两点间距离公式的五种应用

两点间距离公式的五种应用 一、求函数的值域 有些带根式的函数，在求其值域时，联想到两点间的距离公式，利用函数的几何意义可以很容易地求出函数的值域来。 例1、求函数y =的值域。 解：∵y ＝＝ ＝， ∴ 函数y可以看作是动点P（x，0）到两个定点A（-1，1）、B（1，1）的距离之和， 由三角形的三边关系可知 | PA | ＋ | PB | ≥ | AB |，当P点在线段AB上时，取得等号。 而易求得| AB | ＝，∴y ≥。 即所求函数的值域是{ y | y ≥}。 二、证明不等式 有些不等式的证明难以下手，但是若与两点间的距离公式联系起来，进行恰当的变形后就可以找到证明的思路。 例2、已知x1＞0，x2＞0，求证：。 证明：当x1＞0，x2＞0时，原不等式等价于 ，也就是等价于 至此，我们令A（x1，1），B（-x2，-1）， 则 | OA | ＝，| OB | ＝，而 | AB | ＝， 根据三角形三边间的关系可得  | OA | ＋| OB | ≥| AB |，即， 从而有得证。 三、判断三点共线 对于三点共线问题，有若干种证法，当然也可以用两点间的距离公式来进行证明。三点确定三条线段，若其中两条线段的长度之和等于第三条线段的长，则此三点必共线。 例3、求证：A（1，5）、B（0，2）、C（2，8）三点共线。 证明：由两点间的距离公式得 | AB | ＝， | BC | ＝， | AC | ＝， ∴ 有 | AB | ＋ | AC | ＝| BC |，从而A、B、C三点共线。 C（a，0） 四、证明平面几何问题 有些平面几何问题借助于两点间的距离公式会很容易的得证。 例4、已知AO是△ABC中BC边上的中线。 证明：| AB |2 ＋ | AC |2 ＝2（| AO |2 ＋ | OC |2）。 分析：取BC边所在的直线为x轴，边BC的中点为原点， 建立如图所示的直角坐标系。 设B（-a，0），O（0，0），C（a，0），A（m，n），其中a＞0. 则由两点间的距离公式得 | AB |2 ＋ | AC |2 ＝( m + a )2 + n2 + ( m - a )2 + n2 ＝ 2( m2 + n2 + a2 )， | AO |2 ＋ | OC |2 ＝m2 + n2 + a2， ∴ 证得| AB |2 ＋ | AC |2 ＝2（| AO |2 ＋ | OC |2）。 五、求曲线的轨迹方程 在求曲线方程的时候，好多的题目都涉及到两点间的距离公式，及公式的变形、化简。 例6、已知动点P到定点A（0，-1）的距离与到定直线y = -9的距离的比为，求动点P的轨迹方程。 解：设P（x，y），则由题意得，化简整理得9x2 + 8y2 – 72 = 0. ∴动点P的轨迹方程是9x2 + 8y2 – 72 = 0.