多项方程式多项多项方程式方程式化学方程式快乐方程式

多项方程式多项多项方程式方程式化学方程式快乐方程式 3-5多項方程式 by幸鵑老師 2一. 多項方程式,為整數,若的兩根,1,設a,0,b,0a,bax，bx，31,01.次方程式,設是次多項式, 為相異的整數,則數對 f(x)(a,b),___________nn 則稱方程式為次方程式。 f(x),0n 若,則稱為方程式的一個根。 f(,),0f(x),0, 2.實係數次方程式的實根可用圖形交點來解 nfx()0, 釋, 32一般的次多項式函數圖形是一條平滑的連續曲線。,2,設是方程式的三根,n,,,,,3x,5x，10x,4,0 ( , () )xfx若該曲線與軸相交於點, 則下列何者正確,,,,, x00 51012，，,,，，,? ? ,,,,,,,,,則稱坐標為方程式的一個根。 xf(x),033 35111522234，，,,? ? ,，,，,,,若該曲線與軸不相交,則稱方程式無實根。f(x),0x,,,29 55545(，,)(，,)(，,),? ,,,,,,3333 3.根與係數的關係, 1?二次方程式根與係數的關係, 2f(x),ax，bx，c,0若為一個二次多項式, b,,,，,,,,a且,,,為其二根, 則。 , c,,,,,a, 2?三次方程式根與係數的關係, 32,,,,,,3,設是方程式的三根,則,x,2x，4x，5,0 32f(x),ax，bx，cx，d,0若為一個三次多項式, 1(1,,)(1,,)(1,,),________? b,,,,，，,,,a,2(2，,)(2，,)(2，,),________? c,,,,,,,,,,,,且為其三根,則。 ，，,,a, d,3,,,,,(,，,)(,，,)(,，,),________? ,a, 1 3-5多項方程式 by幸鵑老師 32,4,設方程式有兩根互為相反數, x，ax,2x,6,0 求方程式的解及的值。 a 432有三重根為-2,,7,設方程式2x，9x，ax，bx，c,0 求。 (a,b,c),________ 32 ,5,設方程式的三根成等差數列,x，6x，4x，k,0 求值。 k 32,6,設方程式的三實根成等比數2x,13x,26x，c,0 c列,求值。 2 3-5多項方程式 by幸鵑老師 432,8,設方程式有三重根,求。 a2920240xxaxx，，,,, 二. 代數基本定理 1.代數基本定理, 每一個次方程式,只要,就至少有一個複數根。nn,1 推論,次方程式恰有個複數根。(重根記作個根)nnkk 2.有理根共軛,設為一個有理係數次方程式,f(x),0n 32a，bc,9,設是方程式的三根, 若已知為的一根,其中, ,,,,,f(x),0a,b,c,Q2x,x，3x，5,0c,Q a,bc試求以為三根的新方程式。 則為方程式的另一根。 2,，1, 2,，1, 2,，1 3.虛根共軛, 設f(x),0為一個實係數次方程式, n 為的一根,其中, 若已知f(x),0a,b,c,Ra，bi 則為方程式的另一根。 a,bi 推論,實係數次方程式之複數根必出現偶數次。 n (0個、2個、4個…..,不可能奇數個) 2f(x),2kx，(k,1)x,5 ,10,設,k,R,k,0,若 f(3,4i),2i,9,則f(3，4i),________ 3 3-5多項方程式 by幸鵑老師 。 的一根,則a，b,___________ 432,11,試求方程式的解。 x，4x，x,4x，1,0 422,14,,是方程式 a,b,R2x,17x，53x，ax，b,03,2i 的一個複數根,求其他三根為________。 5432,12,試求方程式的解。 x,2x,5x,5x,2x，1,0 422 ,15,a,b,R,實係數方程式2x,17x，53x，ax，b,0 1，ai, b,2i有兩虛根,則下列何者正確,,,,, 123 ? ? ? a,2b,,1k,1 345?實根為 ?此方程式無實根。 2 422,1a,b,13,為有理數,且是方程式 x,8x，ax，b,0 4 3-5多項方程式 by幸鵑老師 5 3-5多項方程式 by幸鵑老師 12三. 勘根定理 ? ?f(1,i),0f(2，i),0 3勘根定理,設為一實係數次方程式,,?沒有實數滿足 f(x),0a,b,Rf(x),xnx 34f(x),0若,則之間至少有一個實?沒有實數滿足 f(a),f(b),0a,bx 5根。 ?若且,則 f(0),0f(2),0f(4),0,16,設為實係數三次多項式,若已知, f(x)f(2，i),0 的函數圖形與軸有幾個交點,___ 則y,f(x)x ,20,設為實係數方程式,則下列何者正確,f(x),0 1?若,則區間必無實根 0,f(1),f(2)(1,2),17,設為實係數四次多項式,若已知,f(x)f(3,i),0 2?若,則區間必有實根 f(1),0,f(2)(1,2) 3且,則的函數圖形與軸?若,則區間必無實根 f(5),0, f(10),0y,f(x)f(1),f(2),0x(1,2) 4有幾個交點,___ ?若區間有實根,則 (1,2)f(1),f(2),0 5?若區間無實根,則f(1),f(2),0 (1,2) ,18,設f(x)為實係數三次多項式,若已知f(0),0, ,21,設f(x)為實係數多項式,和是兩個相異的實數,mn f(2),0, f(5),0 ,則y,f(x)的函數圖形與軸有x 則下列何者正確,,,,, 幾個交點,___ 1m,?f(m)f(n),0f(x),0若,則在n之間恰有一實根 2m,?若f(m)f(n),0,則f(x),0在n之間恰有一實根 3m,f(x)f(1，i),0f(m)f(n),0f(x),0,19,設為實係數三次多項式,若已知,?若,則在n間至少有一實根 4m,f(m)f(n),0f(x),0則下列哪些敘述是正確的,,,,, ?若,則在n之間沒有實根 6 3-5多項方程式 by幸鵑老師 23是唯一的實根 ?P(x),2 5m,?若在間至少有一實根,則f(x),0f(m)f(n),0n 3 ?不能被整除 P(x)(x,4) 4 ?一定有小於3的實數 P(x),0 5 ?除以的餘式也是2 P(x)(x，3)(x,3) 32f(x),2x,7x，x，9,22,設,則在下列哪些區f(x),0 域內至少有一根?,,,, 123?-1與0之間 ?0與1之間 ?1與2之間 45?2與3之間 ?3與4之間 2fxkxkxkRk()2(1)5,,0,，,,,, ,24,設,若f(x),0 在0與1、-1與-2之間各有一實根,求的範圍。a P(x) ,23,設是一個五次實係數多項式。 若P(x) 除以的餘式是2, x,3 且商Q(x)是一個係數均為正數的多項式, 則下列何者正確, 21fxaxaaRa()2(25),,0,,，,,P(x),0Q(x),0fx()0, ?與有共同的實根 類,設,若方程式有 7 3-5多項方程式 by幸鵑老師 一根在-2與-1之間,求的範圍。 a 8 3-5多項方程式 by幸鵑老師 ,25,, f(x),(x,2)(x,4)(x,6)，(x,3)(x,5)(x,7),0 23(x，x，1)，1,0則下列哪兩個整數之間有此方程式的實根, 有幾個相異實數解。,28,試問方程式 123 ?2與3之間 ?3與4之間 ?4與5之間 45?5與6之間 ?6與7之間 123,29,設, f(x),，，,1,26,fxxaxbxbxcxcxa()()()()()()()0,,,，,,，,,,x,1x,2x,3 的正根有幾個?________ f(x),0若,且有兩實根且,試比較,,,,,,abc,, 的大小。 abc,,,,,, 5432fxxxxxx()56138310,,，,，，,,27,設 5432gxxxxxx()51628310,，,,,， 試找出fx()0,與gx()0,兩方程式所有共同實根 的位置,它們分別是在哪兩個相鄰整數之間, 9 3-5多項方程式 by幸鵑老師 3f(x),x,2x,1 , ,31,設a四. 正數的正次方根 試証在1,2之間必存在一實數使得。ancf(c),c n1.設,是不小於2的正整數,所有滿足的nxa,a,0 。 解叫做的次方根,其中的正實數解恰有一個,an na的正次方根,記做。 稱an nnnn12aa,02. 滿足下列兩個條件,? ?aa,，， ,30,設是一個固定的正數, a n試証,恰有一個正實根。 xa, 10