毕业论文—求最值问题的方法与应用

毕业论文—求最值问题的方法与应用 (封面小样) 高 等 教 育 自 学 考 试 论文题目:求最值问题的方法与应用 作者姓名:丁亚飞 专 业: 数学教育 主考学校:兰州大学数学与统计学学院 准考证号: 432411205035 指导教师姓名职称: 赵敦 甘肃省高等教育自学考试办公室印制 2012年 12 月 12 日 1 (扉页小样) 数学专业 XX专业 本科论文 论文标题(中学数学中求最值问题的方法与应用) 论文标题 (Zhongxueshuxuezhongqiuzuizhiwentidefangayuyi ngyong) 论文作者(丁亚飞) 论文作者(Dingyafei) 2 (目录小样) 目 录 内容摘要„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 正文目录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 注 释„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 参考文献„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 附 录„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 后 记(致谢)„„„„„„„„„„„„„„„„„„(?) 3 (正文小样)求最值问题的方法与应用 ——中学数学中求最值问题的方法与应用 (丁亚飞) 内容摘要:最值问题是中学数学中一类综合性很强的问题，在整个学习过程中都有出现。它涉及数学知识)方法、思想较多。是中考及高考的热点问题，突出了对学生数学素质的考察。探索解析几何、三角函数等中求最值问题的数学思想方法和规律，最终达到应用的目的。 关键词: 最值;单调性;均值;方法与应用; 第1章 绪论 在研究领域、现实生活中，我们常会碰到一些有关事件的范围问题，也就是事件的最值问题、最优化、最省等的问题，当然，早学习数学的过程中，我们也常常碰到求函数的最值的求法及技巧。最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，考察学生的分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多思想和方法，还可以考察学生的思维能力，实践和创新能力。因此熟练的掌握各类最值的求法及技巧。使学生便于掌握，遇到题目，不慌不忙，提高学生解题能力。在实际应用问题中，关于最优化问题，通过建模可化为最值问题。以便于学生把理论联系实际。在中学数学的学习中，我们常遇到最值问题的类型及解法有，三角函数的有界性、换原法、运用二倍角公式。数形结合。函数的单调性、均值不等式。下面，我根据自己查阅资料和体会，来更好的使学生轻易的掌握最值的求法，我将系统的归纳最值的求法。 第2章 初中数学中的最值问题 4 在初中，对于二次函数的掌握是重点也是中考的考点，在求二次函数的最值方面，利用了二次函数的性质、图像、单调性、判别式法。便于同学们解决二次函数最值方面的问题。 2.1 有关二次函数的的最值问题 2.1.1 用配方法求二次函数的最值问题 配方法的一般步骤为:A.把二次函数的系数提出来;B.在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去，以保值不变。 2例1:求函数y=3x+12x+2的最小值 解: 2y=3(x+4x)+2…………………………………………………………………………… 222=3(x+4x+2-2)+2 2=3(x+2)+2 2,2显然3(x+2)+2 ,,,2，,所以:y，故所求函数的最小值为2 12y例2 =-+ xxx 2,,12，，x,1,x,, =++1 ,,x,, 1yx,由上式可知，当x-1=0且=0时 ，即x=1时，取得最小值1 x 2.1.2 用二次函数单调性求二次函数的最值 ,运用二次函数的图像以及基本性质，当0时，开口向上，有最小值。反a 之，时，图像开口向下，有最大值。 a,0 2例1 已知函数y=x-4，求函数的最值。 ,，,,0，,解:显然x在x上单调递增，故x=0处取到最小值。 即y=-4 2，，fx,x,2x，2例1. 求函数在区间[-1,4]上的最大值和最小值。 2解:原式可变为，其对称轴为，开口向上，所以当 ，，，，fx,x,1，1x,1x,1 ，，，，，，，，fxf,1,5,f4,10fx时，取得最小值为1，又，所以当时取得最大x,4 5 值为10。 2.1.4 用判别式发求最值 众所周知，如果一元二次方程有实数根，那么判别式，我们可利用这个性质求代数式的极值或取值范围。它的基本思路是由一直条件构造一个有实数根的一元二次方程，然后利用判别式列所求代数式的方程，从而求出代数式的极值或取值范围。 22y例1. 求函数=的最大值 3x,6x，11 2，，，，y,6x，2y,12x，2y,10,0解:将原式整理，化简得 2由于为实数，得 x，，，，，，,,2y,12,4y,62y,10,0 2y,10y，24,0整理得， 解得， 4,y,6 将带入原方程得，， y,4x,,1 y,4故当时， x,,1min 二次函数在闭区间的最值 此类型题目的对称轴和区间都是确定的，因而二次函数的最值也是确定的，直接观察二次函数在区间上的图像即可。 2y,2x，x,3y,,x,,1,2例1 已知函数，，求的最大值和最小值。 1251解:对称轴，由数形结合可知，时，，， x,,,,x,,,,1,2y,x,2min484 y,7。 max 2,,2,5例2 求函数y=-3x+6x+2在区间的最小值 b解:函数y的对称轴是x==3， ,2a ,,2,3故函数y在区间上递增; ,,3,5 函数y在区间上递减; 当x=2时，y=2; 当x=5时，y=-43; 2,,2,5所以，函数y=-3x+6x+2在区间的最小值为-43. 第三章 高中数学中的最值问题 6 在高中数学中，我们常遇到的最值问题的类型有，三角函数求最值、均值不等式、导数、解析几何中求最值。本章系统详细的总结和归纳函数最值的求法，便于学生掌握。 3.1 有关三角函数的最值 三角函数是数学中重要的函数概念，学习并掌握三角函数知识点对学好数学有着很重要的作用，三角函数和其它数学知识有密切联系，且常常在学和研究其它数学知识有着广泛的应用。三角函数的最值问题是对三角函数的概念、图象与性质以及诱导公式、同角间的基本关系、两角的和与差公式的综合考查,也是函数思想的具体体现(解决三角函数的最值问题可通过适当的三角变换,化归为某种三角函数形式,再利用三角函数的有界性去处理,这样就能将复杂的试题转换为我们熟悉的类型，以便于解答。 3.1.1 利用三角函数的有界性求最值 acosx，casinx，c对于形如或的函数，利用三角函数的有界性，y,y,bsinx，dbcosx，d 求出或，再利用及，从而求得函数的最值。 cosxsinx,1,sinx,1,1,cosx,1 2sinx-5例1 求三角函数y=，xR的最值. ,sinx，1 y，5y，52sinx-5？,1,,1 解: 将y=变形为sinx=， ，? ？sinx,12,y2,ysinx，1 33解得:y,,，所以函数的最大值为，无最小值。 ,22 3.1.2 利用换元法求三角函数的最值 三角代换也是求最值常用的一种换元方法，在解某些代数问题时，选用适当的三角函数进行换元，把三角函数问题转化为代数问题，充分利用三角函数的性质去解决问题。 对于同时含有的函数求最值问题，通常用换元法换去sinx,cosx与sinxcosx 低次项，再将函数化为二次函数求最值，在换元过程中要注意换元前sinx,cosx 后新换元的取值范围 12u,sinx,cosy例1. 已知求的最大值 sinx，siny,,3 1siny,t,则t,[,1.1]解:设 由已知条件得 sinx,,t3 7 ,1,t,1,2, 解得 ？t,[,,1]1,3,1,,t,1,3, 2u,sinx,cosy 12= ，，,siny,1,siny3 22= t,t,3 2111,,= t,,,,212,, 242当即sin,1,sin,,,, t,,xy时umzx3393.1.3 利用三角函数的单调性求最值 ,,的单调增区间是[,](),减区间是y,sinx,，2k,，2k,k,z22,,3[,]()。 ，2k,，2k,k,z22 y,cosx的单调增区间是[,2](),减区间是k,z,，2k,,，2k,[,]()。 2k,k,z,，2k, 2y,sinx，例2. 已知求函数的最小值 x,[0,,],sinx解:，?x,[0,,],? t,[0,1],sinx,t 2,sinx，，，，y,sinx,cosx2,2解:将看成单位圆上的点与定点连线的斜率，将函2,cosx ，，2,2数的问题转化为斜率的最值，只出过定点且与单位圆相切的直线的斜 率即可。 ，，y,2,kx,2设切线方程为，即kx,y，2,2k,0，则有 22,k4747，,47,,y,y,1,，? ,k,maxmin23331k， 3.2 均值不等式求最值 运用基本不等式求最值是高中阶段一种常用的方法，其约束条件苛刻。均值 8 不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式” 转化为“和式”的功能，但一定要注意使用的前提:“一正、二定、三相等”。所谓“一正”是指“正数”;“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值;“三相等”是指满足等号成立的条件，常见的形式如下。 a，b 二元均值不等式?ab(a>0,b>0,当且仅当a=b时取等号) 2 “一正、二定、三相等” 某工厂要建造一个长方体无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深为3米.如果池底每一平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元.问怎样设计水池造价最低, 0 解:设水池地面一边的长度为x米，水池的总造价为y元，根据题意得: 16001 y=240000+720(x+) x 1600，2x， ?240000+720 x =240000+720 ，2，40 =297600 1600当x=，即x=40时，y有最小值297600. x 因此，当水池的底面边长为40米的正方形时，水池的总造价最低. 导数在闭区间的最值 3，，fx,x,x,x,[0,2]例1. 已知函数上的最大值和最小值 ,,332,,,,，，fx,1,3xx,,x,,舍去，，fx,0解:，令，得 ,,33,, ,,323,,f,，，，，f0,0,f2,,6?，; ,,39,, 23?所求最小值为-6，最大值是. 9 3.3 用线性求最值 这类问题通常以实际问题为背景，考察运用线性规划的有关知识 9 求目标函数的最值，其解题的一般思路是画出可行域，求与最值有关的交点坐标，代入坐标求出最值。 例题:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下: 规格类型A规格 B规格 C规格 钢板类型 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要A,B,C三种规格的成品，分别15,18,27块，问这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使用钢板张数最少, 解:设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，则: , 2x+y15， x+2y ,18， ,x+3y27， ,,x0y 注释:[1]作者. 书名. 出版社名(或期刊名).出版时间(或期刊号).页码(每一项用“.”称号隔开) 参考文献: [1]作者.书名.出版社名.出版时间 [2]作者.论文名.期刊名.期刊号.出版时间 附录 后记 10 论 文 评 定 表 姓名 专业名称 主考学校 准考证号 写 作 部 分 答 辩 总 评 定 立论 组织 语言 回答 表述 发挥 计 项 观点 结构 表达 问题 能力 水平 目 30% 20% 20% 20% 5% 5% 100% 得分 指 导 教 师 评 语 签名: 11 答辩 委员 会评 语 答辩委员会组成及签名 职称:,,,,,, 签字:,,,,,,,,,,,, 职称:,,,,,, 签字:,,,,,,,,,,,, 职称:,,,,,, 签字:,,,,,,,,,,,, 年 月 日 甘肃省高等教育自学考试本科生毕业论文 打印要求 1、 本科生毕业论文的纸张统一采用A4纸规格。 2、 本科生毕业论文由封面、扉页、摘要、目录、正文、注释、参考文献、 后记等部分组成。 3、 摘要只要中文摘要。 4、 论文中一级标题用黑色3号字，二级题为宋体4号字，正文用宋体小 4号字，行距为固定值22。 5、 论文篇幅过长时，用正反两面印刷。 12