证明命题一个角的两边-证明命题一个角的两边

证明命题一个角的两边-证明命题一个角的两边 证明命题一个角的两边-证明命题一个角 的两边 两道角分线证明题1、如图，已知直线MN?PQ，且AE平分?BAN、BE平分?QBA，DC是过E的任意线段，交MN于点D，交PQ于点C。求证:AD+AB=BC。 M D A N P B C Q 2、已知:如图在Rt?ABC中，?BAC=90?，AE?BC， BD是?ABC的角平分线， AD=FC。 A B E C 1 GF?BC ，求证: 例9.如图，BD,DC,ED?BC交?BAC的平分线于E，作EM?AB,EN?AC,求证:BM,CN. 例11.如图，D是等边?ABC内一点，DB,DA，BP,AB， 例13. D是 ABC的平分线与 ACB的外角平分线的交点，DE?BC，交AB于E，交AC于F.求证:EF A DBP, DBC.求证: P,300 PC BE,CF. 2 25. 问题:已知?ABC中， BAC=2 ACB，点D是?ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。 探究 DBC与 ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程: 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当 BAC=90 时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB与AC的数量关系为; 当推出 DAC=15 时，可进一步推出 DBC的度数为; 可得到 DBC与 ABC度数的比值为 (2) 当 BAC 90 时，请你画出图形，研究 DBC与 ABC 度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 3、如图，等腰直角三角形ABC中，?BAC,90?，D、E分别为AB、AC边上的点，AD,AE，AF?BE交BC于点F，过点F作FG?CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M( (1)求证:?EGM为等腰三角形; (2)判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论( 3 命题与证明命题与证明 一、目标认知 学习目标:了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。 会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。 了解证明的含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。 会根据一些基本事实证明简单命题。 通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。 初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。 重点:掌握证明的一般步骤与格式 难点:使学生充分认识到几何证明的必要性;掌握证明的一般步骤与格式 二、知识要点梳理 知识点一:定义 要点诠释:一般地，能清楚地某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义( 知识点二:命题 要点诠释:一般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题((句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别(定义属于陈述句，是对一个名称或术语的意义的规定(而命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断(与判断的正确与否没有关系() 知识点三:命题的结构 要点诠释:命题可看做由题设(或条件)和结论两部分组成(题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项( 知识点四:公理 要点诠释:人类经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据。这样公认为正确的命题叫做公理。例如:“两点之间线段最短” ，“一条直线截两条平行所得的同位角相等” 知识点五::定理 要点诠释:用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。 知识点六: 真命题与假命题 要点诠释:如果题设成立，那么结论一定成立，像这样的命题叫做真命题。相反，如果题设成立时，不能保证结论总是正确的，就认为结论不成立，像这样的命题叫做假命题，凡是假命题都是错误的命题。 知识点七:证明 要点诠释:由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论(书证)正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理，在此以前学过的定理。(证明命题的格式一般为:1)按题意画出图形;2)分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论;3)在“证明”中写出推理过程) 知识点八:假命题的判定 要点诠释:只需举出反例，它符合命题的题设，但不满足结论，即可判定该命题是假命题。 知识点九:反证法 要点诠释:从假设所需证的命题的结论不成立出发，结合条件推出与已知条件或正确命题相矛盾的结论，说明假设错误，原命题成立的证明方法 三、规律方法指导 1.数学中判定一个命题是真命题，要经过证明(要判断一个命题是假命题，只需 举一个反例即可( 2.证明的意义:在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明( 3.反证法的适用范围 (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少; (2)命题的结论以否定形式出现时; (3)命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时 (4)命题的结论以“唯一”的形式出现; (5)命题的结论以“无限”的形式出现时; (6)关于存在性命题; (7)某些定理的逆定理。 四、经典例题透析 类型一: 例、 判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断,哪些没有对事情作出判断, (1)对顶角相等; (2)画一个角等于已知角; (3) 两直线平行，同位角相等; (,)，两条直线平行吗? (5)鸟是动物; (6)若，则( ，求的值; (7) 若 思路点拨:通过本题熟悉命题的定义 解析:句子(1)(3)(5)(7) 对事情作了判断，句子(2)(4)(6)没有对事情作出判断(其中 (1)(3)(5)判断是正确的，(7)判断是错误的( 总结升华:数学课的主要研究对象是数学知识，所以今后的相关学习是研究数学命题。 举一反三: 【变式1】下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题? (1)若a,b，则; (2)三角形的三条高交于一点; (3)在ΔABC中，若AB,AC，则?C,?B吗? (4)两点之间线段最短; (5)解方程; (6)1，2?3( 【】(1)(2)(4)(6)是命题，(3)(5)不是命题( 类型二: 例、指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果„„那么„„”的形式: (1)三条边对应相等的两个三角形全等; (2)在同一个三角形中，等角对等边; (3)对顶角相等; (4)同角的余角相等; (5)三角形的内角和等于180?; (6)角平分线上的点到角的两边距离相等( 思路点拨: 找出命题的条件和结论是本题的难点，因为命题在叙述时通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写时注意要把省略的词或句子添加上去( 解析:(1)“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”(可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两 个三角形全等”( (2)“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等。可以改写成“如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”值得注意的是，命题中包含了一个前提条件:“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏( (3)这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”(这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”( (4)条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”(这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”( (5)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180?”(这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180?”; (6) “如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等。” 总结升华:注意原命题中省略的重要内内容一定要补充完整。 举一反三: 【变式1】试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒或变为否定式，得到新的命题，并判断这些命题的真假( (1)对顶角相等; (2)两直线平行，同位角相等; (3)若a=0，则ab=0; (4)两条直线不平行，则一定相交; 【答案】(l)对顶角相等(真); 相等的角是对顶角(假); 不是对顶角不相等(假); 不相等的角不是对顶角(真)( (2)两直线平行，同位角相等(真); 同位角相等，两直线平行(真); 两直线不平行，同位角不相等(真); 同位角不相等，两直线不平行(真)( (3)若a=0，则ab=0(真); 若ab=0，则a=0(假); 若a?0，则ab?0(假); 若ab?0，则a?0(真)( (4)两条直线不平行，则一定相交(假); 两条直线相交，则一定不平行(真); 两条直线平行，则一定不相交(真); 两条直线不相交，则一定平行(假)( 【变式2】判断正误: (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等。 ( ) (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角。 ( ) (3)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角。 ( ) (4)如果两个角有公共顶点，有一条公共边，那么这两个角是邻补 角。 ( ) (5)如果两个角是邻补角，那么这两个角一定互为补角。 ( ) (6)如果两个角的和是180?，那么这两个角是邻补角。 ( ) (7)对顶角的角平分线在同一条直线上。 ( ) (8)如果两个角有公共顶点，且角平分线互为反向延长线，那么这 两个角是对顶角。 【答案】:(1)?;(2)×;(3)×;(4)×;(5)?;(6)×;(7)?;(8)×。 注:判断题如果是正确的命题需要加以说明或论证，找出依据，如果是错误的命题，只要举出一个反例即可。 (1)是定理，?填?; (2)如图1，?1和?2相等，但它们不是对顶角，?对顶角不仅要 相等，而且要求它们有公共顶点且它们的边互为反向延长线，? 填×; (3)如图2，?1和?2有公共顶点，但不是对顶角，?填×; (4)如图3，?1和?2有公共顶点，但另一条边不是互为反向延长线， 不是邻补角，(或?1，?2?180?)，?填×; (5)是平角定义，?填?; (6)如图4，?1，?2=180?但没有公共顶点，而?3，?4=180?， 虽有公共顶点，但没有公共边，?1和?2，?3和?4都不是邻补 角，?填×; (7)如图5，AB和CD相交于O，?AOC和?DOB是对顶角， ?AOC平分线是OE，?DOB平分线是OF，判断OE和OF是在同一 条直线上 ?OE是?AOC平分线，??1=?2(角平分线定义) ??1=?AOC，同理，?3=?4，??3=?DOB 又?AB与CD相交，??AOC和?DOB是对顶角(对顶角定义) ??AOC=?DOB(对顶角性质) ??1=?3，又?1，?EOD=180?(平角定义) ??3，?EOD=180?(等量代替)??EOF=180? ?E、O、F在一条直线上 即OE与OF是在同一条直线上，?填?; (8)如图6，?AOD和?BOC有公共顶点O，?AOD的平分 线OE和?BOC的平分线OF互为反向延长线，即OE、OF在同 一条直线上，但?1??3，??AOD??BOD，A、O、B不在同 一条直线上，?不是对顶角，填×。 类型三: 例、证明:“如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直(” 思路点拨: 总结步骤: 1(审题:分清命题的“题设”和“结论”( 2(译题:结合图形中的字母及符号，写出已知，求证( 3(想题:用“执因索果”(综合法);用“执果索因”(分析法)寻找论证推理的逻辑思路(一般是把二者结合起来思考，效果较好，这也叫综合分析法( 4(证题:从已知出发，每一步过程要有根据(定义，公理或定理)最后得到结论，全面推理过程要因果分明( 解析:已知:a?b，a?c， 求证:b?c 证法(一):?a?c，(已知) ??1=90?((垂直的定义) ?a?b，(已知) ??1=?2，(两直线平行，同位角相等) ??2=90?，(等量代换) ?b?c((垂直定义) 证法(二):?a?b，(已知) ??1=?2((两直线平行，同位角相等) ?a?c，(已知) ??1=90?，(垂直定义) ??2=90?，(等量代换) ?b?c((垂直定义) 【变式1】求证:同角的余角相等( 已知:?2是?1的余角，?3是?1的余角( 求证:?2=?3( 【答案】证明:因为?2与?1互为余角，?3与?1互为余角，(已知) 所以?2+?1=90?，?3+?1=90?((余角定义) 所以?2+?1=?3+?1((等量代换) 则 ?2=?3((等量减等量差相等) 类型四: 例、已知:如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1?l2，13与11相交于点P. 求证:13与l2相交( (使用反证法) 思路点拨:仔细阅读反证法的定义，掌握这种方法的规律。 解析:证明:假设， 1与l不相交 ， 即 l ? l ， 又? l ? l (已知)， ? 过直线12外一点P有两条直线11,13与直线12平行， 这与“ 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行 ”相矛盾， ? 假设不成立，即求证的命题成立， ? 13与12相交( 【变式1】用反证法证明不是有理数 【答案】证明:假设且互质) 是有理数，则可表示为(，为自然数， 两边平方，得 2n2=m2 ? 由?知m2必是2的倍数，进而m必是2的倍数( 令m=2p代入?式，得 n2=2p2 ? 由?知，必是2的倍数，m和n都是2的倍数，则m、n不互质，与假定m、 不是有理数( n互质相矛盾， 【变式2】我们年级有367名学生，请你证明这些学生中至少有两个学生在同一天过生日( 【答案】设“假设任何两个学生都不在同一天过生日” 所以这367人就会有不同的367天过生日 这就出现了与一年只有365天(闰年366天)的矛盾( 因此反设不成立。 所以“至少有两个学生在同一天过生日” 五、学习成果测评 基础达标: 选择题: 1、下列语句不是命题的是( ) A、两点之间线段最短 B、不平行的两条直线有一个交点 C、x与y的和等于0吗, D、对顶角不相等。 2、命题:?对顶角相等;?垂直于同一条直线的两直线平行;?相等的角是对顶角;?同位角相等。其中假命题有( ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 3、如图，?ABC中， 果 么，那 的值为( ) ,BE平分?ABC，，垂足为D，如 A、2? B、 3? C、5? D、4? 4、下列各组所述几何图形中，一定全等的是( ) A、一个角是45?的两个等腰三角形 B、两个等边三角形 C、腰长相等的两个等腰直角三角形 D、各有一个角是40?，腰长都为5?的两个等腰三角形 5、等腰三角形的一个外角是80?，则其底角是( ) A、40? B、100?或40? C、100? D、80 6、如图，Rt?ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交 CD于H， EF?AB于F，则下列结论中不正确的是( ) A、?ACD=?B B、CH=CE=EF C、AC=AF D、CH=HD 7、在同一平面内,两条直线可能的位置关系是( ) A、 平行 B、相交 C、平行或相交 D、 平行、相交或垂直 8、如图，已知AB,AC，BE,CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有( ) A、1对 B、2对 C 、3对 D、4对 填空题: 9、把命题:三角形的内角和等于180? 改写如果_________，那 么__________;并找出结论_________。 10、命题的定义是: _________________________________________________。 11、判断角相等的定理(写出2个) _____________________________________， ________________________________________________________ __________。 12、判断线段相等的定理(写出2个) ___________________________________， ________________________________________________________ __________。 13、写出下列假命题的反例: 1) 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。__________ 2) 相等的角是对顶角。__________ 14、已知:如图，直线a,b被c所截，?1，?2是同位角， 且?1??2，求证:a不平行b 证明:假设__________， 则__________，( ) 这与__________相矛盾，所以__________不成立，所以a不 平行b。 15、如图，是由16个边长为1的正方形拼成的，任意连接，这些小格点的若干个顶点可得到一些线段，则线段AB、CD中，长度是有理数的线段是________。 16、?ABC中，AB=AC，?A=?C，则?B=_______? 答案与解析: 选择题: 1、C 2、C 3、B 4、C 5、A 6、D 7、C 8、C 填空题: 9、把命题:三角形的内角和等于180? 改写如果三个角是三角形的内角 ，那么 它们的和等于180 ? ;并找出结论它们的和等于180 ? 。 10、命题的定义是: 对事情做出正确或不正确的判断的句子叫做命题 。 11、判断角相等的定理(写出2个) 对顶角相等 ， 两直线平行，同位角相等(等等) 。 12、判断线段相等的定理(写出2个) 全等三角形对应边相等 ， 等腰三角形两腰相等(等等) 。 13、写出下列假命题的反例: 3) 有两个角是锐角的三角形是锐角三角形。 直角三角形有两个锐角 4) 相等的角是对顶角。 两直线平行，同位角相等 ( 等等 ) 14、已知:如图，直线a,b被c所截，?1，?2是同位角，且?1??2，求证:a不平行b 证明:假设 a平行b ， 则 ?1 =?2 ，( 两直线平行，同位角相等 ) 这与 ?1??2 相矛盾，所以 假设 不成立，所以 a不平行b。 15、如图，是由16个边长为1的正方形拼成的， 任意连接，这些小格点的若干个顶点可得到一些线段， 则线段AB、CD中，长度是有理数的线段是__CD____。 16、?ABC中，AB=AC，?A=?C，则?B=__60___? 解答题: 17、填空 已知:如图，AD?BC于D，EF?BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，?1,?2( 求证:AD平分?BAC，填写分析和证明中的空白( 分析:要证明AD平分?BAC，只要证明__________,_______________， 而已知?1,?2，所以应联想这两个角分别和?1、?2的关系，由已知BC的两条垂线可推出_____?_______，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论( 证明:?AD?BC，EF?BC(已知) ?________?_________(__________) ?_______,________(两直线平行，内错角相等)， _______,__________(两直线平行，同位角相等) ?__________(已知) ?______________即AD平分?BAC(__________) 18、如图，在Rt?ABC中, ?C,90?，?A,30? (1)以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt?ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。 (2)Rt?ABC和它的像组成了什么图形,最准确的判断是(__________) (3)利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗,并请说明理由。 19、已知:E是AB、CD外一点，?D=?B+?E，求证:AB?CD。 20、如图在ΔABC中AB=AC,?BAC=900,直角?EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ?求证:AE=CF(提示:添辅助线) ?是否还有其他结论，不要求证明 21、 在?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证: ??ADC??CEB;?DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD-BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系,请写出这个等量关系，并加以证明. 注意:第(2) 、(3)小题你选答的是第__________小题. 解答题: 17、填空 已知:如图12，AD?BC于D，EF?BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，?1,?2( 求证:AD平分?BAC，填写分析和证明中的空白( 分析:要证明AD平分?BAC，只要证明_?BAD______,__?CAD__________， 而已知?1,?2，所以应联想这两个角分别和?1、?2的关系，由已知BC的两条垂线可推出_EF__?__AD_，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论( 证明:?AD?BC，EF?BC(已知) ?__EF______?__AD_(在同一平面内，垂直与同一直线的两直线平行 ) ?__?1____,_?BAD____(两直线平行，内错角相等)， ?2____, ?CAD (两直线平行，同位角相等) ? ?1,?2 (已知) ?_?BAD____,__?CAD___，即AD平分?BAC( 角平分线的意义 ) 18、如图，在Rt?ABC中, ?C,90?，?A,30? (1)以直角边AC所在的直线为对称轴，将Rt?ABC作轴对称变换，请在原图上作出变换所得的像。 (2)Rt?ABC和它的像组成了什么图形,最准备的判断是( 等边三角形) (3)利用上面的图形，你能找出直角边BC与斜边AB的数量关系吗,并请说明理由。 利用轴对称变换，可知?ABB′是等边三角形，然后利用等腰三角形“三线合一”性质可得。 19、已知:E是AB、CD外一点，?D=?B+?E，求证:AB?CD。 利用?BFD=?B +?E，?D=?B+?E得?D =?BFD 20、如图在ΔABC中AB=AC,?BAC=900,直角?EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ?求证:AE=CF(提示:添辅助线) ?是否还有其他结论，不要求证明 (1)连结AP，证明?APE??CFP，利用直角?EPF和直角 ?APC可证 ?APE=?FPC，利用AP=PC，?EAP=?C=45? (2)BE=AF，EP=PF等等 21、 在?ABC中，?ACB=90?，AC=BC，直线MN经过点C，且AD?MN于D，BE?MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证: ??ADC??CEB;?DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证:DE=AD-BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系,请写出这个等量关系，并加以证明. 注意:第(2) 、(3)小题你选答的是第__________小题. (1)利用?ACB=90?，AD?MN于D，BE?MN于E得?ADC=?CEB=90?，得?DAC=?BCE， AC=BC 得 ?ADC??CEB 得CD=BE，AD=CE (2)设AB，MN交与点O，?AOD=?EOB得?DAO=?OBE，因为?CAD+?DAO=?BCE+?OBE=45? 得?CAD=?BCE，类似(1)证?ADC??CEB (3)BE=AD+DE 类似(2)证?ADC??CEB 证明与命题明珠教育1对1辅导授课案 任课老师课前必写: 要么教好，要么不教 ( ) . 知识复习: 1(定义: (1)概念 ? ; (2)分类 2(命题 ? 假命题(可通过 (3)形式:命题都可写成的形式。 命题与证明 (4)互逆命题 1)公理: 3. 公理与定理 (2) (1)概念: 4. 证明 ?理解题意，画出 (2)证明命题的一般步骤 ?写出已知，_________ ?写出 (3)反证法________________ 二、知识点归类 1.定义的概念 对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。如:“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。 注意:定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多” 等不能在定义中出现。 (1)连结三角形两边中点的线段叫作三角形的 ; (2)能够完全重合的两个图形叫做 ; (3)两组对边分别平行的四边形叫做 ; 2.命题的概念 叙述一件事情的句子(陈述句)，要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命 如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。 注意:(1)命题必须是一个完整的句子。 (2)这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。 3.真命题与假命题 如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题;如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题 注意:真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。 例 下列命题中的真命题是( ) A 锐角大于它的余角 B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角 D 锐角与钝角等于平角 4.命题的结构 每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如:“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 5.证明及互逆命题的定义 1、 从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，这个过程叫作证明。 注意:证明一个命题是假命题的方 法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。 2、 一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。 注意:一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。 例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。 A.直角三角形的两锐角互余; (2)全等三角形的对应角相等。 6. 公理与定理 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理。 以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。 注意:(1)公理是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明; (2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。 例 填空:(1)同位角相等，则两直线 ;(2)平面内两条不重合的直线的位置关系是 ;(3) 四边形是平行四边形。 7.互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。 注意:每个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如:“对顶角相等”就没逆定理。 8. 证明的含义 从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。 注意:(1)证明一个命题时，首先要分清命题条件和结论，其次要从已知条件出发，运用定义、公理、定理进行推理，得出结论。 (2)证明的过程必须做到步步有据。 例. 已知:如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE,CF (1)求证:ΔBCE?ΔDCF (2)若?FDC,30?，求?BEF的度数。 A D B C F 三、巩固训练 一、填空 1.把命题“三边对应相等的两个三角形全等”写成“如果,,,那么,,”的形式是 ________________________________________________________ ________________. 2.命题“如果a b ,那么a b”的逆命题是________________________________. 3.命题“三个角对应相等的两个三角形全等”是一个______命题(填“真”或“假”). 4.如图,已知梯形ABCD中, AD?BC, AD,3, AB,CD,4, BC,7,则?B,_______. 5.用反证法证明“b1?b2”时,应先假设_________. 二、选择题 1.下列语句中,不是命题的是( ) A.直角都等于90? B.面积相等的两个三角形全等 C.互补的两个角不相等 D.作线段AB 22 2.下列命题是真命题的是( ) A.两个等腰三角形全等 B.等腰三角形底边中点到两腰距离相等 C.同位角相等 D.两边和一角对应相等的两个三角形全等 3.下列条件中能得到平行线的是( ) ?邻补角的角平分线;?平行线内错角的角平分线;?平行线同位角的平分线; ?平行线同旁内角的角平分线. A. ?? B. ?? C. ?? D. ? 4.下列命题的逆命题是真命题的是( ) A.两直线平行同位角相等 B.对顶角相等 C.若a b,则a2 b2 D.若(a,1)x a,1,则x 1 5.三角形中,到三边距离相等的点是( ) A.三条高的交点 B.三边的中垂线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三条中线的交点 6.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.面积相等 7.?ABC的三边长a,b,c满足关系式(a,b)(b,c)(c,a) 0，则这个三角形一定是( A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.无法确定 8.如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB的长为1， EC的长为2，那么正方形ABCD的面积是( ) C.3 D.5 三、判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,请举一个反例说明. (1)有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形. (2)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形. ) 明珠教育教务处监制 命题与证明514.2 命题与证明 一、教学目标 (一)知识目标 1.了解证明以及证明的必要性. 2.能将一些文字命题转化为数学问题，并进行证明. 3.掌握证明的步骤，证明过程中使用规范性语言. 4.能用举反例的方法证明或判断简单的假命题. (二)能力目标 1.培养学生规范的数学解题能力. 2.培养学生分析问题、解决问题的能力. (三)情感目标 培养学生具有敢于质疑的意识，同时又有尊重客观事实的科学态度，培养学生勇于探索，创新，解疑的科学精神. 二、教学重点 将文字命题转化为数学问题，并进行证明;证明过程中规范性语言的使用.三、教学难点 将文字命题转化为数学问题，如何正确写出“已知”、“求证”. 六、教学过程: (一)引入 一个同学在画图时发现，三角形的三条边上的高的交点在三角形的内部，于是他得出结论:任何一个三角形的三条边上的高的交点都在三角形的内部.他的结论正确吗? 我们曾经计算过三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和， 得到这样一个结论:n边形的内角和等于(n-2)×180?.这个结论正确吗?是否有一个多边形的内角和不满足这个规律呢? (二)新课 由上面的事例说明:通过特殊的事例或实践活动得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，这样的结论需要进一步的证实.那么，怎样来证实呢?那就是证明. 根据题设、定义、公理以及定理等、经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明. 下面，我们通过证明命题“两直线平行，同旁内角互补”来了解什么是证明.例1 证明:两直线平行，同旁内角互补. 分析:首先弄清命题的题设和结论，其次将命题的题设“两条平行直线被第三条直线所截”转化为数学的符号语言“已知:直线a?b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B”，再把结论“同旁内角互补”转化为数学的符号语言“求证:?1+?2=180?”，同时要画出图形. 图 1 已知:如图1，直线a?b，直线c分别与直线a、b相交于点A、B. 求证:?1+?2=180?. 证明:略 由例1可知以下两点. 1.文字命题的证明要求:写出“已知”、“求证”、“证明”，并画出图形. 2.证明的一般过程:由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，最后推出结论(求证)的正确过程. 注意:证明过程的每一步推理都要有理有据，也就是根据定义、公理和定理. 例2 求证:等腰三角形两腰上的中线相等. 引导学生画出符合条件的图形，再试写出“已知”、“求证”，并进行证明.分析:首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分析证明 思路，最后写出证明的过程;由题意分析，可以先证明含中线的某两个三角形全等，再证得中线相等. 已知:如图2，在?ABC中，AB=AC，点E、F分别是AC、AB的中点. 求证:BE=CF. 证明:略 例3 求证:有一条直角边及斜边上的高分别对应相等的两个直角三 角形全等. 分析:首先画出符合条件的图形，再写出“已知”、“求证”，然后分 析证明思路，最后写出证明的过程. 图 3 已知:如图3，在?ABC和?A′B′C′中，?ACB=?A′C′B′=90?，AC= A′C′，CD?AB于D，C′D′?A′B′于D′，且CD=C′D′. 求证:Rt?ABC?Rt?A′B′C′. 分析:(1)Rt?ABC与Rt?A′B′C′中已满足全等的什么条件?(AC=A′C′，?ACB=?A′C′B′=90?) (2)还需补充什么条件两三角形全等?(BC=B′C′，或AB=A′B′，或?B=?B′，或?A=?A′) (3)选择哪个条件?(?A=?A′) (4)为什么?(已有条件AC=A′C′，CD=C′D′) 即先证明Rt?ACD?Rt?A′C′D′，再证明Rt?ABC?Rt?A′B′C′. 请小组同学共同完成证明过程.(略) 文字命题证明的一般过程: 首先画出符合条件的图形，再写出”已知”、“求证”，然后分析证明思路，最后由题设(已知条件)出发，经过一步步的逻辑推理，写出结论(求证)的正确证明过程. 练习教材第96页练习第1题. 例4 试说明“两个锐角的和等于直角”是假命题. 分析:对假命题的证明，用举反例的方法证明. 举反例:就是要证明或判断一个命题是假命题，只要举出一个符合命题题设而不符合结论的例子即可. 解 设两个锐角都为30?，则两个锐角的和为60?，不等于90?，所以这个命题是假命题. 练习教材第96页练习第2题. (三)小结 1.证明的一般步骤; 2.用举反例的方法证明或判断简单的假命题. (四)作业 三角形内外角平分线有关命题的证明及应用三角形内外角平分线有关命题的证明及应用 三角形内外角平分线有关的题目，如何举一反三事半功倍。 与 平时 的 积累训练有很大的关系， 一分耕耘一分收获。 命题1 如图,，点D是?ABC两个内角平分线的交点，则?D=90?+证明:如图,: ?A( ??1,?，?,,?， ?2?1，2?2，?A,180?? ?1，?2，?D=180?? ?,?得: ?1，?2，?A,?D? 由?得: ?1，?2=180?,?D? 把?代入?得: ?180?,?D，?A,?D ?D=90?+?A( 命题2 如图,，点D是?ABC两个内角平分线的交点，则? D=90?,?A( 证明:如图,: ?DB和DC是?ABC的两条外角平分线， ??D=180?,?1,?2 =180?,(?DBE+?DCF) =180?,(?A+?4+?A+?3) =180?, (?A+180?) =180?, ?A,90? =90?, ?A; 命题3 如图3，点E是?ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则?E=证明:如图3: ??1=?2，?3=?4， ?A( ?A+2?1=2?4 ? ?1+?E=?4 ? ?×代入?得: ?E= ?A( ?ABC中，?A=n。，延长BC到D，?ABC与?ACD的平分线相交 于A1点，?A1BC与?A1CD 的平分线相交于A2点，依次类 推，?A4BC与?A4CD的平分线相交于A5，求?A5的度数。 证:如图，在 第4题图 三角形中的边角关系、命题与证明题第13章 三角形中的边角关系、命题与证明检测题 本检测题满分:100分，时间:90分钟 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 以下列各组线段长为边，能组成三角形的是( ) A(1 cm，2 cm，4 cm B(8 cm，6 cm,4 cm C(12 cm，5 cm，6 cm D(2 cm，3 cm ,6 cm 2. 等腰三角形的两边长分别为5 cm和10 cm，则此三角形的周长是( ) A(15 cm B(20 cm C(25 cm D(20 cm或25 cm 3. 命题:? 邻补角互补;? 对顶角相等;? 同旁内角互补;? 两点之间线段最短; ?直线都相等.其中真命题有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4.已知?ABC中，?ABC和?ACB的平分线交于点O，则?BOC一定( ) A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 5. 下列命题中正确的是( ) A(三角形可分为斜三角形、直角三角形和锐角三角形 B(等腰三角形任一个内角都有可能是钝角或直角 C(三角形的外角一定是钝角 D(在?ABC中，如果?A?B?C，那么?A60?，?C60? 6. 对于命题“如果?1+?2=90?，那么?1??2”，能说明它是假命题的反例是( ) A(?1=50?，?2=40? B(?1=50?，?2=50? C(?1=?2=45? D(?1=40?，?2=40? 7. 不一定在三角形内部的线段是( ) A.三角形的角平分线 B.三角形的中线 C.三角形的高 D.以上皆不对 8. 如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则?A+?B+?C+?D+?E+?F 的度数是( ) A. 180? B.360? C.540? D.720? 9. 下面关于基本事实和定理的联系说法不正确的是( ) A(基本事实和定理都是真命题 B(基本事实就是定理，定理也是基本事实 第8题图 C(基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D(基本事实的正确性不需证明，定理的正确性需证明 10.下列条件:??A+?B=?C，??A??B??C=2?3?4，??A=90?,?B，??A=?B= ?C中，能确定?ABC是直角三角形的条件有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 在Rt?ABC中,一个锐角为25?, 则另一个锐角为 . 12. 如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形， 则?1+?2= 度( 13. “两条直线被第三条直线所截，同位角相等”的条件 是 ， 第12题图 结论是 . 14. 已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1?4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ( 15.设为?ABC的三边长，则 . 16.如图所示，AB=29，BC=19，AD=20，CD=16，若AC=，则的取值范围为 . C 1A C PD AB第16题图 第17题图 17. 如图所示，在?ABC中，?ABC = ?ACB，?A = 40?，P是?ABC内一点，且?1 = ?2，则?BPC=________. 18.“直角三角形有两个角是锐角”这个命题的逆命题是 ，它是一个 命题. 三、解答题(共46分) 19.(6分) 下列句子是命题吗,若是，把它改写成“如果,,那么,,”的形式，并写出它的逆命题，同时判断原命题和逆命题的真假( (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度, (2)垂线段最短，对吗, (3)等角的补角相等( (4)两条直线相交只有一个交点( (5)同旁内角互补( (6)邻补角的角平分线互相垂直( 20. (6分)如图所示，在?ABC中，AB=AC，AC上的中线把三角形的周长分为24 cm和30 cm 的两个部分，求三角形各边的长( 第21题图 第20题图 21. (6分)如图，已知在?ABC中，?B与?C的平分线交于点P. (1)当?A=70?时，求?BPC的度数; (2)当?A=112?时，求?BPC的度数; (3)当?A= 时，求?BPC的度数. 22. (6分)已知一个三角形有两边长均为，第三边长为，若该三角形的边长都为整数，试 判断此三角形的形状( 23. (6分)如图所示，武汉有三个车站A、B、C成三角形，一辆公共汽车从B站前往到C 站( (1)当汽车运动到点D时，刚好BD=CD，连接线段AD，AD这条线段是什么线段,这样 的线段在?ABC中有几条呢,此时有面积相等的三角形吗, (2)汽车继续向前运动，当运动到点E时，发现?BAE=?CAE，那么AE这条线段是什 么线段呢,在?ABC中，这样的线段又有几条呢, (3)汽车继续向前运动，当运动到点F时，发现?AFB=?AFC=90?，则AF是什么线段,这样的线段在?ABC中有几条, 第23题图 第24题图 24. (8分)已知:如图，DG?BC，AC?BC，EF?AB，?1=?2，求证:CD?AB( 25. (8分) 规定，满足(1)各边互不相等且均为整数，(2)最短边上的高与最长边上的 高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形，其中k叫做比高系数(根据规定解答下列问题: (1)求周长为13的比高系数k的值. (2)写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长. 关于“任意6个自然数中,必有两个数的差是5的倍数”命题的证明关于“任意6个自然数中，必有两个数的差是5的倍数”命题的证明 证明: 令这6个任意自然数中最小的为Amin，其他5个数分别为:A1 、A2、A3、A4 、A5 ，则这5个数与最小数Amin的差为: C1 ,A1,Amin,5×K1 ，Y1 (Y1 5，即Y1?{0、1、2、3、4}) C2 ,A2,Amin,5×K2 ，Y2 (Y2 5，即Y2?{0、1、2、3、4}) C3 ,A3,Amin,5×K3 ，Y3 (Y3 5，即Y3?{0、1、2、3、4}) C4 ,A4,Amin,5×K4 ，Y4 (Y4 5，即Y4?{0、1、2、3、4}) C5 ,A5,Amin,5×K5 ，Y5 (Y5 5，即Y5?{0、1、2、3、4}) 其中:K为对应的差C除以5的整数商，Y为对应的差C除以5之后的余数。 1)如果Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数中有一个Yi为0，则说 明差Ci是5的倍数，命题成立; 2)如果Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数均不为0，从中不难看 出， Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5 这5个余数都是只有4个元素的集 合{1、2、3、4}中的元素，从而至少必有两个余数是相同的。 即:存在Yi,Yj?{Y1 、Y2 、Y3 、Y4 、Y5}, 其对应的自然数为Ai、Aj， 则有:Ai,5×Ki ，Yi，Aj,5×Kj ，Yj 那么:Ai,Aj,(5×Ki ，Yi),(5×Kj ，Yj),5×(Ki,Kj)，(Yi,Yj) 其中，5×(Ki,Kj)是5的倍数，Yi,Yj ，Yi,Yj,0， 从而:Ai,Aj,5×(Ki,Kj)，(Yi,Yj) ,5×(Ki,Kj)是5的倍数。 证毕。