复合函数定义域

复合函数定义域 一、复合函数的概念(2003。11。2) 如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ] 叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。 注意:复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。 22 例:f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u, u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = 2 u与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域: (1)若f(x)的定义域为a ? x ? b,则f [ g ( x ) ] 中的a ? g ( x ) ? b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 答案: [-1/2 ，0 ] 2例2、已知f ( x )的定义域为(0，1)，求f ( x )的定义域。 答案: [-1 ，1] (2)若f [ g ( x ) ]的定义域为(m , n)则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。 例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为(0，1)，求f ( x ) 的定义域。 答案: [ 1 ，3] (3)由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。 2例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x – 2 ) 的定义域。 答案:[-?3/2 ，-?3]?[?3/2 ，?3] 三、求复合函数的解析式。 对于复合函数的解析式的求法，虽然种类很多，在这里重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅《教学周刊》第6期。 (1)配凑法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x的函数，可以把F ( x )示g ( x )的复合函数形式，然后用x替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 2x1x12，，例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 ),，2xxx 2 答案:f(x)= x 113例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 ),x，3xx 3 答案:f(x)= x -2x-1 (2)换元法 若已知f [ g ( x ) ]的表达式，可以令g ( x ) = t，从中解出x再将x代入f [ g ( x ) ]的表达式中，这样f [ g ( x ) ]就表示成关于t 的函数，即得函数f ( x )的解析式。 x，12x例7、已知 ( x > 0 )求f ( x )的解析式。 f(),x1，2x 答案: 2 / (x-3) 例8、用换元法看看例5，例6能否适用。 23 答案:f(x)= x f(x)= x -2x-1 二、对于f ( x )函数中，利用已知条件，求某些特殊函数值。 对于这类问题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的问题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类问题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。 例9、已知函数f ( x )满足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,则f ( 36 ) = ? [分析]该题要求的是f ( 36 ),而条件中给我们f ( ab ) = ……，自然会想到，36能拆成什么的乘积了。 一、复合函数的概念 如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ) ,那么y关于x的函数y = f [g ( x ) ]叫做函数f 与 g 的复合函数，u 叫做中间变量。 注意:复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点，因此， 根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注意不要漏层。 另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x )的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义，否则这样的复合函数不存在。 22 例:f ( x + 1 ) = (x + 1) 可以拆成y = f ( u ) = u, u = g ( x ) , g ( x ) = x + 1 ,即可以看成f ( u ) = 2 u与g ( x ) = x + 1 两个函数复合而成。 二、求复合函数的定义域: (1)若f(x)的定义域为a ? x ? b,则f [ g ( x ) ] 中的a ? g ( x ) ? b ，从中解得x的范围，即为f [g ( x )]的定义域。 例1、y = f ( x ) 的定义域为[ 0 ， 1 ]，求f ( 2x + 1 )的定义域。 2例2、已知f ( x )的定义域为(0，1)，求f ( x )的定义域。 (2)若f [ g ( x ) ]的定义域为(m , n)则由m < x < n 确定出g ( x )的范围即为f ( x )的定义域。 C.[H]和ATP D.184条、0条 例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为(0，1)，求f ( x ) 的定义域。 (3)由f [ g ( x ) ] 的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f [ h ( x ) ]的定义域。 2例4、已知f ( x + 1 )的定义域为[-2 ，3],求f ( 2x – 2 ) 的定义域。 三、求复合函数的解析式。 对于复合函数的解析式的求法，虽然种类很多，在这里重点介绍配凑法和换元法，详细内容请参阅《教学周刊》第6期。 (1)配凑法 若已知f [ g ( x ) ] = F ( x )是关于x的函数，可以把F ( x )表示g ( x )的复合函数形式，然后用x替换g ( x )，即可得到f ( x )的解析式。 2x1x11，，例5、已知f (，求f ( x )的解析式。 ),，2xxx 113例6、已知f ( x + ,求f ( x )的解析式。 ),x，3xx (2)换元法 若已知f [ g ( x ) ]的表达式，可以令g ( x ) = t，从中解出x再将x代入f [ g ( x ) ]的表达式中，这样f [ g ( x ) ]就表示成关于t 的函数，即得函数f ( x )的解析式。 x，12x例7、已知 ( x > 0 )求f ( x )的解析式。 f(),x1，2x 例8、用换元法看看例5，例6能否适用。 二、对于f ( x )函数中，利用已知条件，求某些特殊函数值。 对于这类问题的解决，一定要看清条件，按照所要解决的问题，利用条件，关键在于能否找到条件与所求的联系。这类问题没有现成的方法，它所考查的是同学们的发散思维。 例9、已知函数f ( x )满足f ( ab ) = f ( a ) + f ( b )，且f ( 2 ) = p, f ( 3 ) = q,则f ( 36 ) = ? [分析]该题要求的是f ( 36 ),而条件中给我们f ( ab ) = ……，自然会想到，36能拆成什么的乘积了。 2x111例10、已知f ( x ) = ，那么f ( 1 ) + f ( 2) + f () + f ( 3 ) + f( ) + f ( 4 ) + f () 22341，x 111例11、若上题要求: f ( 1 ) + f ( 2 ) + f () + …… + f ( n ) + f () + …… + f ( 2003 ) + f () 2n2003 函数的奇偶性 定义:设函数f(x)的定义域为D，如果对任意x ?D，都有f(-x) = -f(x),则称f(x)为奇函数;如果对任意x ?D，都有f(-x) = f(x),则称f(x)为偶函数。 2例如:f(x) = x (x ?R) 22f(-x) = x = f(x) 则f(x) = x在R上是偶函数。 3又例:f(x) = x (x ?R) 33f(-x) = - x = -f(x) 则f(x) = x在R上是奇函数。 定义表明，函数的奇偶性是在整个定义域D上讨论的，不论奇函数或偶函数， x和(-x)都在同一个D上，因此D一定是关于原点对称。如果一个函数的定义域关于原点不对称，则可据此判定该函数既非奇函数，也非偶函数。 函数的奇偶性明白地反映在函数图象上，奇函数的图象关于原点或中心对称，偶函数的图象关于y轴对称。例如上两例的图象如下: y y 2 y = x xx O O