@周期性函数分解的傅里叶级数

@周期性函数分解的傅里叶级数 周期性函数分解的傅里叶级数 f(t),f(t，kt),k,0、1、2？周期电压、电流等都可以用一个周期函数示，即式中T是 周期函数的周期，且 k,0、1、2？ 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值， 那么就可以展开成一个收敛的级数(三角级数) f(t)f(t)设给定的周期函数，则可展开成 ,,,,,,f(t),a，(acost，bsint)，(acos2t，bsin2t)，？，(acoskt，bsinkt)01122kk , ,a，(acosk,t，bsink,t)？？(1),0kkk1, 上式中的系数，可按下列公式计算: TT112a,f(t)dt,f(t)dt0T,,,0TT2 T,2a,f(t)cosktdtk,0T,21,,,f(t)cosktd(t),,0 ,1,, ？？(2) ,f(t)cosktd(t),,,, T2,b,f(t)sinktdtk,0T ,21,,,f(t)sinktd(t),0, ,1,f(t)sinktd(t),,,,,, 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n是任意整数，则下列定积分成立: 2,2, cosmxdx,0sinmxdx,0,,00 2,， sinmxcosnxdx,0m,n,0 2,, sinmxsinnxdx,0m,n,0 2,, cosmxcosnxdx,0m,n,0 2,2,22, (sinmx)dx,,(cosmx)dx,,,,,00 这种特点陈为三角函数的正交性质。 cos3,t案例来说，如果要确定系数，把式(1)两边各乘以，并对两边取定积分，有 a3 1 ,,,222,,,,,,,f(t)cos3td(t),acos3td(t)，acostcos3td(t)01,,,000 ,,222,，bsin,tcos,3td,(t)，acos,2tcos,3td,(t)，bsin2,tcos3,td(,t)，？122,,,000以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下包括的一项，故有: a32, f(t)cos3,td(,t),a,3,0 2,1所以 a,f(t)cos3,td(,t)3,0, 特此结束推广到，有 ak 2,1 a,f(t)cosk,td(,t)k,0, 同理，如果用去乘以式(1)的两边后再取积分，则可求得 sink,t 2,1 b,f(t)sink,td(,t)k,0, 至于，可以对式(1)两边就一个周期求定积分，得 a0 T f(t)dt,aT0,0 T1f(t)从而有，故是在一个周期内的平均值。 a,f(t)dta00,0T 2(方波的傅里叶级数展开式: f(t)给定一个周期性信号，其波形如图所示，对一个周期性方波(矩形波) f(t)f(t)求此信号，的傅里叶级数展开式 Vmf(t)的表达式是 TTTT20,t,， f(t),v0tm,2,2 T， f(t),,v,t,Tm-Vm2 按式(2)，可求得所需要的个数,即 图1 方波 TTT11122a,f(t)dt,vdt，(,v)dt,0 0mm,,,000TTT f(t)，表示恒定分量为零，因为代表在一个周期内的波形 a,0a00 上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时，即为零。 a0 2 ,21,,a,f(t)cosktd(t)k,,0 ,,221，，,,,, ,vcosktd(t),vcosktd(t)mm,,,,,0,，， ,2vm,cosk,td(,t),0,0, ,21,,b,f(t)sinktd(t)k,,0 ,,21，，,,,,,vsinktd(t),vsinktd(t)mm,,,,,,0，， ,,2v2v1，，mm,,,,sinktd(t),,coskt,,,0,,k，，0 2vm，，,1,cosk,k, 当k为偶数时， cosk,,1 所以 b,0k 当k是奇数时， cosk,,,1 vv24mmb所以 ,，2,kk,k, 由此求得， v411，，mf(t),sin,t，sin3,t，sin5,t，？ ,,35,，， 如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就 可得到如图所示的合成曲线。 傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分 解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地 代表原函数。从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产 生了误差问题。截取项数的多少，视而定。这里涉及到级数收敛的快慢问题。或者说， 就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项就够了，五次谐波一 T,t,般可以略去。而像图1所示的矩形波(方波)其收敛速度比较慢。例如取或，t,,24 4v11111,,mf(t),1,，,，,，？则 ,,,357911,, T当取无穷项时，将得到，这是准确值。但如果取到11次谐波，算出的结果约为f(),vm4 0.95。 vm 3