T??1?2?T. -2-1Y‘2O1234X类似的例子还可举出很多.总之，在定义域内每点可微 的周期函数与其导函数的最小正周期并非总是相同.至于周期相同的例子则处处可见，本文不再例举，现只给出周期相同的一个充分条件. 二、周期相同的一个充分条件 反例给我们提示，在整个R中可微的周期函数与其导函数很可能周期必然相同. 引理1 任意一个非常值连续周期函数必有最小正周期[2]. 引理2 对具有最小正周期T的周期函数f(x)，若T?也是f(x)的一个正周期，则T??KT(K为正整数)[3]. 定理 非常值周期函数f(x)在R上有定义且在每点存在连续导函数f?(x).则f?(x)也为周期函数，并且f(x)与f?(x)周期相同[4]. 证明 可微必连续，由引理1，f(x)就有最小正周期，设为T.即对任意x?R，有 f(x?T)?f( x) 求导 ) (1) f?(x?T)??f( x 可见，f?(x)也是R上的周期函数，又f?(x)已知连续，再由引理1，f?(x)也必有最小正周期T?.由(1)式，T是f?(x)的一个周期，据引理2，T?KT?(K为正整数). 下面，要证K?1. 因f?(x)连续，对任意x0?R，据牛顿—来卜尼兹公式，得 ?x0?kT? xf?(t)dt?0?x0?Txf?(t)dt 0 ?f(x0?T)?f(x0)?0 由积分域可加性，有 ?x0?kT?kx0?iT xf?(t)dt?0?i?1?x0?(i?1)T?f?(t)dt?0 实行积分替换t?u?(i?1)T?，并由T?是f?(x)的周期，得: ?x0?iT?0?T? x0?(i?1)T?f?(t)dt??xxf?[u?(i?1)T?]du 0 ??x0?T? xf?(u)du??x0?T?xf?(t)dt 00 (i?2,?3,K, (2)式变为: ?kx0?iT??(t)dt?K i?1?x0?(i?1)T?f?x0?T?xf?(t)dt?00 ?K?0?,?x0?T? xf?t(dt)? 00 再由牛顿—来卜尼兹公式， ?x0?T xf?(t)dt?f(x00?T?)?f(x0)?0 f(x0?T?)?f(x0) 知T?是f(x)的一个周期.由引理2， T??mT,T??m(KT?)(m为正整数) 故mK?1，但m,K均为正整数，故 (2) m?K?1 即得T?T? f(x)与f?(x)最小正周期相同或周期的集合相等，即f(x)与f?(x)周期相同. 三、结束语 通过以上讨论可知可微的周期函数与导函数的周期不尽相同，以后我们研究这方面的问题，不能简单地对二者周期进行互换(如果直接解决问题有麻烦，就需要换个角度寻求满足互换的特定条件，问题得以解决( 参考文献: [1] 黄定晖，周学圣, 《数学习题集题解》,山东科学技术出版社[M].183-184. [2] 于先金，中学数学研究，关于原函数与其导函数对称性的联系，30( [3] 苏立标,数学教学研究，关注导函数的周期性与奇偶性，43( [4] 肖玉民，高等教学(上)辽宁省师范(高职高专院校)初等(学前)教育专业教材 [M](187—189(