向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇[1]
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍
(1)重心——中线的交点:重心将中线长度分成2:1;
(2)垂心——高线的交点:高线与对应边垂直;
(3)内心——角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等;
:外心到三角形各顶点的距离相等。 (4)外心——中垂线的交点(外接圆的圆心)
二、四心与向量的结合
O,ABC(1)是的重心. OA,OB,OC,0,
证法1:设 O(x,y),A(x,y),B(x,y),C(x,y)112233
xxx,,,123x,,(x,x),(x,x),(x,x),0,,1233 ,OA,OB,OC,0,,,yyy,,yyyyyy(,),(,),(,),0123123,,y,,3,
O,ABC是的重心. ,
A证法2:如图
OA,OB,OC?
,OA,2OD,0EO
AO,2OD?
A、O、DOAD三点共线,且分 ?
BDC:1 为2
O,ABC是的重心 ?
O,ABC(2)为的垂心. OA,OB,OB,OC,OC,OA,
证明:如图所示O是三角形ABC的垂心,BE垂直AC,AD垂直BC, D、E是垂足.
A,OB,ACE
O OA,OB,OB,OC,OB(OA,OC),OB,CA,0
BDC
OC,AB同理OA,BC,
O,ABC为的垂心 ,
b,ac(3)设,,是三角形的三条边长,O是ABC的内心
,ABCaOA,bOB,cOC,0,O为的内心.
ABACAB、AC?、证明:分别为方向上的单位向量, cb
ABAC,BAC平分, ,?cb
bcABAC),令 ,,,?AO,,(a,b,ccb
bcABAC() AO,,?a,b,ccb
化简得 (a,b,c)OA,bAB,cAC,0
aOA,bOB,cOC,0?
O,ABCOA,OB,OC(4)为的外心。 ,
,,,,,,,,,,,,,,,222O?ABCO?ABC已知是所在平面上一点,若,则是的外心( OAOBOC,,
C
B A
O
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,222222OOAOBOC,,OAOBOC,,【解析】 若,则,?,则OAOBOC,,
?ABC是的外心,如图。
典型例题:
A、B、COP例1:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足
,ABCP, ,则点的轨迹一定通过的( ) ,,,,0,,,OP,OA,,(AB,AC)
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
D、EBC、AC,ABC分析:如图所示,分别为边的A中点.
?AB,AC,2AD
E
OP,OA,2,AD ?
?OP,OA,AP BDC
?AP,2,AD
?AP//AD
,ABCCP点的轨迹一定通过的重心,即选. ?
A、B、CO例2:(03全国理4)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点P
ABAC,ABC满足, ,则点的轨迹一定通过的( B ) POP,OA,,(,),,,,0,,,
ABAC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
ABAC分析:?、分别为方向上的单位向量, AB、AC
ABAC
ABAC,BAC,平分, ?
ABAC
,ABC点的轨迹一定通过的内心,即选. PB?
A、B、CO例3:是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点P满足
ABAC,ABC, ,则点P的轨迹一定通过的OP,OA,,(,),,,,0,,,
ABcosBACcosC
( )
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
分析:如图所示AD垂直BC,BE垂直AC, D、E是垂足. AABAC(,) ,BCEABcosBACcosC
AB,BCAC,BC,=
ABcosBACcosCBDC,ABBCcosBACBCcosC
,=
ABcosBACcosC
,BCBC=+=0
,ABCPD点的轨迹一定通过的垂心,即选. ?
例、O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足
,,,,,,,,,,,,,,,,ABAC,,,,,,,, 则P的轨迹一定通过?ABC的( )( OPOA,,,,,,,,,()[0,).
||||ABAC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ABACABAC,,,,,,,,,,,,,,,,分析 已知等式即,设,显然AP,,,()AEAF,,,
||||ABAC||||ABAC
,,,,,,,,
AP都是单位向量,以二者为邻边构造平行四边形,则结果为菱形,故为AEAF,
,ABC的平分线,选( B
练习:
A、B、C,ABC1(已知三个顶点及平面内一点,满足,若实PPA,PB,PC,0,,数满足:,则的值为( ) AB,AC,,AP
3A(2 B( C(3 D(6 2
,ABC2(若的外接圆的圆心为O,半径为1,,则( ) OA,OB,OC,0OA,OB,
11A( B(0 C(1 D( ,22
O,ABC,ABC3(点在内部且满足,则面积与凹四边形OA,2OB,2OC,0
ABOC面积之比是( )
354A(0 B( C( D( 243
,ABC,ABCH4(的外接圆的圆心为O,若,则是的( ) OH,OA,OB,OC
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
222A、B、CO 5(是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若 OA,BC,OB
222O,ABC,则是的( ) ,CA,OC,AB
A(外心 B(内心 C(重心 D(垂心
,ABC6(的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,, OH,m(OA,OB,OC)则实数m =
????ABACABAC1???7((06陕西)已知非零向量AB与AC满足( + )?BC=0且 ? = , 则????2|AB||AC||AB||AC|?ABC为( )
A(三边均不相等的三角形 B(直角三角形
C(等腰非等边三角形 D(等边三角形
2A、B、C,ABC8(已知三个顶点,若,则AB,AB,AC,AB,CB,BC,CA,ABC为( )
A(等腰三角形 B(等腰直角三角形
C(直角三角形 D(既非等腰又非直角三角形
练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C