二维正态分布

二维正态分布 第14讲 二维正态分布 中心极限定理教学目的:了解二维正态分布，理解独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯 定理。 教学重点:独立同分布的中心极限定理。 教学难点:应用独立同分布的中心极限定理解决实际问。 教学学时:2学时 教学过程: 第四章 正态分布 正态分布 ?4.4 二维正态分布 定义 若二维连续随机变量的联合概率密度为 (X,Y) 22,,,,xyy2()()()x()rx,y,y,1x,[],,，1222,,xy,, xy2(1)(,),,rfxye 2,,,1,2r xy ( ) ,,,x,，,, ,,,y,，, 22则称服从二维正态分布，记作 。其中，,,,(X,Y)(X,Y)~N(,,,,,,,,r)xyxyx2 都是分布的参数。 ,,0, ,,0, |r|,1xy 满足概率密度的两条基本性质: f(x,y) (1)。 f(x,y),0 ，,，,(2)。 f(x,y)dxdy,1,,,,,, 下面我们来讨论二维正态分布的边缘分布问题。 随机变量X的边缘概率密度为 1u(x,y),，,，,f(x),f(x,y)dy,edy ,,,,,,X22,,,1,rxy 1 其中 22,,,rx,y,y,2()()(),x,()1xyyxuxy,,，(,)[]222,,,r2(1),,xyxy 2,y,,,()()x,rx,1y2xx [],，,22,,2(1),r,2yxx ,y,,r(x,)1yx设，则有 [,],t2,,yx21,r 22,,(),()xx,2xxt,,,2211,2,2，,xx2 ()fx,eedt,e,,,X2,,2,,xx由与的对称性可求得的边缘密度为 XYY 2,()y,y,212,y f(y),eY2,,y 由此可见，二维正态分布的两个边缘分布都是正态分布，并且可以知道 ,,E(X),,,E(Y),,,D(X),,,D(Y) xyxy 下面我们可以看到参数r为随机变量的相关系数。 X,Y cov(X,Y)E{[X,E(X)][Y,E(Y)]}R(X,Y),, D(X)D(Y)D(X)D(Y) ，,，,1 ,(x,,)(y,,)f(x,y)dxdyxy,,,,,,,,xy ,r (定积分计算略) 注 由第三章的内容可知，若随机变量X与Y相互独立，则相关系数;R(X,Y),0但是，当时，X与Y却不一定相互独立。然而，在正态分布的情形下，当R(X,Y),0 相关系数R(X,Y),r,0时，二维正态分布的联合概率密度可化为 22,()y,,)1x,yx[],，2221,,xy (,)fxy,e2,,,xy 2 22,()x,,()y,xy,,22112,2,yx. e,e 2,,2,,yx ,f(x)f(y).XY所以，若随机变量服从二维正态分布，则随机变量与相互独立的充要条件XY(X,Y) 是。 r,0 例1 若随机变量与相互独立，都服从正态分布，求随机变量 XYN(0,1) 22函数的概率密度。 Z,X，Y 解 由于与都服从标准正态分布，概率密度分别为 XYN(0,1) 22xy,,1122()()， fx,efx,eXY2,2,又随机变量与相互独立，联合概率密度为 XY 22x，y,12(,) fxy,e2, 22由此得随机变量Z,X，Y的分布函数 22 F(z),P(Z,z),P(X，Y,z)Z 当时，显然有;当时，有 F(z),0z,0z,0Z 22x，y,12 () Fz,edxdyZ,,2,22x，y,z 2,z,,2,z122 ,d,e,d,,1,e,,002, z所以的分布函数为 z,,2,1,ez,0 F(z),,Z ,0z0,, z由此得的概率密度为 3 z,,12,ez0, f(z),,Z2,0z0,, 注 若随机变量与相互独立，都服从标准正态分布，则随机变量函XYN(0,1) 222数的分布称为自由度为2的分布。 Z,X，Y, ?4.5 中心极限定理 n中心极限定理是研究在适当的条件下独立随机变量的部分和的分布收敛于X,ii,1 正态分布的问题。 定理1 (林德伯格(Lindeberg)—列维(Levy)中心极限定理)设相互独立的随 2机变量服从同一分布，且 ，，X,X,？,X,？E(X),,D(X),,,0,i,1,2,？,n,？12nii 则对于任意实数，有 x n,,,2X,nt,,,i,x1,,,i12 limP,x,edt,,,,,,,n,2,n,, ,,,, 定理的略，仅对定理的含义作一些说明。 n 设，则有 Y,X,ni,1i nn E(Y),E(X),E(X),n,,,nii,,11ii nn2 D(Y),D(X),D(X),n,,,nii,,11ii 2 ,(Y),n,,n, n n ,Xn,,iYE(Y),,1nni又设随机变量，则Z的分布函数 Z,,nn,(Y)n,n 4 n ,X,n,i,1i F(x),P(Z,x),P(,x)Zn,n 趋于标准正态分布函数。 结论 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为X,X,？,X,12n n2，但分布函数未知。当充分大时，随机变量的和将近X,X,？,Xn,,0Y,X12n,ni,1i 2似地服从正态分布。 N(n,,n,) 推论 设相互独立的随机变量服从同一分布，已知均值为，方差为X,X,？,X,12n 2n,12，但分布函数未知。当充分大时,近似服从正态分布N。 (,)n,,0X,X,,inn,1i 由推论知，不论服从什么分布，只要它们相互独立且服从同一分布，X,X,？,X12n 则它们的平均数X，当充分大时，总是近似地服从正态分布。 n 例2 某单位内部有260部电话分机，每个分机有4%的时间要与外线通话，可以认为每个电话分机用不同的外线是相互独立的。问总机需备多少条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候? 第个分机要用外线1k,解 令，是260个相X,X,？,XX, (k,1,2,？,260),12260K第个分机不用外线0k, 互独立的随机变量，且。表示同时使用外线的分机E(X),0.04m,X，X，？，Xi12260 数，根据题意应确定最小的使P{m,x},95%成立。由上面的定理知 x 2t,,,b2602601m,px,p,,2{} Pm,x,P,,edt,,,,,260(1)260(1)2,p,pp,p,,,, 查得,(1.65),0.9505,0.95，故取。于是有 b,1.65 x,b260p(1,p)，260p,1.65，260，0.04，0.96，260，0.04,15.61也就是说，至少需要16条外线才能95%满足每个分机在用外线时不用等候。 例3 用机器包装味精，每袋净重为随机变量，期望值为100克，标准差为10克， 5 一箱内装200袋味精。求一箱味精净重大于20500克的概率。 解 设一箱味精净重为克，箱中第袋味精的净重为克，。则XXk,1,2,？,200kk 是相互独立的随机变量，且，。X,X,？,XE(X),100,D(X),100k,1,2,？,20012200kk故 E(X),E(X，X，？，X),20000,D(X),20000,D(X),100212200 因而有 P{X,20500},1,P{X,20500} X,20000500,, ,1,P,,1,,(3.54),0.0002,,10021002,, 定理2 (德莫佛(De Movire)—拉普拉斯(Laplace)中心极限定理)设在独立 试验序列中，事件发生的概率为，随机变量表示事件在次试验中AA(0,p,1)pYnn发生的次数。则对任意实数，有 x 2t,,,xY,np1,,n2lim P,x,edt,,,,,,,n(1)2,np,p,,,, 证 随机变量表示事件A在第次试验中发生的次数，则这些随机(i,1,2,？n,？)Xii 变量相互独立，服从相同的“0-1”分布，且有， E(X),p,D(X),p(1,p),i,1,2,？,n,？ii n 则。由定理1知 Y,X,ni,1i n,,2X,npt,,,i,,,xY,np1,,,,,ni12 limlimP,x,P,x,edt,,,,,,,,,,,nn(1)(1)2,np,pnp,p,,,,,, ,,,, A注 在次独立试验中，事件发生的次数。定理2说明:当充分大Y~B(n,p)nnn 时，服从二项分布的随机变量将近似地服从正态分布。一般来说，当较大时，二Ynn 项分布的概率计算非常复杂，这时我们可以用正态分布来近似地计算二项分布。计算 公式为 n2m,npn,npn,np,kknkn12Cp,p,Pn,m,n,P,, (1){}{},n1n2np,pnp,pnp,p(1)(1)(1),kn1 6 n,npn,np21 ,,,,()() np,pnp,p(1)(1) 例4 设随机变量服从，求。 XB(100,0.8)P{80,X,100} 解 80,npX,np100,np P{80,X,100},P(,,) np(1,p)np(1,p)np(1,p) 100,8080,80 ,,(),,() 100，0.8，0.2100，0.8，0.2 ,,(5),,(0),1,0.5,0.5 例5 某电站供应10000户居民用电，设在高峰时每户用电的概率为0.8，且各户 用电量多少是相互独立的。求: (1) 同一时刻有8100户以上用电的概率。 (2) 若每户用电功率为100W，则电站至少需要多少电功率才能保证以0.975的 概率供应居民用电, 解 (1)设随机变量表示在10000户中同时用电的用户，则于YY~B(10000,0.8),nn 是。 np,10000，0.8,8000,np(1,p),10000，0.8，0.2,40所求概率为 Y,npn P(8100,Y,10000),P(2.5,,50)nnp(1,p) , ,(50),,(2.5),1,0.9938,0.0062(2)若每户用电功率为100W，则户用电功率为100W。设供电站功率为W,则YYQnn由题意得 Y,npQQ/100,8000n P(100Y,Q),P(Y,),P(,)nn10040np(1,p) Q/100,8000, ,(),0.97540 Q/100,8000查表可知，故，。所以，电站供电功率,(1.96),0.975Q,807840,1.9640 不应少于807.84kW。 7 8