高考数学函数的值域反函数

高考数学函数的值域反函数 函数的值域、反函数、函数的单调性和奇偶性 一. 教学: 函数的值域、反函数、函数的单调性和奇偶性 二. 教学要求: 1. 掌握求函数值域的常用方法。 2. 了解反函数概念及互为反函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 3. 了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法，会求较简单的复合函数的单调区间。 4. 了解函数奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的奇偶性，掌握奇偶函数图象的对称性。 三. 知识串讲: 1. 求函数值域或最值的常用方法有配方法，判别式法，换元法，不等式法，利用函数的性质及图象法等。 2. 反函数 ()定义:如果确定函数的映射:是从定义域到值域的一1ByfxfAAB,,() ,,11一映射，那么该映射的逆映射:所确定的函数叫做函数fBAxfyy,,,() ,1fxyfx()()的反函数，习惯上记作。互为反函数的两个函数定义域与值域互, ,,11换，即，，;，，。且，yfxxAyByfxxByAffxxxB,,,,,,,,()()[()]() ,1ffxxxA[()](),,。 (2)如何求反函数,什么样的函数才有反函数, 一一对应的函数有反函数。 先求的值域(即反函数的定义域)yfxB,() ,1由解出yfxxfy,,()() ,1再换:得反函数()xyyfxxB,(),, ,1()与其反函数的图象关于直线对称。3fxfxyx()(), -1y=f (x) y y=x y=f(x) x 0 ,1()与具有相同单调性，具有相同奇函数性。4fxfx()() 3. 函数的单调性 y=f(x) y y y=f(x) x a a 0 x x x x x0 12b 12b 对任意，，且xxabxx,,[]1212 fxfxfx()()()，则为增函数,,12若总有,fxfxfx()()()，则为减函数,12, 此时为，上的单调函数，，为单调区间fxabab()[][] (1)如何用定义证明函数的单调性, (2)如何讨论复合函数y=f[g(x)]的单调性, 设，则ugxfu,()() 当，时，与的单调性相同时，;xabufuy,,[)() ufuy与的单调性相反时，。(), 4. 函数的奇偶性 y y y=f(x) y=f(x) y y -x x 0 x 0 x -x x y 设定义在关于原点对称的区间上，若总有yfx,() fxfxfx()()(),,,，则为奇函数，其图象关于原点对称, ,fxfxfxy()()(),,，则为偶函数，其图象关于轴对称, (1)如何判断函数的奇偶性, 首先看函数的定义域是否关于原点对称(这是函数具有奇偶性的必要条件)，再利用定义或 者定义的等价形式判断。 如:为奇函数fxfxfxfxfx()()()()(),,,,,，,,0 (2)若两个定义在相同定义域上的奇函数或偶函数，则 奇×奇=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶，奇，奇=奇，偶，偶=偶 (3)构造奇、偶函数:设f(x)是定义在R上的任意函数，则 Fxfxfx()()(),，,是偶函数 Gxfxfx()()(),,,是奇函数 ()既是奇函数又是偶函数(定义域关于原点对称)40fxfx()(),, ()为奇函数且，则5000fxDf()(),, 【典型例】 1x,x2设，求函数的最大值和最小值。024325,,,,,，xy 例1. 111xxx22y,,,,，,,，()()232523222 解: x？02124,,？,,x 1x可知当时，即时，233,,,xylog2min2 5x当即时，210,,,xymax2 y x 23 4 0 1 注:利用二次函数的性质求最值，是最常用的方法之一。 求函数的值域。yxx,,，,23134 例2. 解:(换元法) 设()txt,,,1340 213,t？,x4 17122？,,，，,,,，,ytttt()140()222 ？,,,当即时txy134max ？,？,,,yy44函数的值域为，(] y 4 t 1 0 点评:用换元法求函数值域时，必须指出所换元的取值范围，它是新函数的定义域。 2xx,求函数y,21xx,， 例3. 的值域及最值。 解:(判别式法) 2由原式得()()yxyxy,，,，,110 ？y,1时，方程无解 ？,,yxR1，又 2？,,,,,,,()()1410yyy 1解得,,,y13 11,y1又，及时，yyx,,,,,1,321()y,2 1？,,,y1为函数值域3 11且时，，而无最大值xy,,,min23 注:利用判别式法求最值时，注意x的取值。 xx,ee,求函数的值域。y,xx,ee， 例4. 2x11e,，y2x原函数式化为y,,,e,02x1,ye，1 解法一: (看做关于的方程)，即，xyy,,,,,,1111() 2xe,122xy,,,？，,e11122xxee，，11 解法二: 2？,0,22xe，1 2？,,,11,12xe，1 即，y,,()11 2x 点评:方法一为反解x法，这里并没有将x解出来，而是在反解的过程中用e>0的 1，y性质确定，从而解出的取值范围;解法二为部分分式法。,0y1,y 2xx,，25求函数的值域。y,log2x,1 例5. 解:先求函数的定义域 22xxx,，25(),，14由,,0xx,1,1 ？,x1 2225()1444xx,，x,，设u,,,,，()()x1,,21x,4x,1x,1x,1x,1 ？,u4 4当且仅当，即时“”成立x,,1x,,3x,1 ？,logu22 ？，,函数的值域为，[)2 注:要注意函数定义域的限制，由于x>1即x,1>0，因此可利用平均值定理求u的取值范 围，同时要注意等号成立的条件。 230xx，,，, ,函数y,xx，,,301，的最大值是。, ,,，,xx51，, 例6. 作图象，可见，时，xy,,14max 解: y 4 3 x 0 -1 5 -2 1 211x，已知，其中。fx(),a,xa，2 例7. (1)求其反函数;(2)若这个函数的图象关于y=x对称，求a的值。 21x，()由1y,,，,，,,,,xyayxyxay2121()xa， 解: 1,ay？,x()y,2y,2 ,ax1,1？,反函数为()fxx,()2x,2 ()由题意，的反函数是它本身2fx() 211x，,ax即，代入，得,xa,,,02xa，x,2 ,1fxfxfxyx()()(),,,的图象关于直线对称。 点评: lgx,1已知函数，求的值。fxeff()[()],10 例8. lgx由两边取以为底的对数yee, 解: lnylnlgyxx,,,10 ,1lnx？,fx()10 lg10又fee()10,, ,,11lne？,,,fffe[()]()101010 (，„„)logln.xxe,,27182e ,1由互为反函数的关系知求的值即求原来函数时，fffxf[()]()()1010, 解法二:自变 量x的值。 lglgx10故令efe,,()10 ,1？,？,xff101010[()] 显然解法二简单明了 2设，，()，求函数的反函数aafxxxxfx,,,，,,0111()log()()a 例9. ,1fx()和反函数的定义域。 ？fx()[)的定义域为，1，, 解: 2？，,,，,xx11[)， 2？,,，,,,，,当时，即，;ayxxy1100log()[)a 2当时，，即，01100,,,，,,,,,ayxxylog()(]a y22由yxxxxa,，,,，,,,,log()111a 12,y,,,,,,xxa又122xx，,1 yy,aa，,,，,,,12/2得x2 ,xxaa，,1？,fxfx()()的反函数为2 其定义域为:当时，;时，，axax,,，,,,,,,10010[)(] 2证明函数在，)上是增函数。fxx()[,,，,11 例10. 证明:方法一:用定义证明 任取，则xx,,121 22xx,2221fxfxxx()(),,,,,,11212122xx,，,1121 ？xx,,121 22？,,，,,xxxxxx()()0212121 22又xx,，,,11021 于是，即fxfxfxfx()()()(),,,02121 所以，在，)上是增函数fx()[1，, 2方法二:设，则uxfuu,,,1() 2又，)时，为增函数xux,，,,,[11 又也为增函数fuu(), 因此也为增函数fx() 方法三:求导数法 1x22fxx'()()'()',,,1x,,12221x,x,1 ？xxfx,？,,110时'() 又时有定义xfx,1() ？,,，,在，上，为增函数)()fx 2求函数的单调区间。fxxx()(log)log,，，111 22 例11. 设，则()uxux,,,log01 2 解: 1322fuuuu()(),，，,，，124 11则在，时为减函数，，时为增函数fuuu()(][),,,,,,，,22 f(u) u 0 12又uxx,,,,,log122 1uxx,,,,,,log02122 ？,,,？,xufuy2时，，() 02,,,,？,xufuy时，，() ？，,fx()][)在(，上是减函数，在，上是增函数022 例12. 判断下列函数的奇偶性 xx2()()(，)112fxxxfx()log()(),，，,，,,aa01x2a,1 解:(1)函数的定义域是一切实数 2又fxxx()lg(),,,，，1 ,112xxfx,lglglg()(),,,，，,,122xxxx,,，1，，1 ？fx()为奇函数 22方法二:fxfxxxxx()()lg()()lg，,,，，,，，,,1110 ？,,,fxfx()() ？fx()为奇函数 ()函数定义域为且20xRx,, xx3(令，，则，猜想为偶函数)afx,,2()()()()，,,,fffx11x2221, xxx,x由fxfx()()()(),,,，,,xx,2211a,a, xx()1xxxaxxa,0,，,，,，,xxxx22111a,a,a, ？为偶函数 注:有时可将判断奇偶性的公式等价变形 fx(),如()fxfxfxfx()()()(),,,,,，,,010,,,fx()fx() fx(),fxfxfxfx()()()(),,,,,,,010,,()fx()fx() 22已知，当为何值时，为奇函数,fxmxmxnmnfx()()(),(),,，,，，112 例13. fxfxfx()()()为奇函数，则有,,, 解: 2222即对一切均成立()()()()()mxmxnmxmxnxR,，,，，,,,,,,，,112112 2m,,1,m,,10,？,,,n,,2n，,20,, 当，时，是奇函数mnfxx,,,,,,122() 当，时，，它既是奇函数，又是偶函数mnfx,,,,120() 已知是定义在，上的奇函数，且，若，，fxfab()[](),[],,,,111111 例14. fafb()()，ab，,00有恒成立。,ab， ()判断在，上是增函数还是减函数，并证明你的结论;111fx()[], 11()解不等式;2fxf()()，,2x,1 2()若，对所有，，，恒成立，求实数3211111fxmamxa()[][],,，,,,, m的 取值范围。 ()设且，，111xxxx,,,[]1212 解: 则，,,,x[]112 ？fx()是奇函数 fxfx()()，,12？,,，,,fxfxfxfx()()()()()xx,121212xx，,()12 fxfx()()，,12由题设知且,,,00xx12xx，,()12 fxfx()()，,12？()xx,,012xx，,()12 即fxfx()(),,012 ？,fxfx()()12 ？,fx()[]在，上是增函数11 11()在，上是增函数，故原不等式等价于211？fxfxf()[]()(),，,2x,1 2,23xx,,11,,0x，,,,x,12x,1,,311,,,,,x,,，,1x1,,,222,, 1,,,,1,1,,x,1或xx,,02,, 3？,,,x12 ()由()知，在，上是增函数，且311111fxf()[](),, ？,,fxf()()11 2要对所有，，，恒成立fxmamxa()[][],,，,,,,211111 2必有，恒成立fxmama()[],,,，,,12111max 2即，，恒成立mama,,,,2011[] 2令，对，时恒成立gaammaga()[](),,，,,,2110 ？gaa()是关于的一次函数 2,g(),,1020mm，,,,？只要,,,2g()10,,,，,20mm,, 解得或或mmm,,,,202 点评:在(3)中运用转换主元的方法，简化了解题方法。 【模拟试题】 一. 选择题 1y,11,,xx() 1. 函数的最大值是( ) 4534 5443 A. B. C. D. x2y,x21， 2. 函数的值域是( ) A. (0，3) B. (0，1) 1，，,(，)(，),,，,22:2 C. [) D. 2yxx,,，coscos1 3. 的值域为( ) 33[)，，,[]，3(，),,，,44 A. B. C. [1，3 ] D. 2fxxax(),,,23 4. 函数在区间[1，2]上存在反函数的充要条件是( ) a,,,(]，1a,，,[)2， A. B. a,[]12，a,,,，,(][)，，12: C. D. 2x,1y,3(),,,10x 5. 函数的反函数是( ) 11yxx,，,1log()yxx,,，,1log()3333 A. B. 11yxx,，,,1log()1yxx,,，,,1log()13333 C. D. ,1,,11fxx()log(),，1fx()[()][()]118，，,fafb2 6. 设是函数的反函数，若， fab()，的值为( ) log32 A. 1 B. 2 C. 3 D. agx(),2fxxax(),,，2x，1 7. 若与在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( ) ()(),1001，，:(，)(，,1001:] A. B. (，)01(，01] C. D. ,fxfx()()12,0,xxxxxx，(),121212 8. 已知f(x)是奇函数且对任意正实数恒有，则一定正确的是( ) ff()()35,,ff()(),,,35 A. B. ff()(),,53ff()(),,,35 C. D. 1,xfx()lg,1，x 9. 下面函数中，与函数有相同奇偶性的是( ) 021,y,xyxx,，，,||||113 A. B. 1,x11yx,，()1y,，x1，x221, C. D. 2GxFxxx()()log(),,，，1a,1a 10. 若a>0，，F(x)为偶函数，则的图象( ) A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x对称 二. 填空题 yxx,,,12 11. 函数的值域为________。 2,sinxy,2，sinx 12. 的值域为___________。 132yxx,,，22 13. 若函数的定义域和值域都是[1，b]，b>1，则b=________。 2log14yx,,log()222 14. 若函数的值域为[1，]，则它的定义域可以是_______(x>0)。 2yfx,()fxxx(),,2x,015. 已知是定义在R上的奇函数，当时，，则f(x)在R上表 达式为_________。 三. 解答题 1，axfx()lg,,,Ra，且2,bb，12，x 16. 设a,b，定义在区间()内的函数是奇函数。 (1)求b的取值范围; (2)讨论函数f(x)的单调性。 2fxxagxxax()||(),,,，，，21 17. 已知函数(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等。 (1)求a的值; fxgx()()， (2)求函数的单调递增区间; 4fngn()()10,,()45 (3)若n为正整数，证明。 【试题答案】 1331422uxxxxx,,,,,，,,，,111()()？,,0？fx()u3max244 1. D(令，， 4,3) 2. B 3. D 4. D 21x,1yxy,,,,,310，又知，，(]13 5. D(由，故选D) ,,,，111xababfxfafb()[()][()],,，，,,,2111222，则ab，,3 6. B(，故， fab()log，,,422) 7. D xxfxfxfx,,,？，,00，则在(，)()()()1212 8. D(不妨设上为增函数，又f(n) ？,,fx()()在，0,,,？,,,3535，ff()()为奇函数，上为增函数，又) 9. D 10. C 1y,,,(]，2 11. 1,,,y33 12. 12？yxxfbbb,,，,？,,()()1113，其对称轴为，，解得2 13. b=3() 24,,x 14. 2,xxx,,20(),fx(),,2,,,,xxx20(), 15. 222()14fxfxaxx()(),,,？, 16. 解析: 2？,,？,,aaa422又， 12,x11函数定义域为，,,,,0x12，x22 1？,b()0，2 12,x2()在，是减函数2fx()lglg()(),,,，1,bb12，xx12， 2(在，为减函数)？u,,，1(),bb12，x fga()()||001,,， 17. 解析:(1)由题意 又aa,？,01 2()2121fxgxxxx()()||，,,，，， 2当时，在，上单调递增xfxgxxx,，,，，,131()()[) 12当时，在，)上单调递增xfxgxxx,，,，，,12()()[1 2 1[),，,，fxgx()()，2 因此，函数的单调递增区间为 4fngn()()设，考查数列的变化规律CC,,10(){}nn5 (3) Cn，1解不等式,1Cn 423n，由上式化为C,,,010()1n5 13解得n,,,,37.422lg5 ？nNn,,得4， 于是，而„„CCCCCC,,,,,123445 44fngn()()325()()？,,,,0104 55 附:格式模板 所在单位 所属教研室 课 程 名 称 教 师 授 课 《******》教案(宋体二号，标题加粗) 一、课 程 性 质: (注:填公共基础必修课、公共基础选修课、专业基础必修课、 专业核心必修课、师范技能必修课、师范技能选修课) 二、总学时?学分: 三、课程类型:理论课( ) 实践(含实验)课( ) 四、学时分配:理论课( )学时 实践(含实验)课( )学时 五、授课专业、层次: 六、本课程的教学目的和要求: 七、本课程的教学重点、难点: 八、教材和参考: 《******》教案内容(宋体二号，标题加粗) 一、章节内容: (正文:宋体五号，标题加粗，18磅) 二、课 时: 三、教学目的: 四、教学重点与难点: 五、教学方法: 六、教学过程: 小结: 七、作业布置: 八、教具: 想要了解更多，请访问我的豆丁主页: