应用向量共线定理解题的技巧

应用向量共线定理解的技巧 应用向量共线定理解题的技巧 向量共线定量是指向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b=λa，即b//a b=λa(a?o)。 推论:设oa、ob是两个不共线的非零向量，求证:a、b、p三点共线的充要条件是存在唯一的实数λ、μ，使op=λoa+μob，且λ+μ=1。 : 必要性: ?a、b、p三点共线，?ap与ab共线 ?存在t?r,使ap=tab ?op-oa=t(ob-oa) vop=oa+tob-toa=(1-t)oa+tob 设1-t=λ,t=μ,则op=λoa+μob,且λ+μ=1,λμ?r, 充分性: 由λ+μ=1 λ=1-μ,代入op=λoa+μob得 op=(1-μ)oa+μob =oa-μoa+μob ?op-oa=μ(ob-oa) 即ap=μab b、p三点共线。 ?ap与ab共线，即a、 应用: 例1.在δabc中，am:ab=1:3，an:nc=1:4，bn与cm交于点e，令ab=a,ac=b,试用a、b示ae。 解:?b、e、n三点共线 ?存在实数λ使ae=λan+(1-λ)ab =?b+(1-λ)a 又?c、e、m三点共线 ?存在实数μ，使ae=μam+(1-μ)bc =?a+(1-μ)b 由向量表示的唯一性可得 ?=1-μ ?=1-λ μ=?，λ=? ?ae=?a+?b 评述:此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难，本题运用向量共线定理的推论轻松获解。 例2.设o为δabc所在平面内一点，且oa=2ob+3oc，求δabc和δobc的面积之比。 解:?oa=2ob+3oc ??oa=?ob+?oc ?oa，则a、o、e三点共线 令oe= 又??+?=1，?b、c、e三点共线 从而e为ao与bc的交点，且oe=?oa 因为δabc与δobc的面积之比等于bc边上高之比， 而高之比等于ae:eo=4:1 ?δabc与δobc的面积之比为4:1。 评述:本题巧妙地运用了向量共线定量的推论，使复杂问题简单化，从而轻松获解。 (作者单位:江西省永新县任弼时中学)