初中数学猜想题的几种解法

初中数学猜想题的几种解法 吴贵兴 摘要：猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法，而掌握猜想方法要有一定的技巧，掌握常见的等差型、等比型、平方型等题型的解题技巧，对猜想思维的提高有很大帮助。本文通过例说实践与探索，总结猜想思维能力题的某些特殊规律，掌握其中解猜想题的技巧，从而促进猜想思维能力的提高，培养学生分析问题、解决问题的能力，开发学生智能，达到培养学生正确认识数学观点和掌握数学方法，提高学生解猜想题、应用数学的能力。 关键词：开放性、猜想、解题、方法、技巧、等差型、等比型。 在实施素质教育的今天，猜想试题近年考试所占的比例越来越高，猜想是学习数学极其重要的思维方法。因此，现在我们更加注重猜想思维的培养和应用，特别是用于评价学生的思维能力。近年来，求解猜想题在各类考试中随处可见；而教材中却没有专门涉及到猜想题的内容，这让部分教师非常的苦恼。据统计，在考试中能做对这类题的学生仅有百分之十四左右（在我的两个教学班中统计），且花时间比较多。我们如何解决这个问题，让普遍的学生能做猜想题，提高猜想思维能力。为此，笔者总结猜想思维的特征，研究关于“猜想”的辅助课如下： 一、 等差型（kn+a型） 问题:用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如下图所示的正方形图案，则第n个图案需要用白色棋子枚数为_________（用含n的代数式示）。[1] ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○          ○ ● ● ● ○ 〇 〇 ○            ○ ● ● ○          ○ ● ● ● ○       …… ○ ● ○            ○ ● ● ○          ○ ● ● ● ○        ○ ○ ○            ○ ○ ○ ○          ○ ○ ○ ○ ○ (第一个)            (第二个)              (第三个)    … … (第n个) 分析: 图形序号 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 第n个 白棋枚数 8 12 16 …… 观察上表得出特征:第一个以后的每一个图案的白棋枚都比它前一个图案的白棋多4枚,因此第4个的白棋数应为16+4=20枚。那么，第n个图案的白棋数呢？ 请观察： （1）4×1+4=8  （2）4×2+4=12    （3）4×3+4=16  （4）4×4+4=20 由此看出，第n个图案的白棋数为：4n+4枚。 一般地，如果数列后一个数总比前一个数大к（等差数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。 例1：用黑白两种颜色的正方形纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案如下： □            □  □              □  □  □ □■□        □■□■□          □■□■□■□    …… □            □  □              □  □  □  (第1 个)      (第2个)              (第3个)        …… （1） 第4 个图案中有白色纸片___________张 （2） 第n个图案中有白色纸片___________张（用含n的代数式表示）。 解:数出图案的白色纸片张数如下: 图形序号 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 第n个 白纸张数 4 7 10 …… 有：7-4=3            10-7=3  …… 因为,后一个图案的白色纸片纸张数总比前一个图案的白色纸片张数大3,即k=3。 所以,第4个图案有白色纸片10+3=13张。 第n个图案有白色纸片3n+a张,而当n=1时,3n+a=4,解得，a=1.即第n个图案有白色纸片(3n+1)张。 检验：当n=2时,3n+1=3×2+1=7；当n=3时,3n+1=3×3+1=10 均满足题意。 所以第n个图案有白色纸片(3n+1)张。 例2：用长度相等的火柴拼成下面由三角形组成的图形： （1）          （2）          （3）              （4） 第n个图形需要火柴的根数是________根（用含n的代数式表示）。[2] 解：依次数出火柴棒的根数如下： 图形序号 第1个 第2个 第3个 第4个 …… 第n个 火柴根数 3 5 7 9 …… 因为有:    5-3=2,  7-5=2,  9-7=2 ……    所以，k=2. 因此猜想第n个图案的火柴棒根数为(2n+a).当n=1时, 2n+a=2+a=3, 解得a=1. 检验: 当n=2时,2n+1=2×2+1=5. 满足题意。 所以,第n个图形需要火柴的根数是(2n+1)根。 试一试: 1．如下图,正方形通过多次划分,得到若干个正方形,请你通过观察猜想,第n次划分图中得到的正方开形的个数为_________(用含n的代数式表示)         第1次              第2次              第3次 参考: 图形序号 第一次 第二次 第三次 …… 第n次 正方形个数 5 9 13 …… 4n+1 所以,第个n次划分图中得到的正方形的个数为(4n+1)。     2．下列每个图案是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）n(n ﹥1)有盆花，每个图案花盆的总数是s。 ※ ※                    ※    ※  ※              ※    ※                ※        ※      …… ※  ※        ※    ※    ※          ※  ※  ※  ※ n=2，s=3          n=3，s=6                  n=4，s=9 按此规律推断，s与n的关系式是__________。[3] 参考答案: n 2 3 4 5 …… n s 3 6 9 12 …… 3n-3 所以 ,  S=3n-3. 二、等比型(kn+a型） 问题：如图是一幅“五角星图”，第一行有1 个，第二行有2个，第三行有4 个……,你是否发现五角星的排列规律?猜猜看,第十行有_____个五角星。 ★                                                                    ★          ★                                                                                                                                                                                        ★  ★            ★  ★                                                                                  ★  ★    ★  ★    ★  ★    ★  ★                                                                        ★ ★  ★ ★  ★ ★  ★ ★  ★ ★  ★ ★  ★ ★  ★ ★ 分析:先找到五角星与行数之间的关系如下: 行数 第1行 第2行 第3行 第4行 …… 第n行 五角星数 1 2 4 8 …… 此时,差不再相等;而有: 2÷1=2,  4÷2=2 ,  8÷4=2  …… 也就是说,后一行的五角星数总是前一行的五角星数的2倍. 请观察:      （1）20=1  即  2(1-1)=1 （2）21=2  即  2(2-1)=2 （3）22=4  即  2(3-1)=4 （4）23=8  即  2(4-1)=8 所以,第n行的五角星数为:2n-1个。 一般地，如果数列后一个数总是前一个数的к倍（等比数列），则第n个数为kn+a(a为待定的已知数)。 例3：下面规律排列的数：1，2，4，8，16，……第2007个数应是_______. 解:列表 序号 1 2 3 4 5 …… n 序列数 1 2 4 8 16 ……   有:      2÷1=2  4÷2=2  8÷4=2  16÷8=2  ……        即k=2.        于是,猜想第n个数为2n+a ,而当n=1时, kn+a=2n+a=2a+1=1.解得, a=-1. 即第n个数为2n-1. 检验:当n=2时,2n-1=22-1=2,当n=3时,2n-1 =23-1=22=4,均能成立. 因此,第n个数为2n-1.  当n=2007时,2n-1=22007-1=22006.  所以,第2007个数应为22006。 例4：有人编了条手机短信：“鬼节快到了，壹福、贰禄、叁寿、伍财、陆路妖怪都来保佑你。你要转给六个好友，两天后定有好运临头，如删除或是不发背运一年！发吧，不发被逼哦！”发给了一个朋友，这位朋友不想被诅咒，于是就转发给了6个朋友，这6个人又各转发给6位朋友……假设收到此短信的人都各转发给6 位朋友;那么,第一次转发共发6条,第二次转发共转发6×6=36条,第三次转发共发36×6=216,第10次转发共发______条短信,第n次呢? 解:列表表示转发次数与短信条数的关系如下: 转发次数 1 2 3 4 …… n 短信条数 6 36 216 216×6 …… 有:      36÷6=6    216÷6=6    (216×6)÷6=6……即=6, 于是猜想第n次共转发6n+a条短信,当n=1时, 6n+a=61+a=6,解得, a=0.即第n次转发的短信条数共6n条. 检验:当n=2时, 62 =36;当n=3时, 63 =216符合. 所以,第n次转发的短信条数共为6n条.当n=10时，6n =610=60466176条，第十次转发共发60466176条。 三、平方型(n2+a型) 问题：如图，第（1）个图形的点数是1 ，第（2）个图形的点数是1+3 ，第（3）个图形的点数是1+3+5 ，……那么第(n)个图形的点数是______________。                                               ●                                                                                                                                                                                                                                                    ●                ●●●         ●              ●●●            ●●●●●       （1）              （2）                （3）      ……                      分析:数出图形点数如下表 序号 第1个 第2个 第3个 第4个 …… N 点数 1 1+3=4 1+3+5=9 1+3+5+7=16 …… 根据等差型，得到第个图的点数为：1+3+5+…+(2n-1) 请看,(1):12=1      (2):22=4      (3):32=9      (4):42=16 因此，猜想（n）：1+3+5+…+(2n-1)=n2 证明:1+3+5+7+…+(2n-1)=1+3+5+…+(2n-5)+(2n-3)+(2n-1) =[(1-1)+(3-3)+(5-5)+…]+(2n+2n+…2n)                                                   0.5n 个2n                       =2n×0.5n                       =n2 所以，第(n)个图形的点数是n2点。 观察数列1，4，9，16,……,4比1多3,9比4多5,16比9多7,…… 又观察数列0，3，8，15，24……,3比0多3,8比3多5,15比8多7,……且有:  (1)12-1=0,  (2)22-1=3,  (3)32-1=8,    (4)42-1=15,……猜想第n个数为n2-1。 一般地,如果数列后一个数与它的前一个差逐渐大2,那么,可猜想这排列的第n个为n2+a(a为待定的已知数). 例5:如图是由一个三角形，连结各边的等分点而得到的小三角形，根据下列图形的变化规律，求得第n个图形中共有_________个最小三角形.           (1)                  (2)                  (3)      …… 解:数出图中的小三角形,第一个图有1个小三角形,第二个图有4个小三角形,第三个图有9个小三角形,可以画出第四个图形数出有16个小三角形……观察,有:4-1=3,9-4=5,16-9=7,……3,5,7,是一列相差2的奇数,于是猜想第n个图形中共有(n2+a)个最小三角形.当n=1时, n2+a=1,解得,a=0.当n=2时,当n=3时经检验成立,所以第n个图形有n2个最小三角形。 试一试: 下表是由自然数组成的金字塔式的排列,先观察其规律,再猜测第25行右往左第26个数是_______;第38行有___________个数. [4] 1 2  3  4 5  6  7  8  9 10  11  12  13  14  15  16 17  18  19  20  21  22  23  24  25 …… 分析：通过观察数表发现：第二行最右边数4=22，第三行最右边数9=32，第四行最右边数16=42，第五行最右边数25=52，从而可知, 第n行最右边数为n2.其实,本题最右和最左都满足平方型。 参考答案: 第n行最右边的数必为n2,从而第25行最右边数秘为252=625,向左第26个数为600,第38行最右边数为382,第37行最右数为372,其差为382-372=75,所以第38行数目个数为75个。 四、大胆猜想型 问题: 借助计算器在草稿上计算下列式子: , , ,仔细观察结果。试猜想 =_______  [5] 分析：在草稿上算出：=5, =55 , =555，……,观察抽象出计算结果各位上的数字都是5,且其位数与左边两个幂的底数位数都相同,所以猜想 = 55…5 。像这样的题型就得仔细观察并抽象出特征，大胆的猜想出其结论。 一般地，在初中阶段大多猜想结论是无法证明的，但我们可以仔细的观察并抽象出特征，从而大胆的猜想出其结论。 例6：请观察思考下列计算过程： 因为112=121 ，所以， =11； 同样，：因为，1112=12321，所以， =111；…… 由此猜想: =________________。[6] 解:观察并抽象出被开方数为自然数先升高后降低,其结果每位数都是1,共有位数和最大的自然数相同,从而大胆猜想=1111111112. 试一试: 1.研究下列等式,你会发现什么规律? (1)1×3+1=4=22  (2)2×4+1=9=32  (3)3×5+1=16=42  (4)4×6+1=25=52 请你将第n个等式用公式表示为______________________. 参考答案; n(n+2)+1=(n+1)2 通过这种训练，进一步确信了猜想作为一种思维思维方法的正确性。同时，也进一步激发了学生对猜想思维方法实践的兴趣。 由上看出，凡考察猜想方面的问题，均先要给出一些具体有限的事物，通过对这些具体有限的事物进行观察，并抽象出特征，观察问题不但要深刻、透彻；而且角度大都不是唯一的，除了上述个绍的方法外，对于每个题目大都有其特殊性，根据这种特殊性往往也能方便、快捷地达到所要完成的效果。例如对例2除上述解答外，还可以从给出图形中观察出另一特征：每两个相邻三角形有一个公共边，且公共边的条数比三角形的个数少1，因此猜想出第n个图形的火柴棒数是3n-（n-1）=2n+1。又如例5中的数列1、4、9、16……可直接扑看出:12=1、22=4、32=9、42=16……,因此抽象出第n个数是n2. 参考文献： [1].周安平.《名校中考》数学.[M]西南师范大学出版社,贵州人民出版社.2006年1月.第一版(112) [2].黔东南州2002年高中，五年制专科，中师招生统一考试数学试题。 [3].(山西省2000年中考题)杨玉山.探索与猜想,《初中数学教与学》[J].2001年10月.2001年第10期(30-31)。 [4].刘少平.探索规律型型问题例析,《数理化解题研究》[J].2004年2月.2004年第3期(14)。 [5].2004年黔东南州中考数学试题。2005年河北中考数学试题。 [6].苏波.《课课练》九年级数学.[M]吉林大学出版社,吉林音像出版社.2006年6月.第一版。(12)。