多元函数取到条件极值的充分条件

多元函数取到条件极值的充分条件 . 57T EX T IL E SC IEN C E A N D T ECHN OL O GY SUM N o 多元函数取到条件极值的充分条件 安瑞景 ( )天津纺织工学院基础课部 天津 300160 摘 要 在求多元函数的条件极值时, 一般只是根据取到极值的必要条件, 求出驻点, 再根据实际问题的性质, 确定它是否为所求的极值. 这在理论上是欠缺的. 本文给出了多元函数取到条件极值的充 分条件. 关键词 多元函数, 条件极值, 拉格郎日乘数法 分类号 O 174. 1 The suf f ic ien t con d it ion s f or ex trem e of m ult ivar ia te f un c t ion s An Ru ij in g (). D ivo f b a sic co u r se s A bstra c t T h e su ff ic ien t co n d it io n s fo r ex t rem e o f m u lt iva r ia te fu n c t io n s a re d is2 .cu ssed in th is p ap e r , , Keyword s m u lt iva r ia te fu n c t io n sth e ex t rem eth e m e tho d o f L an g ran ge’ s m u lt i2 .p lie r s 1 拉格朗日乘数法介绍 1 () () 根据拉格朗日乘数法, 要求函数 z = f x , y , 在条件 Υx , y = 0 下的条件极值, 可以先 构造函数. () () ()F x , y = f x , y + ΚΥx , y 其中 Κ为某一常数, 然后列出方程组 () () f x , y + ΚΥx , y = 0x x () () f x , y + ΚΥx , y = 0)( y y I () Υx , y = 0 由这方程组解出 Κ, x 和 y , 则 x , y 就是可能极值的坐标. () 实际上, 以上只给出了函数 f x , y 取到极值的必要条件. 也就是说, 对于可导的函数 () () () ( )f x , y 和 Υx , y , 如果 x , y 是极值点, 则 x , y 必定满足方程组 I .0 0 0 0 () () 下面我们给出函数 f x , y 在条件 Υx , y = 0 下取到极值的充分条件. 2 定理证明 () () () () () 定理 1 设函数 f x , y , Υx , y 存在一阶连续偏导数, F x , y = Κf x , y + Υx , y 是 ( ) () () 条件极值的构成函数, x , y 是方程组 I 的解, 且 Υx , y ? 0, Υx , y ? 0, 做函数0 0 x 0 0 y 0 0 ()Υx , y x () () () D x , y = f x , y - f x , y x y ( )Υ y x , y () () () 则根据 D x , y 在 x , y 邻域内的符号, 可以判断点 x , y 是否为极值点:0 0 0 0 () () () () 1当 Υx , y ƒΥx , y < 0 时, 若 x > x , y > y 时 D x , y 为正, x < x , y < y x 0 0 y 0 0 0 0 0 0 () () () () 时 D x , y 为负, 则点 x , y 是 z x , y 的极小值点; 若 x > x , y > y 时 D x , y 为负, x <0 0 0 0 () () () x , y < y 时D x , y 为正, 则 x , y 是 z = f x , y 的极大值点; 若在 x > x , y > y 与 x <0 0 0 0 0 0 () () x , y < y 时 D , y , y 0 0 x 不变号, 则 x 0 0 不是极值点. () () () () x , y > 02当 Υx , y ƒΥ 时, 若 x > x , y < y 时 D x , y 为正, x < x , y > y x 0 0 y 0 0 0 0 0 0 () () () () 时 D x , y 为负, 则 x , y 是 z = f x , y 的极小值点; 若 x > x , y < y 时 D x , y 为负, x0 0 0 0 () () < x , y > y 时 D x , y 为正, 则 x , y 为极大值点; 若在 x < x , y > y , 与 x > x , y < y 0 0 0 0 0 0 0 0 () () 时 D x , y 不变号, 则 x , y 不是极值点.0 0 () () ()证: 由于函数 Υx , y 存在一阶连续偏导数, 且 Υx , y ? 0. 由隐函数存在定理知 Υx , y y () () () = 0 确定具有连续导数的函数 y = 7 x , 代入 f x , y 得 z = f [ x , 7 x ] () 于是, 所求之条件极值即化为一元函数 z = f [ x , 7 x ] 之极值. dz yd (() ) (() ) = f x , 7 x + f x , 7 x x y dx dx ()Υx , y x (() ) (() ) ()= f x , 7 x + f x , 7 x - D x , y = x y () Υy x , y y () > 0, y = 7 x 在 x 的邻域内为增函数, 故0 d () () () 1当 Υx , y Υx , y < 0 时, ƒx 0 0 y 0 0 x = x 0dx () 当 x > x 0 时, y > y 0 , 而 x < x 0 时 y < y 0. 因此, 对于 x > x 0 , y > y 0 时 D x , y 为正, 而 x < dz dz () x , y < y 时 D , y > x 时为正, 而 x < x 时为负, 故 z = f [ x ,0 0 x 为负的情形, 就有 x 0 0 dx dx () () () () 7 x ] 在 x = x 取得极小值, 即二元函数 z = f x , y 在 x , y 取得 条件极小值. 类似地,0 0 0 () () 对于 x > x , y > y 时 D x , y 为负, 而 x < x , y < y 时 D x , y 为正的情形, 则有: x > x 0 0 0 0 0 dzdz 时 () () (< 0, x < x 时 > 0, 故 z = f [ x , 7 x ] 在 x = x 取得极大值, 即 z = f x , y 在 x , 0 0 0 dx dx ) () () y 取得 条件极大值. 如果 x > x , y > y 和 x < x , y < y 时D x , y 有相同的符号, 那么0 0 0 0 0 dz () ()当 x > x 和 x < x 时也有相同的符号, 因而 x = x 不是极值点, 即 z = f x , y 在 x , y 0 0 0 0 0 dx 不能取到条件极值. y d () () () () () 2当 Υx x 0 , y 0 ƒΥy x 0 , y 0 > 0 时, < 0 时, 此时 y = 7 x 是减函数, 与 1完dx x = x 0 dz () 全类似, 我们可以根据二元函数 D x , y 的符号, 确定的符号变化情况, 以而判断在 x = x 0dx () ( ) 处, 函数 z = f x , y 是否取到极值. 定理 I 的优点是不涉及函数的二阶导数, 但在讨论二元 — 68 — () 函数 D x , y 的符号时, 可能会困难些, 因此我们又给出以下定理. () () () () () 定理 2 设函数 f x , y , Υx , y 存在二阶偏导数, F x , y = f x , y + ΚΥx , y 是构成 ( ) () 函数, x , y , Κ是方程组 I 的解, 且 Υx , y ? 0. 记0 0 y 0 0 2() () )()H = F x , y Υ( x , y Υx , y - 2F x , y x x 0 0 0 0 x 0 0 x y 0 0 y 2() () )Υx , y + F x , y Υx , y ( y 0 0 y y 0 0 0 0 x 则 () () 1当 H > 0 时, f x , y 是极小值; 0 0 () () 2当 H < 0 时, f x , y 是极大值; 0 0 () () 3当 H = 0 时, f x 0 , y 0 是否为极值, 尚不能确定. () () 证: 由定理条件可知, Υx , y = 0 确定具有二阶连续导数的函数 y = 7 x , 使 y =0 () (() ) f x , 代入得 z = f x , 7 x .0 求导得: dz dy + f = fy x dxdx 2 2 dydy dydzdy+ f = f x x + f x y + f y x + f y y y 22 dx dxx dx ddx 由隐函数求导法则可知: dy Υx = - dx Υy 2 2 2ΥΥ- 2ΥΥΥ+ ΥΥdyx x y x y x y y y x = - 2 3dx Υ y f y 代入上式, 并利用 Κ= - 化简可得:Υy 2 1 dz2 2 () () () () () () () x , y Υx , y ] = F x , y Υx , y - 2F x , y Υx , y Υx , y + F x x y x y x y y y 0 0 x 2 2 ()x , y Υdx y 2 d z2 ()= H ƒΥx , y 0 0 从而 y 2 x = xdx 0 () () 由一元函数极值的充分性可知当 H > 0 时 f x , y 是极小值, 当 H < 0 时, f x , y 是 0 0 0 0 极大值, 而当 H = 0 时, 需进一步讨论. 下面我们讨论多个变量的情况. () () () () 定理 3 设函数 u = f x , y , z , Υx , y , z 具有二阶连续偏导数, F x , y , z = f x , y , z () + ΚΥx , y , z 是条件极值的构成函数, x , y , Κ是方程组0 0 () F x , y , z = 0x () = 0F x , y , z y ()? () F x , y , z = 0z () Υx , y , z = 0 () 的解, 且 Υx , y , z ? 0, 记z 0 0 0 2() () )()A = F x , y , z Υ( x , y , z Υx , y , z - 2F x , y , z x x 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 x z 0 0 0 z 2() )+ F x , y , z Υ( x , y , z z z 0 0 0 0 0 0 x 2() )() ()( B = F x , y , z Υx , y , z - F x , y , z Υx , y , z x y 0 0 0 0 0 0 x z 0 0 0 x 0 0 0 z () () ()+ F x , y , z Υx , y , z ]Υx , y , z y z 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 () () ()+ F x , y , z Υx , y , z Υx , y , z z z 0 0 0 x 0 0 0 y 0 0 0 — 69 — 2 () () () () ()C = F x , y , z Υx , y , z - 2F x , y , z Υx , y , z Υx , y , z y y 0 0 0 0 0 0 y z 0 0 0 y 0 0 0 z 0 0 0 z 2() + F x , y , z Υ( ) z z 0 0 0 x , y , z , 则y 0 0 0 2 () () () 1当 A C - B > 0 时, 若A < 0, 则 f x , y , z 是极大值, 若A > 0, 则 f x , y , z 为 0 0 0 0 0 0 2 2 () () () 极小值; 2当 A C - B < 0 时, f x , y , z 不是极值; 3当 A C - B = 0 时不能断定.0 0 0 () ( 证: 由隐函数存在定理可知, Υx , y , z = 0 确定具有二阶连续偏导数的隐函数 z = 7 x , ) () () y , 满足 z = 7 x , y , 将 z = 7 x , y 代入 u , 得:0 0 0 () u = f [ x , y , 7 x , y ] au az 从而 = f + f x y ax ax u zaa + f = fyz ay ay 2 2 azaz azauaz) ()(= f + f + f + f + f 1x x x z z x y z z 2 2 ax ax ax ax ax 2 2 az azazz zaa) ()(= f x y + f x z + f z y + f z z + f z 2 x y y y x x y aaaaaaa2 2 az azazaz az) ()(= f + f + f + f + f 3y y y z z y z z z 2 2 ay ay ay ay ay ΥΥazx azy , 将 = - = - ax Υay Υ z z 2 22 ΥΥ- 2ΥΥΥ+ ΥΥx x z x z x z z z x az= - 2 3ax Υ z 2 22 ΥΥ- 2ΥΥΥ+ ΥΥy y z y z y z z z x az= - 2 3ay Υ z 2 2 ΥΥ- ΥΥ+ ΥΥ]Υ+ ΥΥΥx y x z y y z x z z z x y azz = -3 ax y aΥ z f z ()()() () () 代入 1、2、3式并利用 Κ= - 及 F = f x , y , z + ΚΥx , y , z 可得:Υz 2 1ua2 2 ) (= F Υ- 2F ΥΥ+ F Υr x x z x z x z z z x 2 2 ax Υz 2 1au2 2 () = F Υ- 2F ΥΥ+ F Υr y y z y z y z z z y 2 2 ay Υz 2 au 12 () = F Υ- F ΥΥ- F ΥΥ+ F ΥΥr x y z x y x z y z y z z z x y 2 ax ay Υz 2 2 2 a u a u u a = ΑC 从而 == Α!, == ΑB , =x = x x = x x = x 22 000 x yaaax ay y = y y = y y = y 000 1利用二元函数取到极值的充分条件可导出本定理的结论. > 0, 此处 Α= 2()x , y , z Υ z 0 0 0 参 考 文 献 1 同济大学数学教研室. 高等数学, . 北京: 高等教育出版社, 1989. 73 — 70 —