2013北师大版必修四2.3《从速度的倍数到数乘向量》word教案1

2013北师大版必修四2.3《从速度的倍数到数乘向量》word1 课:?3从速度的倍数到数乘向量 三维目标: 1.知识与技能 (1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. (2)了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。 (3)要求学生掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个 向量。 (4)通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件，平面向量的基本定理有更深刻的理解， 并能用来解决一些简单的几何问题。 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调:1(“模”与“方向”两点) 2(三 个运算定律(结合律，第一分配律，第二分配律))，在此基础上得到数乘运算的几何意义;通过正 交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其实质)。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教 材设置了几个例题;通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.3.情感态度与价值观 备注 通过本节的学习，使同学们对实数与向量积以及平面向量基本定理有了较深 的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣 和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 重点与难点: 重点:1. 实数与向量积的定义及几何意义.2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点:1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 教学方法: (1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:多媒体、三角板. 教学过程 【探究新知】 ,a1( 思考: (引入新课)已知非零向量 ,,,,,,aaaaaa作出++和(,)+(,)+(,) ,,,, aaaa O A B C ,,,,,a ,a,a,a P N Q M ,,,,,,,,,,,,,,,,aaaa==++=3 OCOA，AB，BC ,,,,,,,,,,,,,,,,aaaa==(,)+(,)+(,)=,3 PNPQ，QM，MN ,,,,aaaa 讨论:? 3与方向相同且|3|=3|| ,,,,aaaa ? ,3与方向相反且|,3|=3|| ,,aa2(从而提出课题:实数与向量的积;实数λ与向量的积，记作:λ 备注 ,,aa 定义:实数λ与向量的积是一个向量，记作:λ ,,aa ?|λ|=|λ||| ,,,,,aaaaa?λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 0 例题讲评 例1.(见P例1)略 81 思考:根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律(证明((( 的过程可根据学生的实际水平决定) ((((((((((((((((,,aa结合律:λ(μ)=(λμ) ? ,,,aaa第一分配律:(λ+μ)=λ+μ ? ,,,,aabb第二分配律:λ(+)=λ+λ ? 结合律证明: ,a如果λ=0，μ=0，=0至少有一个成立，则?式成立 ,,,,aaaa0如果λ,0，μ,0，,有:|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| ,,,aaa|(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ,,aa?|λ(μ)|=|(λμ)| ,a如果λ、μ同号，则?式两端向量的方向都与同向; ,a如果λ、μ异号，则?式两端向量的方向都与反向。 ,,aa 从而λ(μ)=(λμ) 第一分配律证明: ,a0如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则?式显然成立 ,a0如果λ,0，μ,0，, ,,aa当λ、μ同号时，则λ和μ同向， ,,,aaa?|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)|| 备注 ,,,,,,,aaaaaaa|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)|| ,a?λ、μ同号 ??两边向量方向都与同向 ,,,aaa 即:|(λ+μ)|=|λ+μ| ,a当λ、μ异号，当λ>μ时 ?两边向量的方向都与λ同向 ,a当λ<μ时 ?两边向量的方向都与μ同向 ,,,aaa还可证:|(λ+μ)|=|λ+μ| ??式成立 第二分配律证明: ,,a如果=，=中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则?式显然成立 b00 ,,a当,，,且λ,0，λ,1时 b00 B1 1:当λ>0且λ,1时在平面内任取一点O， B ,,,,,,,,,,,,,,,,aaOA作= AB=b =λ =λb OAAB111 ,,,,,,,,O ,,AA 1 aaOB则bb=+ λ+λ OB,1 ,,,,,,,,,,,, ABAB由作法知:?有，OAB=，OAB ||=λ|| ABAB111111,,,,,, |OA||AB|111,,?λ ??OAB??OAB11 ,,,,,, |OA||AB| ,,, |OB|1,?λ ，AOB=， AOB 11 ,,, |OB| ,,,,,,,,,,,, OBOB因此，O，B，B在同一直线上，||=|λ| 与λ方向也相同 OBOB111 ,,,,B aabbλ(+)=λ+λ A1 ,,,,O A aabb当λ<0时 可类似证明:λ(+)=λ+λ 备注 ? ?式成立 B1 【探究新知】 ,,,,,,aaaabb0若有向量(,)、，实数λ，使=λ 则由实数与向量积的定义知:与 , b为共线向量 ,,,,,,,,,,,aaaaaabbbbb0若与共线(,)且||:||=μ，则当与同向时=μ;当与反向 ,,ab时=,μ 从而得: ,,a向量与非零向量共线的充要条件是: b ,,a有且只有一个非零实数λ，使=λ. b(((((((((( 例题讲评 例2. (见P例2)略 82 ,,,,,,例3.(P例3改编)如图:OAOB，不共线，P点在AB上，求证:存在实数 ,.,且,，,,182 ,,,,,,,,,P 使 OP,,OA，,OB B (证明过程与P例3完全类似;略) 82 思考:由本例你想到了什么,(用向量证明三点共线) O A 【探究新知】 1(思考: ?(是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量,且分解是唯一, ?(对于平面上两个不共线向量，是不是平面上的所有向量都可以用它们来表ee12 示, 备注 2(教师引导学生 ,a设，是不共线向量，是平面内任一向量 ee12 MC a M e M 1e 2 O N B OA= OM=λ ee111 ,aOCON OM==+=λ+λ ee1212 OBON= =λ ee222得平面向量基本定理: ,a如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，ee12 ,a有且只有一对实数λ，λ使=λ+λ. ee121212[注意几个问题]: ? 、必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底. ee12((( ? 这个定理也叫共面向量定理. (( ,a?λ，λ是被，，唯一确定的数量. 12ee((12 ?同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. (((( 例题讲评 例4(1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态(如图)，已知两细绳与水平线 分别成30:, 60:角，问两细绳各受到多大的力, 解:将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90: ,,, =1 (kg) ，POP=60: ，POP=30: |OP|12 ,,,,,,60: 30: 1?=cos60:=1•=0.5 (kg) |OP||OP|12 P1 备注 ,,,,,,3=cos30:=1•=0.87 (kg) |OP||OP|2P2 2 P 即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg ,,,,,,,,aABADb例5. 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=， ,,,,,,,,,,,,,,aMCMBbMAMD，表示，，和 用 CD 解:在 ABCD中 M b M ,,,,,,,,,,,aACABADb ?=+=+ ,,,,,,,,,,A ,Ba aDBABADb =,=, M ,,,,,,,,,,1111aaACMAbb ?=,=,(+)=,, 2222 ,,,,,,,,,,,,1111111aaaMCMBbbbAC=DB=(,)=, ==+ 2222222,,,,,,,,,,,111aMBMDDBb=,=,=,+ 222 ,,,,,,,,aBCABb例6. 如图，在?ABC中，=, =，AD为边BC的中线，G为?ABC的重心，求向 AG量 ,,,,,,,,,,,,,,,11aBCBCABbBDb 解法1:?=, = 则== A 22a b D CB M M ,,,,,,,,,,,,,,,,,12a?=+=+而= AGADABBDbAD23 备注 ,,,,,21a?=+ AGbA 33 a 解法2:过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F EFGM M ,,,,,,,22b M BCD a ??AEF??ABC ? == AEAB33M M ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,221121aBCEGAGEG == == ?=+=+ EFbEFbAEb333323 ,,,,,,,,, CBCD例7(设,是两个不共线向量，已知AB=2+k, =+3, =2,, eeeeeeee12121212若三点A, B, D共线，求k的值. ,,,,,,,,, CDCBBD解:=,=(2,),(+3)=,4 eeeeee121212 ,,,,,,,,,,,, ABBDABBD?A, B, D共线 ?,共线 ?存在λ使=λ ,,2,即2+k=λ(,4) ? ?k=,8 eeee,1212k,,4,, ,,,,aAD(备选题)如图，已知梯形ABCD中，AB?CD且AB=2CD，M, N分别是DC, AB中点，设=, ,,,,,,,,,,,,,,,aDCBCMNABbb=，试以, 为基底表示, , ,,,,,,,11DCABb解:== 连ND 则DC?ND 22NCD M ,,,,,,,,,,,,,M ,1aBCNDANADb?==,=, O 2 A MB,,,,,,,11DCDMb又?== M M 24 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,备注 MNDNCBBCDMDMDM ?=,=,=,, ,,,,,111aabbb=(,+),=, 244 课堂练习: P ( ) 练习 ,,,,,,,,,,aa1(在 ABCD中，设对角线AC=，=试用, 表示， BDbbBCAB 2.已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点， ,,,,,,,,,,,,,,, OAOBOCODOE求证:+++=4. 课堂小结: ?数乘向量的几何意义理解. ,,,,aa?向量b与非零向量共线的条件是:有且只有一个非零实数λ，使b=λ. (((((((((( ?平面向量基本定理的理解及注意的问题. 作业布置 P( ) 习题 板书: ?3从速度的倍数到数乘向量 1.实数与平面向量的积---数乘向量 2. 平面向量的共线定理 3.平面向量基本定理 范例讲评: 例1: 例3: 例6: 例7: 例2: 例4: 例5: 教后记: