普朗克公式

普朗克公式 普朗克公式的那些事 材料科学与工程学院 材料物理 张培 学号:1043011023 19世纪末，经典统计物理学在研究黑体辐射时遇到了巨大的困难:由经典的能量均分定理导出的瑞利-金斯公式在短波方面得出同黑体辐射光谱实验结果相违背的结论。同时，维恩公式则仅适用于黑体辐射光谱能量分布的短波部分。也就是说，当时还未能找到一个能够成功描述整个实验曲线的黑体辐射公式。为了解决经典物理学19世纪末面临的“紫外灾难”，普朗克吸收了维恩公式和瑞利,金斯公式的长处，利用热力学理论和熵能关系，于1900年10月19日“猜测”出了普朗克公式，经鲁本斯实验验证完全正确，很好地解决了前人的黑体辐射理论与实验结果的矛盾。 物理学中，普朗克黑体辐射定律(也简称作普朗克定律或黑体辐射定律)(英文:Planck's law, Blackbody radiation law)是用于描述在任意温度下， 中发射的电磁辐射的辐射率与电磁辐射的频率的关系公式。这里辐射从一个黑体 率是频率的函数: 这个函数在时达到峰值。 如果写成波长的函数，在单位立体角内的辐射率为 注意这两个函数具有不同的单位:第一个函数是描述单位频率间隔内的辐射率，而第二个则是单位波长间隔内的辐射率。因而和并不等价。它们之间存在有如下关系: 通过单位频率间隔和单位波长间隔之间的关系，这两个函数可以相互转换: 下表中给出了函数中每一个物理量的意义和单位: 物理厘米-克-秒含义 国际单位制 量 制 -1辐射率，在单位时间内从焦耳?秒?米尔格?秒-2-1单位表面积和单位立体角内?球面度 ?赫兹-1-2?厘米?赫兹 -1-1以单位频率间隔或单位波长，或焦耳?秒?米-1-1?球面度 -2- 1-1间隔辐射出的能量 ?球面度?米 频率 赫兹 (Hz) 赫兹 波长 米 (m) 厘米(cm) 开尔文 (K) 开尔文 黑体的温度 焦耳?秒 尔格?秒普朗克常数 (J?s) (erg?s) 厘米,秒 光速 米/秒 (m/s) (cm/s) 自然对数的底， 无量纲 无量纲 2.718281... 焦耳,开尔文 尔格,开尔玻尔兹曼常数 (J/K) 文 (erg/K) 在1900年10月19日，在德国物理学会的会议上，普朗克基于一个根据实验数据猜测出来的内插公式,提出了黑体辐射公式: 当时对黑体辐射实验测量工作做得较多的有鲁本斯。据说普朗克那时几乎每天下午四时都去鲁本斯家中喝咖啡，并将自己的公式与他的实验结果核对, 不符合时晚上回来再修改, 最后凑出上面这个公式在普朗克报告的当天晚上, 鲁本斯将自己的数据和这个公式作了详细比较, 发现它们“ 在任何情况下都完全令人满意地相符” 普朗克认识到如果仅仅把这个公式看成是侥幸揣测出来的, 那末它的价值非常有限于是他就致力于找出这个公式的真正物理意义。经过近两个月的努力，普朗克于1900年12与4日向德国物理学会提出他对黑体辐射公式的理论推导。 1899年，普朗克运用经典电磁理论，研究了封闭在一个具有理想反射壁的空腔的电磁辐射，采用赫兹振子模型，由运动方程出发，导出单位体积和频率间隔的电磁辐射能和振子平均能的关系: 接着普朗克利用热力学方法探讨上式中的U形式。以两参量的维恩公式 及相应的热力学关系为一极限情况，以鲁本斯和库尔鲍姆的实验结果“ 单色辐射的强度在温度高时与温度成正比” 及相应的热力学关系为另一极限情况，做出了天才的猜测:内插于两者之间正确的形式为。此式积分后可得到 。根据热力学关系，立即有 ，从而得到1900年10月19日在德国物理学会会议上提出的两常数的普朗克公式。 在确信这一公式的正确之后，普朗克着手寻求理论上完善的推导方法。他效仿玻尔兹曼，把能量分配于N个谐振子，而,P是整数，一般很大。称能量元，其值尚须确定。有组合分析法则得到配容数为 略去式中的1，利用斯特令公式，得 由于，故可直接到处单个谐振子的熵: 以h表示与振子特性无关的常数，普朗克把能量元写为。将熵S对U求导，利用及上面谈到的热力学方法，就得出了他在1900年12月14日向柏林物理学会提出的黑体辐射公式的推导，而这一天就被看作为量子观念的诞生之日。 普朗克对他的辐射公式的推导, 存在着明显的内部矛盾。首先， 与 是矛盾的。ρ是从经典麦克斯韦电磁理论推导出来的，其中无疑假定了赫兹振子的能量连续变化性, 而U则是在振子分立能级假定下导出,这在逻辑上不自洽其次, 在推导辐射公式时,普朗克把嫡确定为，而他仅仅计算了一切可能出现的状态总数并把它与几率等同起来爱因斯坦对此曾指出:“ 普朗克先生运用玻耳兹曼等式的方式在我看来在这一点上是令人费解的, 他引进状态的几率W而竟没有给这个量下个物理定义。 下面的推导并非普朗克的原始推导，需要用到电动力学、量子力学和统计力学的有关概念。 考虑一个充满了电磁辐射的边长为的立方体:根据经典电动力学，在立方体壁表面的边界条件为电场的平行分量和磁场的垂直分量都为零。类似于处于束 缚态的粒子的波函数，立方体内部的电磁场也是满足边界条件的周期性本征函数的线性叠加，在垂直于立方体壁表面的三个方向上各个本征函数的波长分别为 和 是非负整数。对于每一组值都有两个线性无关的解(两种不同的这里 模)。根据量子力学中的谐振子理论，任意模式下的系统能级为 这里量子数可看作是立方体中的光子数，而两种不同模式对应的是光子的两种偏振态。注意到当光子数为零时能级不为零，这种电磁场的真空能量是一种量子效应，是产生卡西米尔效应的原因。下面我们计算在温度下光子数为零时系统处于真空状态下的内能。 根据统计力学，在特定模式下不同能级的概率分布由下式给出 这里 分母是系统在特定模式下的配分函数，它能够使概率分布归一化。对正则系综有 这里我们定义单个光子的能量为 系统的平均能量和配分函数的关系为 这个公式是玻色-爱因斯坦统计的一个特例。由于光子是玻色子，任一能级对光子的数量没有限制，系统的化学势为零。 系统的总能量是平均能量对所有可能的单光子态求和。考虑在热力学极限下，立方体边长趋于无穷大，这时单光子能量近似成为连续值，我们将平均能量对单光子的连续能量积分就可以得到系统的总能量，这就需要我们首先确定在任意给定的能量范围内具有多少个光子态。假设处于能级和的 单光子态总数为(这里是所谓光子的能态密度，其具体表达式还需另行计算)，则系统的总能量为 为计算光子能态密度的表达式，我们将(1)式重写成 这里是矢量的模 每一个矢量都对应有两个光子态，换句话说，在给定的一个由矢量 构成的希尔伯特空间中的光子态总数是这个空间体积的2倍。一个微小的能量区间对应着这个希尔伯特空间中一个薄球壳的厚度 。由于矢量的分量不能为负值，能量区间实际上只能对应整个薄球壳总体积的1/8(这是因为矢量有三个分量，每一个分量都为正数时的概率为1/8)。因而在能量区间上光子态总数为 将这个表达式代入(2)式，得到 注意到的三次方是立方体体积，因此可直接得到能量密度的表达式，将它写成频率的频谱函数 其中 这里即是黑体辐射的能量频谱密度，其意义为单位频率在单位体积内的能量。 如果写成波长的函数， 其中 这是黑体辐射的能量密度频谱的另一种形式，其意义为单位波长在单位体积 展开。内的能量。在玻色或费米气体情形下对这一函数积分需要用到多对数函数但这里可以用初等函数的办法得到一个近似形式，数学上做代换 积分变量从而可写成如下形式 其中的表达式为 这一积分结果将后文附录中做说明。因而得到立方体中电磁场的总能量为 其中是立方体体积(注意:这个表达式不是斯特藩-玻尔兹曼定律，它的含义并不是理想黑体在单位时间内从单位表面积辐射出的总能量，参见斯特藩-玻尔兹曼定律条目)。由于辐射各向同性，并且以光速传播，能量的辐射率(单位时间单位表面积单位立体角单位频率下辐射的能量)为 从而得到普朗克黑体辐射定律 很多有关量子理论的大众科普读物，甚至某些物理学课本，在讨论普朗克黑体辐射定律的历史时都犯了严重的错误。尽管这些错误概念在四十多年前就已经被物理学史的研究者们指出，事实证明它们依然难以被消除。部分原因可能在于，普朗克最初量子化能量的动机并不是能用三言两语就能够道清的，这里面的原因在现代人看来相当复杂，因而不易被外人所理解。丹麦物理学家Helge Kragh曾发表过一篇文章清晰地阐述了这种错误是如何发生的。“紫外灾难”:在经典统计理论中，能量均分定理预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背。 首先是尽管普朗克给出了量子化的电磁波能量表达式，普朗克并没有将电磁 波量子化，这在他1901年的论文以及这篇论文对他早先文献的引用中就可以看到。他还在他的著作《热辐射理论》(Theory of Heat Radiation)中平淡无奇地解释说量子化公式中的普朗克常数(现代量子力学中的基本常数)只是一个适用于赫兹振荡器的普通常数。真正从理论上提出光量子的第一人是于1905年成功解释光电效应的爱因斯坦，他假设电磁波本身就带有量子化的能量，携带这些量子化的能量的最小单位叫光量子。1924年萨特延德拉?纳特?玻色发展了光 子的统计力学，从而在理论上推导了普朗克定律的表达式。 另一错误概念是，普朗克发展这一定律的动机并不是试图解决“紫外灾难”。“紫外灾难”这一名称是保罗?埃伦费斯特于1911年提出的，从时间上看这比普朗克定律的提出要晚十年之久。紫外灾难是指将经典统计力学的能量均分定理应用于一个空腔中的黑体辐射(又叫做空室辐射或具空腔辐射)时，系统的总能量在紫外区域将变得发散并趋于无穷大，这显然与实际不符。普朗克本人从未认为能量均分定理永远成立，从而他根本没有觉察到在黑体辐射中有任何“灾难”存在——不过仅仅过了五年之后，这一问随着爱因斯坦、瑞利勋爵和金斯爵士的发现而就变得尖锐起来。 事实上，普朗克根据黑体辐射的数据计算出常数h值:h=6.65×10-34焦耳?秒 h—普朗克常数 ，就好象普罗米修斯从天上引来的一粒火种，使人们从 黑体辐射，光电效应，原子光谱，康普顿效应等传统思想的束缚下获得了解放～ 都是普朗克假说的发展结果，是经典物理所不能解释的。 普朗克的能量量子化假设，大胆抛弃了经典物理学中物理量连续变化的旧观念，它不仅是对经典物理学的改造，而且是一次革命。后来的事实证明，随着普朗克能量子的提出，物理学理论发生了巨大的变革，它奠定了量子理论的基础，揭开了人类探索微观世界的序幕。 普朗克能量量子化的概念，不仅与当时的物理学家们早已习惯了的方法相差甚远，而且与人们的普通常识也不相同，以至在量子假说提出后的最初五年时间里，并未引起物理学界的积极响应。瑞利和金斯不相信，马赫与彭加勒反对，洛仑兹甚至到1911年还在怀疑。德国有一本《自然科学与技术史手册》(在1908年出第二版)列举了1900年全世界120项发现与发明，就是没有提到普朗克的发现。而普朗克虽然已经敲开了量子世界的大门，他完全可以大胆地闯进去，搞取更多丰硕的果实。然而，他犹豫了，在以后的十五年里，普朗克还尽量想把他的能量量子纳入经典物理学的框架，他说:“经典理论给了我们这样多有用的东西，因此必须以最大的谨慎对待它、维护它。”十五年动摇、徘徊、倒退的痛苦，终于使普朗克认识到能量量子的概念是完全不能用经典物理学解释的。 普朗克尽管有许多局限，但毕竟是在科学变革时代的一个新理论的开拓者，他放出了量子幽灵，而这个幽灵最终改变了人们对世界的看法。正如科学家劳厄所说:“只要自然科学存在，它就将永远不会让普朗克的名字被遗忘。”