切线·半径·垂直

, 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 杨仁智 四川省普格县中学 普格 615300 【摘要】圆的切线是初中几何的重要内容，是“直线和圆的位置关系”这一大节的教学重点;同时由于其判定和性质的方法很多，定理的题设和结论又容易混淆，所以也是这一大节的教学难点。本文通过例举典型例题，试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用。 【关键词】切线 半径 垂直 定理 例题 圆的切线是初中几何的重要内容，是“直线和圆的位置关系”这一大节的教学重点;同时由于其判定和性质的方法很多，定理的题设和结论又容易混淆，所以也是这一大节的教学难点。教学时学生多能记住定理，但领会中却抓不住实质，应用中又不知如何下手。因此，教师有必要帮助学生规律，教给学生学习要领，这样就能收到事半功倍的教学效果。 一、 如何理解、领会定理的实质 我们知道，切线判定方法主要有:如果圆心到直线的距离等于这个圆的半径，那么这条直线是圆的切线;经过半径外端并且垂直于半径的直径是圆的切线。切线的性质主要有:圆的切线到圆心的距离等于这个圆的半径;圆的切线垂直于经过切点的半径等等。方法虽多，叙述冗长，但却不外乎“切线?半径?垂直”三者的关系。为便于学生理解、掌握和应用，对切线的判定定理和性质定理可由这三者简单 ,组合而成。即“半径+垂直切线”为判定，而性质则为“切线+半径垂直”和,“切线+ 垂直半径”。从以上简记明显可知:只有“半径”和“垂直”两个条件, 同时满足时，才能证得直和是圆的“切线”;而已知圆的“切线”时，可由“半径”得“垂直”或由“垂直”得“半径”。也许这样简记不够严密，但却能帮助学生抓住和领会定理的实质，也为总结和掌握其应用思路作了很好的铺垫，还为今后应用它解决有关问题指明了方向。 二、 定理的应用思路 从以上的理解和分析可得: 1判定(即要证直线是圆的切线)的应用思路: 已知半径 直接证垂直 (证半径垂直于直线) 已知公共点 连半径， 证垂直 (连结圆心和半径)(证该半径与直线垂直) 未知半径 未知公共点 作垂直， 证半径 (过圆心作直线垂线) (证该垂线段长等于半径) 2性质(即已知直线是圆的切线)的应用思路: 已知切点 连半径， 得垂直 四川省普格县中学 杨仁智 , 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 (连结圆心和切点)(推得该半径垂直于直线) 未知切点 作垂直， 得半径 (过圆心作切线垂线)(推得该垂线段长等于半径) 掌握以上应用思路，学生很容易根据题目类型，选择添加辅助线的方法和需要的方向，做到思路清晰，方法准确，既加深了对定理的理解，又明确了判定和性质的区别。 三、 应用举例 例1 已知: 如图.?ABC内接于?O .AB为直径,?CAE=?B 求证: AE与?O相切于点A 分析:要证AE与?O相切，选用判定定理，属于已知半径OA,所以应用思路选“直接证垂直”，即本题关键是推证OA?AE. 证明:AB为?O直径 ?ACB=90? ?BAC+?B=90? ?BAC+?CAE=90? ?CAE=90? ?BAE=90? OA?AE AE与?O相切于点A 例2如图 直线AB经过?O上的点C,并且OA=OB,CA=CB 求证: AB是?O的切线 分析:要证AB是?O的切线，选用判定定理，属于未知半径，但AB与?O有公共点C，所以应用思路选“连半径，证垂直”，即连结OC，设法证明OC?AB. 证明:连结OC. OA=OB OC是等腰?OAB底边AB上的中线 OC?AB AB是?O的切线 CA=CB 例3 如图梯形ABCD中,AB?CD,?A=90?,BC是?O的直径,BC=CD+AB 求证:AD是?O的切线 分析:要证AD是?O的切线，选用判定定理，属于未知半径，直线AD与?O的公共点又不明确。所以应用思路选“作垂直，证半径”，即过点O作OE?AD 1BC于E，设法去证明OE是?O的半径，也就是要证明OE=. 2 证明:过点作OE?AD于E ?A=90? CD?OE?AB 四川省普格县中学 杨仁智 , 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 AB?CD DE=AE BC是?O的直径 OB=OC OE是梯形ABCD的中 OB=OC 1，，位线 OE=CD，AB 2 1 OE=BC AD是?O的切线 2 BC=CD+AB 例4 如图 AB为?O的直径，C为?O上一点, AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证: AC平分?DAB 分析:本题已知CD是?O的切线，选用性质定理，属于已知切点为C。所以应用思路选“连半径，得垂直”，即连结OC，从而可推得OC?CD. 证明:连结OC OC?CD CD是?O的切线. OC?AD ?2=?3 AD?CD ?1=?2 AC平分?DAB OA=OC ?1=?3 例5 已知:如图 MN是?O的切线,AB是?O的直径 求证:点A、B与MN的距离的和等于?O的直径 分析:本题已知MN是?O的切线，选用性质定理，但MN与?O的切点不明确。所以应用思路选“作垂直，得半径”，即过点O作OE?MN于E，从而可推得OE是?O的半径。 证明: 过点O作OE?MN于E OE是?O的半径 MN是?O的切线 OE?MN AC?MN AC?OE?BD BD?MN CE=ED AB是?O的直径 OA=OB OA=OB OE是梯形ABCD的中位线 AC+BD=2OE 点A、B与MN的距离的和等于?O的直径 四川省普格县中学 杨仁智 , 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 例6 如图 ?ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，?O与腰AB相切于点D 求证:AC与?O相切 分析:本题是综合题，应从两方面入手考虑:一方面已知AB是?O的切线,选用性质定理，并且已知切点为D, 所以应用思路选“连半径，得垂直”，即连结OD，得OD是半径,从而可得OD?AB。另一方面要证AC是?O的切线，选用判定定理，属于未知半径，也不知AC与?O的公共点，所以应用思路选“作垂直，证半径”，即过点O作OE?AC于E，设法去证明OE是?O的半径，也就是要去证明OE=OD. 证明: 连结OA、OD 对切线AB而言，用性质 ?AB切?O于D 思路:连半径，得垂直 ?OD?AB 过点O作OE?AC于E 又??ABC是等腰三角形,O是底边BC的中 对直线AC而言，用判定 ?OA平分?BAC 思路:作垂直，证半径 ?OE=OD ?AC与?O相切 通过以上典型例题逐一分析论证(当然不是就题论题，而是就题讲思路、讲方法)，使学生掌握基本知识的实质，看清基本知识和基本方法是怎样应用的，知道什么情况下用切线的判定定理，知道什么情况下用切线的性质定理，知道切线题型各种辅助线的添法和要证明的方向，避免思考和应用的盲目性，使学生有规(律)可(遵)循，有(方)法可依(据)，从而收到良好的教学效果。 普格县中学 杨仁智 2006年10月 四川省普格县中学 杨仁智 5 切线?半径?垂直 —试谈切线的判定定理和性质定理的理解和应用 四川省普格县中学 杨仁智