比较函数sin(tanx)与函数tan(sinx)的大小

比较函数sin(tanx)与函数tan(sinx)的大小 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosxπππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2 π一、分在区间内试比较函数与的大小，并证明你的结论(10)(0,),tan(sin)sin(tan).xx2 解 设 f(x),tan(sinx),sin(tanx),则 32cosx,cos(tanx)cos(sinx)22,f(x),sec(sinx)cosx,cos(tanx)secx,.22cos(sinx)cosx πππ当0,x,arctan时，0,tanx,,0,sinx,.222 π由余弦函数在(0，)上的凸性有2 1tanx，2sinx23cos(tanx)cos(sinx),[cos(tanx)，2cos(sinx)],cos.33 x222,设(x),tanx，2sinx,3x，(x),secx，2cosx,3,tanx,4sin,0.,,2 tanx，2sinx23于是tanx，2sinx,3x,所以cos,cosx,即cos(tanx)cos(sinx),cosx.3 π,于是当x,(0,arctan)时，f(x),0,又f(0),0,所以f(x),0.2 πππ当x,[arctan,)时,sin(arctan),sinx,1.由于222 ππtan(arctan)πππ22sin(arctan),,,,,2224ππ4，π21，tan(arctan)1，24 π故,sinx,1.于是1,tan(sinx),tan1.4 ππ？当x,[arctan,)时,f(x),0.22 π综上可得,当x,(0,)时,tan(sinx),sin(tanx).2