建立数学模型的方法、步骤、特点及分类

建立数学模型的、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能述建立数学模型的方法、步骤; 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点;; 3.能表述数学建模的分类; 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型; 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法(机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映首先要了解问的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作(情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设 根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步(一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解(不同的简化假设会得到不同的模型(假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作(通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合(作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线性化、均匀化(经验在这里也常起重要作用(写出假设时，语言要精确，就象做习题时写出已知条件那样( 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术( 模型分析 对模型解答进行数学上的分析，有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况，有时是根据所得结果给出数学上的预报，有时则可能要给出数学上的最优决策或控制，不论哪种情况还常常需要进行误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏性分析等( 模型检验 把数学上分析的结果翻译回到实际问题，并用实际的现象、数据与之比较，检验模型的合理性和适用性(这一步对于建模的成败是非常重要的，要以严肃认真的态度来对待(当然，有些模型如核战争模型就不可能接受实际的检验了(模型检验的结果如果不符合或者部分不符合实际，问题通常出在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模(有些模型要经过几次反复，不断完善，直到检验结果获得某种程度上的满意( 模型应用 应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的，这方面的一般说来总是希望模型尽可能逼近研究对象，但是一个非常逼真的模型在数学上常常是难于处理的，因而不容易达到通过建模对现实对象进行分析、预报、决策或者控 制的目的，即实用上不可行(另一方面，越逼真的模型常常越复杂，即使数学上能处理，这样的模型应用时所需要的“费用”也相当高，而高“费用”不一定与复杂模型取得的“效益”相匹配(所以建模时往往需要在模型的逼真性与可行性，“费用”与“效益”之间做出折衷和抉择( 模型的渐进性 稍微复杂一些的实际问题的建模通常不可能一次成功，要经过上一节描述的建模过程的反复迭代，包括由简到繁，也包括删繁就简，以获得越来越满意的模型(在科学发展过程中随着人们认识和实践能力的提高，各门学科中的数学模型也存在着一个不断完善或者推陈出新的过程(从19世纪力学、热学、电学等许多学科由牛顿力学的模型主宰，到20世纪爱因斯坦相对论模型的建立，是模型渐进性的明显例证( 模型的强健性 模型的结构和参数常常是由对象的信息如观测数据确定的，而观测数据是允许有误差的(一个好的模型应该具有下述意义的强健性:当观测 数据(或其他信息)有微小改变时，模型结构和参数只有微小变化，并且一般也应导致模型求解的结果有微小变化( 模型的可转移性 模型是现实对象抽象化、理想化的产物，它不为对象的所属领域所独有，可以转移到另外的领域(在生态、经济、社会等领域虽然已经发展了许多应用广泛的模型，但是实际问题是各种各样、变化万千的，不可能要求把各种模型做成预制品供你在建模时使用。模型的这种非预制性使得建模本身常常是事先没有答案的问题(Open—end problem)(在建立新的模型的过程中甚至会伴随着新的数学方法或数学概念的产生( 模型的条理性 从建模的角度考虑问题可以促使人们对现实对象的分析更全面、更深入、更具条理性，这样即使建立的模型由于种种原因尚未达到实用的程度，对问题的研究也是有利的。 模型的技艺性 建模的方法与其他一些数学方法如方程解法、规划解法等是根本不同的，无法归纳出若干条普遍适用的建模准则和技巧(有入说。建模目前与其是一门技术、不如说是一种艺术(是技艺性很强的技巧(经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等在建模过程中起的作用往往比一些具体的数学知识更大( 模型的局限性 这里有几方面的含义(第一，由数学模型得到的结论虽然具有通用性和精确性，但是因为模型是现实对象简化、理想化的产物，所以一旦将模型的结论应用于实际问题，就回到了现实世界，那些被忽视、简化的因素必须考虑，于是结论的通用性和精确性只是相对的和近似的(第二，由于人们认识能力和科学技术包括数学本身发展水平的限制，还有不少实际问题很难得到有着实用价值的数学模型(如一些内部机理复杂、影响因素众多、测量手段不够完善、技艺性较强的生产过程，像生铁冶炼过程，需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果(专家系统是一种计算机软件系统，它总结专家的知识和经验，模拟人类的逻辑思维过程，建立若干规则和推理途径，主要是定性地分析各种实际现象并做出判断(专家系统可以看成计算机模拟的新发 展(第三，还有些领域中的问题今天尚未发展到用建模方法寻求数量规律的阶段，如中医诊断过程，目前所谓计算机辅助诊断也是属于总结著名中医的丰富临床经验的专家系统( 建模过程是一种创造性思维过程，除了想象、洞察、判断这些属于形象思维、 逻辑思维范畴的能力之外，直觉和灵感往往也起着不可忽视的作用。当由于各种限制利用已有知识难以对研究对象做出有效的推理和判断时，凭借相似、类比、猜测、外推等思维方式及不完整、不连续、不严密的，带启发性的直觉和灵感，去“战略性”地认识对象，是人类创造性思维的特点之一，也是人脑比按程序逻辑工作的计算机、机器人的高明之处(历史上不乏在科学家的直觉和灵感的火花中诞生的假说、论证和定律(当然，直觉和灵感不是凭空产生的，它要求人们具有丰富的背景知识，对问题进行反复思考和艰苦探索，对各种思维方法运用娴熟(相互讨论和思想交锋，特别是不同专业的成员之间的探讨，是激发直觉和灵感的重要因素(所以由各种专门人才组成的所谓团队工作方式(Team work)越来越受到重视( 前面说过，建模可以看成一门艺术(艺术在某种意义下是无法归纳出几条准则或方法的(一名出色的艺术家需要大量的观摩和前辈的指教，更需要亲身的实 践(类似地，掌握建模这门艺术培养想象力和洞察力，一要大量阅读、思考别人做过的模型，二要亲自动手，认真做几个实际题目( 三、数学模型的分类 数学模型可以按照不同的方式分类，下面介绍常用的几种( 1.按照模型的应用领域(或所属学科)分(如人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型等(范畴更大一些则形成许多边缘学科如生物数学、医学数学、地质数学、数量经济学、数学社会学等( 2.按照建立模型的数学方法(或所属数学分支)分(如初等数学模型、几何模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、规划论模型等( 按第一种方法分类的数学模型教科书中，着重于某一专门领域中用不同方法建立模型，而按第二种方法分类的书里，是用属于不同领域的现成的数学模型来解释某种数学技巧的应用(在本书中我们重点放在如何应用读者已具备的基本数学知识在各个不同领域中建模( 3.按照模型的表现特性又有几种分法: 确定性模型和随机性模型 取决于是否考虑随机因素的影响(近年来随着数学的发展，又有所谓突变性模型和模糊性模型( 静态模型和动态模型 取决于是否考虑时间因素引起的变化( 线性模型和非线性模型 取决于模型的基本关系，如微分方程是否是线性的( 离散模型和连续模型 指模型中的变量(主要是时间变量)取为离散还是连续的( 虽然从本质上讲大多数实际问题是随机性的、动态的、非线性的，但是由于确定性、静态、线性模型容易处理，并且往往可以作为初步的近似来解决问题，所以建模时常先考虑确定性、静态、线性模型(连续模型便于利用微积分方法求解，作理论分析，而离散模型便于在计算机上作数值计算，所以用哪种模型要看具体问题而定(在具体的建模过程中将连续模型离散化，或将离散变量视作连续，也是常采用的方法( 4.按照建模目的分(有描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等( 5.按照对模型结构的了解程度分(有所谓白箱模型、灰箱模型、黑箱模型(这是把研究对象比喻成一只箱子里的机关，要通过建模来揭示它的奥妙(白箱主要 包括用力学、热学、电学等一些机理相当清楚的学科描述的现象以及相应的工程技术问题，这方面的模型大多已经基本确定，还需深入研究的主要是优化设计和控制等问题了(灰箱主要指生态、气象、经济、交通等领域中机理尚不十分清楚的现象，在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做(至于黑箱则主要指生命科学和社会科学等领域中一些机理(数量关系方面)很不清楚的现象(有些工程技术问题虽然主要基于物理、化学原理，但由于因素众多、关系复杂和观测困难等原因也常作为灰箱或黑箱模型处理(当然，白、灰、黑之间并没有明显的界限，而且随着科学技术的发展，箱子的“颜色”必然是逐渐由暗变亮的( 建立数学模型的方法和步骤 建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。 例题:一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8 个头和22 只脚，问该笼子中有多少只鸡和多少只兔, 解:设笼中有鸡x 只，有兔y 只，由已知条件有 x+y=8 2x+4y=22 求解如上二元方程后，得解x=5,y=3，即该笼子有鸡5 只，有兔3 只。将此结果代入原题进行验证可知所求结果正确。 根据例题可以得出如下的数学建模步骤: 1)根据问题的背景和建模的目的做出假设(本题隐含假设鸡兔是正常的，畸形的鸡兔除外) 2)用字母表示要求的未知量 3)根据已知的常识列出数学式子或图形(本题中常识为鸡兔都有一个头且鸡有2 只脚，兔有4 只脚) 4)求出数学式子的解答 5)验证所得结果的正确性 这就是数学建模的一般步骤。