圆锥曲线中存在点关于直线对称问题

得到下面的第二种通法，不过首先说明以下两个问题: o1弦中点位置问题 椭圆 双曲线 抛物线 弦中点在内部 弦中点在?(交点在同一支上) 弦中点在抛物线“内部” 或?(交点不在同一支上) o2范围问题 22xy椭圆 ， =1 双曲线 抛物线 22ab M(x，y)为中点，则 M(x，y)为中点，则 M(x，y)为中点，则 000000 222222xyxyxy2 ， <1 , >1或 , <0 y,2px<0 (p>0) 222222ababab 2 (焦点在x轴上) y，2px<0 (p>0) 2222yxyx2 , >1或 , <0 x,2py<0 (p>0) 2222abab 2 (焦点在y轴上) x，2py<0 (p>0) 在此基础上用第二种通法来解例1: 22已知椭圆C:3x，4y=12,试确定m的取值范围，使得对于直线l:y=4x，m，椭圆C上有不同两点关 于这条直线对称. 解:设存在两点A(x,y)、B(x,y)关于l对称，中点为C(x,y)，则 1122223x，4y=12, 11 ,y，x)y3(x3x11212223x，4y=12, 得 =, =, =, , 224y44(yx,x，y)1212 ? y=3x. 联立y=4x，m,解的x=,m,y=,3m, ?M在椭圆内部， 22(,m)(,3m)213 213 ? ， <1,即, 0， 2aa 1,a13即 ,4 >0，a> . 22a4a 这种方法巧之处在于利用抛物线方程的一次式设点，利用斜率和中点关系求出两根之和、两根之积， 构造方程，利用?求出参数范围. 当然，不管是两种通法还是针对抛物线的特殊法，都无非紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及 中点问题，不过在有关范围关系式的产生上有差别.