正方形的性质

正方形的性质 1、会归纳正方形的特性并进行证明 2、能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明 3、在进行探索、猜想、证明的过程中，进一步体会证明的必要性以及计算 与证明在解决问中的作用 4、在比较、归纳、的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系 重点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演 绎推理能力 难点：有条理地、清晰地阐述自己的观点 这是一个流传在世界各地的故事，三姐妹的父亲是一位慈祥的阿拉伯老人。 一天，老人不幸去世，临终，老人留给三个女儿一件珍贵的传家宝——一块五色 斑斓的正方形地毯，深爱父亲的女儿们都想得这块地毯，以作纪念。大姐想出了 一个好办法：“把它裁成三个小正方形地毯，为了不使地毯剪得过于零碎，最好 只剪成4块，其中两块是正方形，另外两块可以拼成一个正方形。”聪明的你能 想出一个巧妙的剪法，符合大姐的设想吗？ （1）边的性质： ； （2）角的性质： ； （3）对角线的性质： ； （4）对称性： 。 1 已知：如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于 点O；正方形A’B’C’D’的顶点A’与点O重合，A’B’交BC于点E， A’D’交CD于点F，E是BC的中点。 AD O (A')D'F CBE B'C' （1）求证：F是CD的中点 （2）若正方形A’B’C’D’绕点O旋转某个角度后，OE=OF吗？ 分析：（1）方法一?OB=OC,E是BC的中点 AD?OE?BC,?OEC=90? O (A')??EA’F=?ECF=90? ??OFC=90? FD'?OC=OD CBE ?F是CD的中点 B' C' 方法二 ??EA’F=90?,AC?BD ??EOC+?COF=?DOF+?COF=90? ??EOC=?DOF 又OC=OD,?OCE=?ODF=45? ??OCE??ODF(ASA) 11?DF=CE=BC=CD,即F是CD的中点。 22 （2）证明方法同前方法二。 由（1）、（2）可以得到什么结论？（无论正方形A’B’C’D’绕点O旋转并与正方形ABCD分别交BC、CD于点E、F，总有OE=OF，BE=CF，EC=FD，两个正方形的重叠部分的面积始终等于正方形ABCD面积的四分之一等等） 如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A、A、„、A分12n别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（ C ） A 2 A 3A 1 A 4 （第18题） n,1122 2 21nnA．cm B．cmC．cmD． cm ()4444 例2、已知，在正方形ABCD中，E是BC的中点，点F在CD上，?FAE?? A D BAE. 求证：AF?BC+FC. F B C E 3 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三 角形。 例4、已知正方形ABCD。 （1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE＝GH； （2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD、BC于点E、F，交AB、CD于点G、H，EF与GH相等吗？请写出你的结论； （3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线， 被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情 形如图3所示，过正方形ABCD外一点O作互相垂直的两条直线m、n，m与AD、BC的延长线分别交于点E、F，n与AB、DC的延长线分别交于点G、H，试就该图对你的结论加以证明。 练习： 1、（2006年潍坊市）如图7，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30•?到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（ ） 3331A． B． C．1- D．1- 3342 2、已知：如图，正方形ABCD的周长为4a，四边形EFGH四个顶点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、DA上滑动，在滑动过程中，始终有EH?BD?FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH的周长是否可求？若能求出，它的周 长是多少？若不能求出，请说明理由． 1、如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是对角线AC上的一点，分别以AP、PC为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________。 _ D A _ D A E _ E _ F P F C B _ C _ B 2、如图,正方形ABCD中,?DAF=25?,AF交对角线BD于E,交CD于F, 则?BEC= 度. 3、如图：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE?AC于E，PF?BD于F，则PE+PF= 。可以用一句话概括：正方形边上的任意一点到两对 角线的距离之和等于 。 4、如图,正方形ABCD中,点E在BC的延长线上，AE平分?DAC,则下列结论:（1）?E=22.50. (2) ?AFC=112.50. (3) ?ACE=1350（4）AC=CE(5) AD?CE=1?2. 其中正确的有（ ）（A）5个 （B）4个 （C）3个 （D）2个 5、如图，在正方形ABCD的边BC上任取一点M，过点C作CN?DM交AB于N，设正方形对角线交点为O，试确定OM与ON之间的关系，并说明理由． D C O M O O A N B 6、（2006?济南市）现有若干张边长不相等但都大于4cm的正方形纸片，从中任 选一张，如图从距离正方形的四个顶点2cm处，沿45?角画线，将正方形纸 2片分成5部分，则中间阴影部分的面积是 8； cm；若在上述正方形纸片 中再任选一张重复上述过程，并计算阴影部分的面积，你能发现什么规 律？ ．得到的阴影部分的面积是 28cm，即阴影部分的面积不变． 2cm 45 2cm 45 45 2cm （1） 正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如下图。 （2）正方形的性质： ?正方形对边平行。 ?正方形四边相等。 ?正方形四个角都是直角。 ?正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 ?正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对 （3）本节课我们把探索和解决问题的思路、方法、结论，从特殊情形逐步推广 到一般的情形，从而得到一般的结论，这也是我们获得数学结论的一种重要的思 想方法。 五、课堂