绵阳南山中学(实验学校)2012年(高中)自主招生考试数学试题及答案

绵阳南山中学(实验学校)2012年(高中)自主招生考试数学试题及答案 保密?启用前 绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试 数 学 试 题 本套分试题卷和答题卷两部份,试题卷共6页,答题卷共6页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上,并认真核对姓名与考号; 2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试题卷上无效; 3.非选择题(主观题)用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上,答在试题卷上无效.作图一律用2B铅笔或0.5毫米黑色签字笔; 4.考试结束后,请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交. 第?卷(选择题,共36分) 一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目的要求.) 1. |-25|的平方根是( ) A.625 B.5 C.-5 D. ?5 2.下列运算正确的是( ) 336632333236aaa，,2aaa,,aaa,,2A. B. C. D. (2)8,,,aa 3.下左图是一个由小立方块所搭的几何体,则从不同的方向看所得到的平面图形中(小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数),不正确的是( ) 1111 12132211 112224142113 DBAC 第3题图 4.有两个口袋,其中甲袋中有写着1,2,3,4的四张牌,乙袋中有写着2,3,4的三张牌.从两袋中各取出一张牌,若每张牌被取出的机会相等,则两张牌上数字之和大于6的概率为( ) 1111A. B. C. D. 2346 第 1 页 共 1 页 11等于( ) 5.已知圆柱的底面半径为r,高为h,若圆柱的体积为1,表面积为12,则，rhA.2 B.3 C.6 D.12 6.创办于1908年的四川省绵阳南山中学,2012年3月27日迎来了她104周年的校庆日.在校庆后,学生会记者随机采访了部分观看校庆文艺节目的学生,并把调查结果绘成了下面的统计图: 706260男生人数女生人数5044 40一般3019%26 20非常满意满意121028% 0满意非常满意一般 第6题图 已知此次被调查的男、女学生人数相同.根据图中信息,有下列判断: ?在被调查的学生中,持非常满意态度的人数占53%; ?本次共调查了200名学生; ?在被调查的学生中,有30%的女生持满意态度; ?在我校高一、高二参加各种社团的900名学生中,根据调查结果估计持满意与非常满意态度的人数之和超过了720人.其中,正确的判断 FGFG11(H)1有( ) EE1HA.4个 B.3个 C.2个 D.1个 DIDI117.如图:平面上有两个全等的正十边形 ABCDEFGHIJ、ABCDEFGHIJ,其中C点与J11111111111JC1C(J)1点重合,E点与H点重合,则?DCA的度数是( ) A11BB1A1A.96 B.108 第7题图 C.118 D.126 8.已知正?ABC内接于圆O,四边形DEFG为半圆O的内接正方形(D、E在直径上,F、G a在半圆上的正方形),S=a,S=b,则的值等于( ) 四边形?ABCDEFGb 633153A.2 B. C. D. 25169.根据下左图中已填出的“?”和“×”的排列规律,把?、?、?还原为“?”或“×”且符合左图 的排列规律,下面“”中还原正确的是( ) ???×××???××??××???×××××??×××?×××? A. B. C. 第9题 D. 图 ()()0xaxbx,,,,()()0xcxdx,,，,10.若方程的两根为c、d,则方程的两根为 第 2 页 共 2 页 ( ) A.a、b B.-a、-b C.c、d D.-c、-d 11.如左图:?ABC是边长3的正三角形,点D在线段BC上,点E在射线AC上,点D沿BC方向从B点以每秒1个单位的速度向终点C运动,点E沿AC方向从A点以每秒2个单位的速度运动,当D点停止时E点也停止运动.设运动时间为t秒,若?DEC的图形的面积用y来表示(规定:当三点在一条直线上时,三点组成的三角形面积为零),则y关于t的函数图象是( ) yyyy4A4443333E 2222 1111BDC333121212o3oo12otttt第11题图A.B.D.C. 12.如右图:过?ABC的顶点A作对边BC上的中线AE与高AD,E为BC中点,D为垂足. DE规定m,,特别地,当D与E重合时,规定.对、作m,0mmAABCABE 类似的规定.给出下列结论: 190:30:mm,,?若?C=,?A=,则1,; AC2 BECD?若,则?ABC为直角三角形; m,1A第12题 图 ?若,则?ABC为钝角三角形;若,则?ABC为锐角三角形; m>1m<1AA ?若,则?ABC为等边三角形. mmm,,,0ABC 其中,正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 第?卷(非选择题,共114分) 二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 1 13.函数的自变量x的取值范围是 .y, x,1南 山 14.将如右图所示的正方体的展开图重新折叠成正方体后,和“成”字相对面祝 你 上的汉字是 . 成 功 15.下图是由6个正方形构成的长方形,若最小正方形的面积为1,则这个长第14题图 方形的面积等于____________. 第 3 页 共 3 页 A E D B C O 第15题图 第16题图 第17题图 ，A,70:16.上图为?ABC与?O的重叠情形,其中BC为?O的直径.若,BC,2,则图中阴影部份的面积等于____________. 45:17.如上图:在锐角?ABC中,AB=,?BAC=,?BAC的平分线42 与BC交于点D,M、N分别是AD、AB上的动点,则MB+MN的最小值等O于____________. 18.如右图,?A的半径为r,?O的半径为4r,?A从图中所示位置出发A沿?O的表面作无滑动的滚动,当公转一周时,自转的转数为_________. 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字、证明过第18题图 程或演算步骤) 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) 01,(1)计算:; 272cos30|13|(3.14)(32),:,,，,,，, 2xxx，，221x,,21(2)先化简,再求值:,其中. ,，，(1)x2xx,,11 20.(本小题满分12分)小王从A地前往B地,到达后立刻返回,他与A地的距离y(千米)和所用的时间x(小时)之间的函数关系如图所示. y(千米)(?)小王从B地返回A地用了多少小时, B(?)求小王出发6小时后距A地多远, D240(?)在A、B之间有一C地,小王两次经过C地的时间差为2C小时20分,求A、C两地相距多远, E 7AO3x(小时) 第20题图 21.(本小题满分12分)某商业集团新进了40台空调机,60台电冰箱,调配给下属的甲、乙两个连锁店销售,其中70台给甲连锁店,30台给乙连锁店.两个连锁店销售这两种电器每台的利润(元)如下表: 空调机 电冰箱 甲连锁店 200 170 乙连锁店 160 150 第 4 页 共 4 页 设集团调配给甲连锁店x台空调机,集团卖出这100台电器的总利润为y(元). (?)求y关于x的函数关系式,并求出x的取值范围; (?)为了促销,集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售,其他的销售利润不变,并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润,问该集团应该如何调配方案,使总利润达到最大, k22.(本小题满分12分)如图,反比例函数(x>0,且k为正常数)的图象经过四边形y,x OABC的顶点A、C,?ABC,90?,OC平分OA与x轴正半轴的夹角,AB?x轴,将?ABC沿AC翻折后得?ABC,B点落在OA上. 11 (?)求四边形OABC的面积; (?)若以OA为直径的圆经过点C,且四边形OABC的面积为,求直线OB的解析式. 22 y AB B1 C Ox第22题图 23.(本小题满分12分)如图,AB为?O的直径,AM和BN是它的两条切线,E为?O的半圆弧上一动点(不与A、B重合),过点E的直线分别交射线AM、BN于D、C两点,且CB,CE. (?)求证:CD为?O的切线; ADM2AH(?)连结AC与BE交于点H,若tan?BAC,,求 的值. ECH2OH NCB 第23题图 324.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(-1,0),点B(0,-),点C在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点,且它的对称轴为x=1,点P是在直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合),过点P作y轴的平行线交BC于点F. (?)求该二次函数的解析式; yx=1(?)在对称轴上求一点M,使得MA+MB取到最小值; (?)若设点P的横坐标为m,用含m的代数式表示线段PF 的长并求?PBC面积的最大值,及此时点P的坐标. OAxCF B P 第24题 图 25.(本小题满分14分)如图,OA=10是半圆C的直径,点B是该半圆周上一动点(点B与点 第 5 页 共 5 页 O、点A不重合),连结OB、AB,并延长AB至点D,使DB=AB,过点D作直线OA的垂线,分别交直线OA、直线OB于点E、F,点E为垂足,连结CF. (?)当?AOB=30?时,求弧AB的长度; (?)当DE=8时,求线段EF的长; D (?)在点B运动过程中,是否存在以点E、C、F为顶点的三 角形与?AOB相似?若存在,请求出此时OE的长度;若不存在,请 说明理由. BF CEAO 第25题图 第 6 页 共 6 页 绵阳南山中学(实验学校)2012年自主招生考试 数学答案及评分 一.选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目的要求.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C B B D C A C C 二.填空题(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.请将答案填入答题卡相应的横线上.) 7x,113. 14.你 15.143 16. 17.4 18.4 ,18 三.解答题(本大题共7个小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本题共2个小题,每小题8分,共16分) 1(1)原式=…………6分 333(31)+1,,,,32， 32,……………………7分 ,，,32 (32)(32)，, .………………………8分 ,，,,,，32(32)22 22xxxx，,，，2(1)21(2)原式=……………3分 ,(1)(1)1xxx,，, 2xxx，,211………………………6分 ,，,2(1)(1)21xxxxx,，，， 12,x,,21当时,原式=.…………………………8分 22 20.(本小题满分12分)(?)小王从B地返回A地用了4小时.……………2分 (?)小王出发6小时,?6>3,可知小王此时在返回途中. 设DE所在直线的解析式为y=kx+b,由图象可得: k,,603240kb，,,,,解得.………5分 ,,70kb，,b,420,, ?DE所在直线的解析式为. yxx,,，,,60420(37)当x=6时,有,?小王出发6小时后距A地60千米.………7分 y,,，，,60642060 ykx,k,80(?)设AD所在直线的解析式为,易求, 11 ?AD所在直线的解析式为yxx,,,80(03).……9分 xyx,,24080设小王从C到B用了小时,则去时C距A的距离为, 00 7,x返回时,从B到C用了()小时, 03 7yxx,,，,，,，60[3()]42010060这时C距A的距离为, 003 第 7 页 共 7 页 ,解得. 由2408010060,,，xxx,1000 故C距A的距离为米.……………………12分 24080160,,x0 21.(本小题满分12分)(?)根据题意知,调配给甲连锁店电冰箱(70-x)台, 调配给乙连锁店空调机(40-x)台,电冰箱(x-10)台,……………1分 则y=200x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10),即y=20x+16800.……………3分 x,0,, ,70,x,0,,? ?10?x?40. ……………………………5分 ,40,x,0,, ,x,10,0,, ?y=20x+16800(10?x?40)………………………………6分 (?)按题意知:y=(200-a)x+170(70-x)+160(40-x)+150(x-10), 即y=(20-a)x+16800. ………………8分 ?200-a,170,?a,30. …………………9分 当0,a,20时,x=40,即调配给甲连锁店空调机40台,电冰箱30台,乙连锁店空调0台,电 冰箱30台; …………………………………10分 当a=20时,x的取值在10?x?40内的所有方案利润相同; …………………………………11 分 当20,a,30时,x=10,即调配给甲连锁店空调机10台,电冰箱60台,乙连锁店空调30台, 电冰箱0台. …………………………………12分 ka,22.(本小题满分12分)(?)过C作x轴的垂线,交x轴于D点.令C().…………1分 a因AB?BC,所以AB?BC,由OC是?AOD的平分线,所以CD=BC. 111又CB=BC,所以CB=CD. 1 y2kak2a,,从而B的坐标是(),A的坐标是().………3分 ABa2a B12ka于是AB=,OD=a,BD=.…………………4分 Ca2 故S=S-S四边形梯形OABCOABD?OCD 121akk()，，,，,aak=.………………6分 DOx222aa k=2222(?)由四边形OABC的面积为,得.……………8分 以OA为直径的圆经过点C,则AC?OC. 可证得?COD=?ACB,于是?ABC??CDO, ka ABBC42a2aka,,？,216,2,,所以,代入得,即.……………10分 kCDDOa a 2,22B的坐标是().令OB的方程为y=mx, 222,mm,2代入得,即得,于是OB的解析式为.…………………12分 yx,223.(本小题满分12分)(?)连接OE.……………1分 ?OB,OE,??OBE,?OEB.?BC,EC, 第 8 页 共 8 页 ??CBE,?CEB. ………2分 ??OBC,?OEC.?BC为?O的切线,??OEC,?OBC,90?,…………3分 ?OE为半径,?CD为?O的切线.……………4分 (?)延长BE交AM于点G,连接AE,过点D作DT?BC于点T. ADGM因为DA、DC、CB为?O的切线,?DA,DE,CB,CE. E2,令AB,2x,则BC,2 x. 在Rt?ABC中,因为tan?BAC,OH2 ?CE,BC,2 x.………………………………………6分 N令AD,DE,a,则在Rt?DTC中,CT,CB,AD,2 x,a, TCB222DC,CE，DE,2 x，a,DT,AB,2x,?DT,DC,CT, 222?(2x),(2 x，a),(2 x,a). ……………7分 解之得,x,2 a. ………………8分 ?AB为直径,??AEG,90?.?AD,ED,?AD,ED,DG,a. ?AG,2a.…………………………………………9分 因为AD、BC为?O的切线,AB为直径, ?AG?BC.所以?AHG??CHB. AHAG2a? , , . ……………………………………………11分 CHCB2 x AH? ,1. ……………………………………………12分 CH 224.(本小题满分12分)(?)令二次函数的解析式为,由已知可得: yaxbxca,，，,(0) ,3a,,b,3,,1,,2a,,23b,,abc,，,0,解之得, ,,3,,c,,3,,c,,3,, , 323322于是其解析式为,即.…………………4yxx,,,3yxx,,,(23)333 分 (?)由于M在对称轴上,所以MA+MB=MB+MC,故M点为直线BC与对称轴的交点. 由对称轴为x=1且点A(-1,0),于是点B(3,0),令直线BC的方程为y=kx+b, ,b,,3,,,3b,,3,？则,于是BC的方程为.…………6分 yx,,3,,3330kb，,,k,,,3, 2323y,,(1,),当x=1时得,于是点M的坐标为.…………8分 33 第 9 页 共 9 页 33(?)在BC的方程中,令x=m,可得F的坐标是F(m,). yx,,3m,333 3232又点P的坐标是P(m,). …………9分 mm,,333 3323322于是PF=,其中05,所以舍去x,?OE=..……12分 24D?当交点E在点O的左侧时,??BOA=?EOF,?ECF , ?要使?ECF与?BAO相似,只能是?ECF=?BAO. B 1AD连结BE,得BE==AB,?BEA=?BAO, 2 CFOC,??ECF=?BEA,?CF?BE,?. EAOCBEOE 又??ECF=?BAO, ?FEC=?DEA=Rt?, FCECF,??CEF??AED,?, AEAD OCCE5+5x,而AD=2BE,?,,?, 2OEAE210+xx 55175517,，,,5175,解得,,0(舍去),?OE=. x,x,12444综上所述:存在以点E、C、F为顶点的三角形与?AOB相似, 5，5175105175,此时OE的长度为:、、、..……14分 2344 第 11 页 共 11 页