§ 2 函数的幂级数展开

§ 2 函数的幂级数展开 ? 2 函数的幂级数展开 (一) 教学目的: 掌握泰勒级数和麦克劳林级数展开，初等函数的幂级数展开(熟记一些初等函数的幂级数展开式. (二) 教学内容: 泰勒级数和麦克劳林级数展开式的定义;五种基本初等函数的幂级数展开式( 基本要求: 掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，五种基本初等函数的幂级数展开( (1) (2) 学会用逐项求积和逐项求导的方法展开初等函数，并利用它们作间接展开( (三) 教学建议: 要求学生必须掌握泰勒级数和麦克劳林展开式，并利用五种基本初等函数的幂(1) 级数展开某些初等函数或作间接展开( (2) 对较好学生可布置利用逐项求导和逐项求积的方法展开初等函数的习题 Taylor级数 x 设函数在点有任意阶导数. f(x)0 (k)nf(x)k0f(x),(x,x)，R(x),Taylor公式: ,n0k!,0k ()n,,f(x)f(x)2n00,,f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)R(x)，. n000002!n! R(x)余项的形式: n nR(x)Peano型余项: , ，，,o(x,x)n0 ()nx ( 只要求在点的某邻域内有阶导数，存在 ) f(x)n,100 (n，1),f()n，1,(x,x), ,R(x)xLagrange型余项: 在与之间. x0n0(n，1)! (n，1)，，fx，,(x,x)n，100,(x,x), 0R(x) 或 . ,,,10n(n，1)! xf(x)积分型余项: 当函数在点的某邻域内有阶连续导数时, 有 n，10 x1(n，1)nR(x) . ,f(t)(x,t)dtn,x0n! Cauchy余项: 在上述积分型余项的条件下, 有Cauchy余项 1(n，1)nn，1R(x) . ，，,fx，,(x,x)(1,,)(x,x), 0,,,1n000n! x特别地，时，Cauchy余项为 ,00 1(n，1)nR(x) 在与之间. x,f(,)(x,,)x, ,0nn! Taylor公式的项数无限增多时, 得 ()n,,f(x)f(x)2n00,f(x)，f(x)(x,x)，(x,x)，？，(x,x)，？, 000002!n! (n),f(x)n0(x,x) , ,0n!n0, x自然会有以下问题: 对于在点无限次可导的函数, 在的定义域内或在f(x)f(x)0 x点的某邻域内, 函数和其Taylor级数是否相等呢? 回答是否定的. f(x)0 n!1(n)f(x),, 例1 函数在点 无限次可微. 求得 f(x),x,0n，1,x(1)1,x (n)( x,1 ), f(0),n! . 其Taylor级数为 ,n2nx . 1，x，x，？，x，？,,n,0 ,nx该幂级数的收敛域为. 仅在区间内有=. 而在其他点并不相等, ( ,1 , 1 )( ,1 , 1 )f(x),n,0 因为级数发散. 那么, 在Taylor级数的收敛点, 是否必有f(x)和其Taylor级数相等呢 ? 回答也是 否定的. 1,,2x,(n)e , x,0 ,f(0),0.f(x), 例2 函数 在点 无限次可导且有，因此x,0, ,0 , x,0 ., ( ,, , ，, )其Taylor级数，在内处处收敛 . 但除了点 ,0 f(x)外, 函数和其Taylor级数并不相等. x,0 ,n,a(x,x)x另一方面,由(和函数的性质)知:在点的某邻域内倘有, 则f(x),n00,n0 ,na(x,x)x在点无限次可导且级数必为函数 f(x),n00,n0 x在点的Taylor级数. f(x)0 综上 , 我们有如下结论: xx(1) 对于在点无限次可导的函数, 其Taylor级数可能除点外均发散; x,f(x)00 x参阅 复旦大学编《分析》P90第9题 ); 即便在点的某邻域内其Taylor级数0收敛, 和函数也未必就是. 由此可见, 不同的函数可能会有完全相同的Taylor级数. f(x) ,na(x,x)x(2) 若幂级数在点的某邻域内收敛于函数, 则该幂级数就是f(x),n00,n0 x函数在点的Taylor级数. f(x)0 (x,x)x于是 , 为把函数在点的某邻域内表示为关于的幂级数，我们只能考f(x)00 虑其Taylor级数. 4. 可展条件: xx定理1 ( 必要条件 ) 函数,在点可展 , 在点有任意阶导数 . f(x)f(x)00 x定理2 ( 充要条件 ) 设函数在点有任意阶导数 . 则在区间 f(x)f(x)0 (x,r , x，r ) ( r,0 )内等于其Taylor级数( 即可展 )的充要条件是: 对00 ,x,:(x , r)R(x)limR(x),0, 有. 其中是Taylor公式中的余项. 0nn,,n 证 把函数展开为n阶Taylor公式, 有 f(x) |f(x),S(x)|,|R(x)| , ,,limS(x), , limR(x),0 . f(x)nnnn,,,,nn x定理3 ( 充分条件 ) 设函数在点有任意阶导数 , 且导函数所成函数列f(x)0 (n){f(x)}一致有界, 则函数可展. f(x) (n)|f(x)|,M证 利用Lagrange型余项 , 设 , 则有 n，1(n，1)|x,x|f(),n，10. |R(x)|,(x,x),M,,0 , ( n,, )n0(n，1)!(n，1)! 32,x,2x，x，3,例3 展开函数 f(x) 1) 按 幂; 2)按幂. ( x，1 )x (0)32(0)(0)f,x,2x，x，3 , f( 0 ),3 , f( ,1 ),,1 ; 解 2,,,f,3x,4x，1 , f( 0 ),1 , f( ,1 ),8 ; ,,,,,,, f,6x,4f( 0 ),,4 , f( ,1 ),,10 ; ,,,,,,,,,, f,6f( 0 ),6 , f( ,1 ),6 ; (4)(n)f,？,f,？,0. ,,,,,f(0)f(0)2323,所以 , 1). f(x),f(0)，f(0)x，x，x,3，x,2x，x2!3! P(x)可见 , 的多项式的Maclaurin展开式就是其本身. xn ,,,,,f(,1)f(,1)23, 2) f(x),f(,1)，f(,1)(x，1)，(x，1)，(x，1),2!3! 23,,1，8(x，1),5(x，1)，(x，1) . 二. 初等函数的幂级数展开式 为得到初等函数的幂级数展开式 , 或直接展开, 或间接展开. n,x(n)xx,f(x),e1 . ( 验证对 ，在 x,( ,, , ，, )Re,,x,,!n,0n 区间[ 0 , x ] ( 或[ x , 0 ] )上有界, 得一致有界. 因此可展 ). nn,xlnaxlnax,,a |x| , ，,. a,,n!n0, 2n1，,xn( ,1 ) 2 , x,( ,, , ，, ). sinx,,(2n，1)!n0, 2n,xn,( 1 )x,( ,, , ，, ) cosx,, . ,(2n)!n0, n,,,(n)()sinfx,x，可展是因为在内一致有界. ( ,, , ，, ),,a,, m(1，x) 3. 二项式 的展开式: m(1，x) 为正整数时, 为多项式, 展开式为其自身; m 为不是正整数时, 可在区间内展开为 ( ,1 , 1 )m m(m,1)m(m,1)(m,2)？(m,n，1)m2n(1，x) ,1，mx，x，？，x，？2!n!对余项的讨论可利用Cauchy余项. 进一步地讨论可知 ( 参阅Г.М.Фихтенгольц 《 微积分学教程》Vol 2 第 二分册.): 时, 收敛域为; ( ,1 , 1 )m,,1 时, 收敛域为; ( ,1 , 1 ],1,m,0 时, 收敛域为. [ ,1 , 1 ]m,0 m(1，x)利用二项式 的展开式 , 可得到很多函数的展开式. 例如取 ,得 m,,1 ,2nn ， . x,( ,1 , 1 ),1,x，x,？，( ,1 )x，？1，x 1m,,时, 2 1113135,,,231xxx,,，,，？, x,( ,1 , 1 ]. 224246,,,1x， , 进行变量代换、四则运算以及微积运算, 可 间接展开: 利用已知展开式 得到一些函数的展开式. 利用微积运算时, 要求一致收敛. 幂级数在其收敛区 间内闭一致收敛,总可保证这些运算畅通无阻. n23n,xxxx,n1,n1,( ,1 )xxln(1，),,，,？，( ,1 )，？ .x,( ,1 , 1 ] ,nn23n1, 1事实上 , 利用上述的展开式, 两端积分 , 就有 1，x ,xxdtnn( ,1 )tdt,ln(1x) ，,,,,,001t，n0, n1n，,,xx,nn1,( ,1 ),( ,1 ),. x,( ,1 , 1 ),,n，1nn0n1,, 验证知展开式在点收敛, 因此 , 在区间上该展开式成立. ( ,1 , 1 ]x,1 357，2n1,xxxxn( 1 ),,,,，,，？, . arctgxxx,[ ,1 , 1 ],21n，357,n0 ,1n2n( ,1 )x, x,由. 两端积分,有 ( ,1 , 1 ),,21x，,n0 ,,xxxdt,,22nnnn arctgx,,(,1)tdt,(,1)tdt,,,,2,,,0001，t00,n,n,, ，2n1,xn( 1 ),,, ,21n，,n0 验证知上述展开式在点收敛, 因此该展开式在区间上成立. [ ,1 , 1 ]x,,1 1 例4 展开函数f(x),. 23x,4x，1 ,,1311,,,,nnn，1解 f(x)3xx,,,,,,,,,,21,3x1,x2,,nn,,,00,,11n1n，,( 3,1 ) x , |x| , . ,23n0, xf(x),(1，x)e 例5 展开函数. n，n1nn,,,,xxxxxx，,，f(x),e，xe,解 ,,,,n!n!n!(n,1)!,,,n0n0nn01, nn,,,,,x11xn1，,,, 1，,，，x,,,,,n!(1)!!(1)!，,nnn,1nnn11,,,, ,,1，n1，nnn,1，x,x, |x| , ，, . ,,!nn!n1n0,,