★三角函数求最值问题

★三角函数求最值问题 三角函数求最值问题 编写者:沈幼妹 知识目标:能熟练掌握求三角函数最值的几种类型及，进一步深 化求三角函数最值时的一些变换，掌握三角函数有界性在 求三角函数最值时的作用; 能力目标:培养对三角函数基本知识的综合应用能力，培养对换元、 数形结合思想的应用能力，培养独立归纳、思考的自学能 力; 情感目标:在体验教学活动的过程中，激发学习数学知识的积极性， 树立学好数学的信心。 重点:求三角函数最值的几种常见类型 难点:三角知识在求最值时的综合应用 三角函数是高中数学中重要的内容之一，而最值问题的求解是三角函数的重要题型，在近几年的高考题中经常出现，极具灵活性。现举例说明解决这种题型的若干方法，供大家参考。 一:利用三角函数的有界性 y,3sinx，1例1、函数的最大值为__________; y,asinx，1变式、函数的最大值为____________; 小结:对于“一次类型”可利用正弦函数和余弦函数的有界性求三角函数的最值。 二:利用配方法 例2. 求函数的最值。 解:将函数化为， 配方得 当 当 变式1、求函数的最小值; y,cos2x,cosx，2 2y,cosx,2acosx,a变式2、求函数的最大值; 2a变式3、有实数解，求的取值范围; sinx，cosx，a,0 2yaxbxc,，，sincos小结:型的函数，用角的变换“化二为一”，则问题转化为闭区间上的二次函数的值域问题。 三: 化为一个角的三角函数 ,例3: 如何求函数的最大值和最小值, yxx,，,sincos()6 33,,,,，，,，,，yxxxxxxsincoscossinsinsincos3sin()解: 66226 ,2,y,,3()kZ,()kZ,当xk,，2，，当,,，( xk2y,3,,minmax33 y,3sinx，cosx变式1、函数的最大值为____________; π,,2fxxx()2sin3cos2,，,fx()变式2、函数，求的最大值_____; ,,4,, 小结: y=asinx+bcosx型函数的特点是含有正余弦函数。解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种形式的三角函数。 应 b22用公式:asinx+bcosx=sin(x+φ),(a,b?0,其中tanφ=) a，ba 拓展引申: y,sinx,cosx，sinxcosx求函数的最大值和最小值。 分析:达式含sinx–cosx和sinxcosx，应考虑到其内在关系，考虑用换元法 2,t1,xx,sincost,sinx,cosx,2sin(x,)解:设，则,2,t,2，且。 24 21,t12y,1y,t，,,(t,1)，1max由于，故当t=1时，;当时，t,,222 12y,,,。 min2 sin,，cos,，sin,,cos,，sin,cos,小结:这三者之间有着相互制约，不可 sin,cos,分割的密切联系。是纽带，三者之间知其一，可求其二。 若表达式中出现sinx，cosx，sinxcosx函数，属与 y,sinx,cosx,bsinxcosx型函数;应考虑到其内在关系,利用换元 来求函数最值. 四:利用数形结合 例4. 求函数的最值。 解:原函数可变形为这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质， sin2,，变式 求函数的最值。 y,cos3,, 五. 利用换元法 例5. 求函数的最值。 解:令，则 由于，故 2变式:求函数的最值。 yxx,，,31