周期性函数分解的傅里叶级数

周期性函数分解的傅里叶级数 @周期性函数分解的傅里叶级数 周期性函数分解的傅里叶级数 周期电压、电流等都可以用一个周期函数表示，即f(t)?f(t?kt),k?0、1、2?式中T是 1、2? 周期函数的周期，且k?0、 如果给定的周期函数在有限的区间内，只有有限个第一类间断点和有限个极大值和极小值，那么就可以展开成一个收敛的级数(三角级数) 设给定的周期函数f(t)，则f(t)可展开成 f(t)?a0?(a1cos?t?b1sin?t)?(a2cos2?t?b2sin2?t)??? (akcosk?t?bksink?t)?a0??(akcosk?t?bksink?t)??(1) k?1? 上式中的系数，可按下列计算: 1a0?T ak? ? ?11?T01f(t)dt??2Tf(t)dtT2T2Tf(t)cosk?tdt?0T2?0??f(t)cosk?td(?t)(2) ?? f(t)cosk?td(?t)????? bk? ? ?112Tf(t)sink?tdt?0T2?0?? ?f(t)sink?td(?t)??f(t)sink?td(?t)?? 这些公式的对导，主要的依据是利用三角函数的定积分的特点。 设m.n是任意整数，则下列定积分成立: ?2? 0sinmxdx?0 2??2?0cosmxdx?0 ? ? ? ?2?02?0sinmxcosnxdx?0， m?n sinmxsinnxdx?0, m?n cosmxcosnxdx?0, m?n (sinmx)dx??, 202? 0?2?0(cosmx)2dx??? 这种特点陈为三角函数的正交性质。 案例来说，如果要确定系数a3，把式(1)两边各乘以cos3?t，并对 两边取定积分，有 1 ?2? 0f(t)cos3?td(?t)??a0cos3?td(?t)??a1cos?tcos3?td(?t)00 2?2?2? 002?2???b1sin?tcos3?td(?t)??a2cos2?tcos3?td(?t)??b2sin2?tcos3?td(?t)??0 以上式右边来看，利用三角函数定积分的公式，不难看出最后只剩下 包括a3的一项，故有: ?2? 0f(t)cos3?td(?t)?a3? 所以a1 3???2? 0f(t)cos3?td(?t) 特此结束推广到ak，有 a12? k???0f(t)cosk?td(?t) 同理，如果用sink?t去乘以式(1)的两边后再取积分，则可求得 b1 k???2? 0f(t)sink?td(?t) 至于a0，可以对式(1)两边就一个周期求定积分，得 ?T 0f(t)dt?a0T 从而有a?1 0T?T 0f(t)dt，故a0是f(t)在一个周期内的平均值。 2(方波的傅里叶级数展开式: 给定一个周期性信号f(t)，其波形如图所示，对一个周期性方波(矩形波) 求此信号f(t)，的傅里叶级数展开式 f(t) f(t)的表达式是 Vm f(t)?vTT m， 0?t?02T 2 2?t f(t)??vT m， 2?t?T -Vm 按式(2)，可求得所需要的个数,即 图1 方波 T a1?Tf(t)dt?1T ?2v1 0?mdt??2 T0T0T0(?vm)dt?0 a0?0，表示恒定分量为零，因为a0代表f(t)在一个周期内的波形 上下面积的代数平均值，因此当波形上下面积相等时，a0即为零。 2 ak?1 ??2? 0f(t)cosk?td(?t) 2?1?2??vmcosk?td(?t)??vmcosk?td(?t)? ????0??? 2v??m?cosk?td(?t)?0?0 bk? ? ? ?1??2?0f(t)sink?td(?t)2?1???vsink?td(?t)?vsink?td(?t)mm?????0???2vm? ??02v?1?sink?td(?t)?m??cosk?t???k?0? 2vm?1?cosk??k? 当k为偶数时， cosk??1 所以 bk?0 当k是奇数时，cosk???1 所以 bk? 由此求得， 2vm4v?2?m k?k? f(t)?4vm?11? sin?t?sin3?t?sin5?t??????35? 如果取上列展开式的三项，分别画出各自的曲线再相加，就 可得到如图所示的合成曲线。 傅里叶级数是一个无穷级数，因此把一个非正弦周期函数分 解为傅里叶级数后，从理论上讲，必须取无穷多项方能准确地 代表原函数。从实际运算来看，必须取有限的项数，因此就产 生了误差问。截取项数的多少，视要求而定。这里涉及到级数收敛的快慢问题。或者说，就是相续项数的比值大小的问题，如果级数收敛很快，只取级数前几项就够了，五次谐波一般可以略去。而像图1所示的矩形波(方波)其收敛速度比较慢。例如取?t? 则f(t)??2或t?T，44vm?11111??1???????? ??357911? T 4当取无穷项时，将得到f()?vm，这是准确值。但如果取到11次谐波，算出的结果约为 0.95vm。 3