球面上两点间距离的微分学证明

球面上两点间距离的微分学证明 ? 教学参考?数学通讯一2011年第6期(下半月) 球面上两点间距离的微分学证明 杨冬明赵姣姣 (湖北武汉华中师范大学数统学院,430079) 在高中数学选修课程《球面上的几何》中,球面上 两点间距离的概念依赖如下结论: 结论1设A,B是球面上两点,在连接A,B 两点的球面曲线段中,以过这两点的大圆弧中的劣弧 长最短. 教材对结论1作了一个直观解释,却并未给出严 格证明,本文将用微分学知识对这个结论作一论证. 引理1三面角中任意两个面角的和大于第三 个面角. 引理2面角中任意,1个面角的和大于第 个面角(,z?3). 证我们对,z进行归纳. 1.当:3时,由引理1可知,结论显然成立. 2.假设当=k时(?3),结论成立. 贝0当,2=k+1时,如 图1所示,对于k+1面角 O-A1AzA3…A+l,记 A1OA2=口l,A20A3 =a2,…,Ak+lOA1一 a矗+l? 对于k面角O-A2A3 … A+l,由归纳假设可知: Ak+1A2A3+口3+ a4+…+>A2A^+lA 图1 ? 又在三面角O-AlA2A女+l中有: al+A1A2A^+1>A2A+lA1? 将?,?相加可得 a1+口2十口3+口4十…+口五>ak+1. 故当=k+1时,结论成立. 由归纳法原理知引理2成立. 下面用微分学的方法证明过球面上两点的大圆 弧中的劣弧是连接两点的最短线段. 证设M,N是球心为0,半径为R的球面上的 两点,C是球面上任意一条连接M,N两点的球面曲 线段,L是过点M,N的大圆上连接M,N的劣弧段, 如图2.将曲线段C用分点k等份,分点依次记为 Al,A2,…,—l,并将这些点与球心0连接.记 M:Ao,N=A, LAoOAI=,AIOAa =l,…,A一1OAk= 一1,AkOAo=. 设曲线段C的长为 S1,且相邻两个分点间的 曲线段的长依次为 ?S(i=0,1,2,…,k一1), 则sl=k-1?s. 图2 因为,当k足够大时,曲线段C上相邻两个分点 问的线段长可近似地等于两点所在大圆的劣弧长;又 因为在球的大圆内,弧长等于所对应的圆心角大小 (弧度)与半径的乘积,所以 sl?s?Rfli.il1U 令=max{AS0,AS1,…,?一l},则有 s- 0 ?s 0 ?^枷i:' ,0'一 由引理1可知,在k+1面角O-A0AlA2…A中 有 i ?=0 B,>gk, 所以,>瞰. 设连接M,N的劣弧L的长为S2,则有 Sz=R. 从而有 薹>Sz? 在?式两边取极限,由极限的保号性知 limR?IiSa=s2?ao0f=口.'^一0一一 由?,?知 s1=?s2.一 ^一0#=0.'一 故结论1成立. (收稿日期:2011—04—15)