逻辑学_三段论

逻辑学_三段论 直言三段论是所有前提都是直言命题的演绎推理。 所有动物都终有一死。 所有人都是动物。 所以，所有人都终有一死。 前两个命题叫做前提。如果这个三段论是有效的，这两个前提逻辑上蕴涵了最后的命题，它叫做结论。结论的真实性建立在前提的真实性和它们之间的联系之上:中项在前提中必须周延(distribute)至少一次，形成在结论中的主词和谓词之间的连接。即使直言三段论是有效的，但如果有前提为假的话结论仍可能是假。 命题可以是全称的(universal)或特称的(particular)，并且可以是肯定的或否定的。所以有四种命题: A型:全称肯定的 - “所有S都是P”，简写为SaP。 I型:特称肯定的 - “有些S是P”，简写为SiP。 E型:全称否定的 - “没有S是P”，简写为SeP。 O型:特称否定的 - “有些S不是P”，简写为SoP。 在下列这个三段论中: 下面讨论直言三段论的格。先识别三种不同类型的项:大项、小项和中项。作为结论中的谓词出现的项是大项。在上述三段论中的P是大项。小项是作为结论中的主词出现的项;此间S是小项。通过排除法可知，中项是没有出现在结论中，却在每个前提中都出现一次的项;此间M是中项。大项所在的前提叫大前提，小项所在的前提叫小前提。直言三段论的格经由识别中项的四种可能排列而得到。格用数字来表示: 第2格 第3格 第4格 第1格 大前提 M-P P-M M-P P-M 小前提 S-M S-M M-S M-S 结论 S-P S-P S-P S-P 四个格之间可相互转换: 第1格:不需转换。 第2格:对换大前提的前后两项的位置就变成第1格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第4格。 第3格:对换大前提的前后两项的位置就变成第4格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第1格。 第4格:对换大前提的前后两项的位置就变成第3格， 对换小前提的前后两项的位置就变成第2格。 E和I命题对换前后两项的位置而保持同原命题等价。A命题不能对换前后两项的位置， 但可以在前项确实有元素存在的前提下，转换成与弱于原命题的I命题。 O命题不能对换前后两项的位置。 上述直言三段论的正确的语气和格是AAA-1。 语气和格的组合叫做形式。 直言三段论必须包含严格的三个项，不多不少(参见四项谬论)。 如果某一前提是否定的，则结论必须是否定的(参见否定推出肯定谬论)。 两个前提不能都是否定的(参见排它前提谬论)。 在结论中周延的项必须在前提中周延。(参见违法大项谬论，违法小项谬论)。 中项必须周延至少一次(参见不周延中项谬论)。 不能从两个全称前提中得到特称结论(参见存在性谬论)。 1 第1格 AAA(Barbara) 所有M是P.所有S是M.?所有S是P. EAE(Celarent) 没有M是P.所有S是M.?没有S是P. AII(Darii) 所有M是P.有些S是M.?有些S是P. EIO(Ferio) 没有M是P.有些S是M.?有些S不是P. 第2格 EAE(Cesare) 没有P是M.所有S是M.?没有S是P. AEE(Camestres) 所有P是M.没有S是M.?没有S是P. EIO(Festino) 没有P是M.有些S是M.?某些S不是P. AOO(Baroco) 所有P是M.某些S不是M.?某些S不是P. 第3格 AAI(Darapti) 所有M是P.所有M是S.?有些S是P.(这种形式需要假定某些M确实存在。)[1] IAI(Disamis) 有些M是P.所有M是S.?有些S是P. AII(Datisi) 所有M是P.有些M是S.?有些S是P. EAO(Felapton) 没有M是P.所有M是S.?有些S不是P. (这种形式需要假定某些M确实存在。)[2] OAO(Bocardo) 某些M不是P.所有M是S.?某些S不是P. EIO(Ferison) 没有M是P.有些M是S.?某些S不是P. 第4格 AAI(Bramantip) 所有P是M.所有M是S.?有些S是P. (这种形式需要假定某些P确实存在)[4] AEE(Camenes) 所有P是M.没有M是S.?没有S是P. IAI(Dimaris) 有些P是M.所有M是S.?有些S是P. EAO(Fesapo) 没有P是M.所有M是S.?有些S不是P. (这种形式需要假定某些M确实存在)[5] EIO(Fresison) 没有P是M.有些M是S.?有些S不是P. 2 结论弱化的论式 在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可弱化论式中的结论A为I，结论E为O，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。它们是: AAI-1(弱化的AAA-1)，EAO-1(弱化的EAE-1)，EAO-2(弱化的EAE-2)，AEO-2(弱化的AEE-2)，AEO-4(弱化的AEE-4)。 对附加的谓词演算公式的注解 按照布尔逻辑和集合代数的观点，三段论可以解释为:集合(类)S和集合M有某种二元关系，并且集合P和集合M有某种二元关系，从而推论出集合S和集合P是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种: A (全称肯定)命题:所有X是Y，确定了X“包含于”Y的关系，X是Y的子集，Y是X的超集，这是一种偏序关系，所有X是Y并且所有Y是Z则所有X是Y，所有X是Y并且所有Y是X则X同于Y。 E (全称否定)命题:所有X不是Y，确定了X和Y是“无交集”的关系，这是一种对称关系，所有X不是Y同于所有Y不是X。(X与Y无交集，Y与Z无交集，不能推出X与Z无交集)。 I (特称肯定)命题:有些X是Y，确定了X和Y是“有交集”的关系，这是一种对称关系，有些X是Y同于有些Y是X。(X与Y有交集，Y与Z有交集，不能推出X与Z有交集)。 O (特称否定)命题:有些X不是Y，确定了X“不包含于”Y的关系。(从X不包含于Y不能推出X包含Y)。 将参与推理的命题分为两类:规则和事实，全称命题是规则，而特称命题只陈述事实: A命题:所有X是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出肯定的Y，从否定的Y推出否定的X。 E命题:所有X不是Y，它允许两个推理方向，从肯定的X推出否定的Y，从肯定的Y推出否定的X。 I命题:有些X是Y，它确定了有些个体存在于X与Y的交集中。 O命题:有些X不是Y，它确定了有些个体存在于X-Y的差集中。 两个规则可以推出一个新规则，一个规则和一个存在事实可以推出一个新的存在事实，两个存在事实什么也推不出来。A命题可以和所有四种命题一起工作。E命题还可以和I命题一起工作。两个E命题无法推理。E命题和O命题不能一起工作，因为推出的是两个否定的合取，不属于这四种命题之一。IE的组合都得出P不包含于S结论，不属于四种命题之一。有效的论式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA这8种组合和4种格共32种情况中检验。 3 首先是推出新规则的推理。 第1格和第4格的中项分别位于两前提的主词和谓词位置上，所以是可直接推出结论。 AA组合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推论出S包含于P的关系;第4格AA组合推论出P包含于S的关系，这不是四种命题之一，只能在P确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。 AE及EA组合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要对换结论E命题的主词和谓词位置，EAE-2和AEE-2分别是它们二者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。 AA和EA的第3格组合通过合成推理在中项确定有元素存在情况下形成AAI-3和EAO-3。 EAO-4是EAO-3对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。 AE第3格组合得出 P不包含于S的结论，不属于四种命题之一。 其他论式都是一个全称命题作为规则，而另一个特称命题提出两个事实的合取，规则消去一个事实形成一个新事实，从而得到一个旧事实和新事实合取的新存在事实。 AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要对换结论I命题的主词和谓词位置， AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分别是它们三者在对换前提E命题的主词和谓词位置后的等价者。 OAO-3是直接推出的，它没有等价者。AOO-2没有等价者，这里对A命题采用了否定后件推理，历史上采用反证法，假定结论O命题不成立，它与大前提A命题推出与小前提O命题矛盾的结果，所以结论成立。 历史上，对于AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它们的拉丁语名字中的p所指示的，通过把A命题是被弱化为I命题的方式引入某个集合确实有元素存在的前提。 后人认为它们不是直言的(直言的意思就是无条件)，这个问题被称为存在性引入问题。 4