微分中值定理“中间点”的渐近性

微分中值定理“中间点”的渐近性 微分中值定理“中间点”的渐近性 第l7卷第5期 2001年l0月 工科数学 joURNAIOFMATHEMATICSFORTECHNOLOGY VoI_l7.Ng_.5 Oct.2001 微分中值定理"中间点"的渐近性 高国成 (山东科技大学济南校区公共课部.济南250031) [摘要]本文在一般情况下讨论了微分中值定理"中间点的渐近性,给出了具有普遍意义的结果 [关羹词]微分;中值定理;渐近性 [中围分类号]O172[文献标识码]C[文章编号]1007—4120(2001)05—010203 1引言 微分中值定理是微分学的理论基础,是沟通函数与导数的桥梁,不但在理论上处于很重要的地位. 而且具有十分广泛的应用. 下面.我们引述两个众所周知的微分中值定理. Lagrange中值定理如果函数F(f)在闭区间.]上连续,在开区间(d,)内可导.那么在开区间 (n,z)内可导,那么在开区间(.)内至少有一点},使等式 F(x)F(d)一F()(—日)(1) 成立. Cauchy中值定理如果函数F(f)与G(f)在闭区间.]上连续.在开区间(d.)内可导.且G(f) 在(.)内的每一点处均不为零,那么在开区间,z)内至少有一点.使等式 G(})(2) 成立. 对于微分中值定理"中间点"的渐近性,多位学者进行了研究:,得到了一些有意义的结论.本文给 出一般性的结果. 2主要定理 定理1设函数F(z)与G(z)在点的某邻域内分别有直到+l阶和m+l阶导数,在点n的某去 心邻域内G()?0;F"(d)一0(1.2,„,;?1),G(d)一0(—l,2,„,;?1).F十?()与 G)在点d处连续.且F""(d)?G'(d)?0,则当m?时.对于Cauchy中值定理确定的数}, 有 暑一(„—dl十』 定理2设函数F()与G(z)在点的某邻域内有直到+r+l阶导数,在点n的某去心邻域内 ()?0;F"(口)一G"(d)一0(1.2,„,;?1),F,+1()与G一+"()在点d处连续(r?1); F"(d)一G+.(d)一0(1?J?r).则对于Cauchy中值定理确定的数},当F+.(d)G'?(d) [收藕日期]2000—11—12 第5期高国成:檄分中值定理"中间点"的渐近性l03 G_.(d)F"_.(口)?0时,有 暑一(;丽n~l„一口十PlI 定理3设函数F()在点的某邻域内有直到一1阶导数.F"(口)一0(izl,2,„,;?1),在点 口的某邻域内G()可导且G()?0,F"_.()与G'()在点口处连续t蚵0当G(口)F_.(?)?o时,对于 Cauchy中值定理确定的数{,有 1.alI 一雨j' 定理4设函数F)在点n的某邻域内可导且F(n)?o;函数G(z)在点的某邻域内有直到+ l阶导数,G")一0(=l,2,„,,?1),在点d的某去心邻域内G(z)?0,F)与G"")在点" 处连续,则当F(口)G(d)?0时,对于Cauchy中值定理确定的数},有 . }一口f]Ii1 —I—n+—lJ' 定理5设函数F(z)与G()在点n的某邻域内有直到+l阶导数,在点n的某去心邻域内G ()?0,F"(口)一G"(口)一0(2,„,),F")与G州()在点n处连续,则对于Cauchy中值定 理确定的数,当F)G"(d)F"(4)G妇)?0时,有 . 一 口f1l音 一;雨』' 推论l设函数F()在点d的某邻域内有直到+l阶导数,F"(n)一0(一2,„.),F_-()在 点&处连续,F"(口)?O,则对于Lagrange中值定理确定的数,有 暑一(.一一口ln十Jf 推论2设函数F)与G()在点n的某邻域内有二阶导数,在点口的某去心邻域内G()?0, G()与F")在点口处连续.则对于Cauchy中值定理确定的数},当F(d)G(口)一F(d)G(口)?0时, 有 暑一丢.一z口 3定理的证明 令F')=,(,Gc)一g(x),则式(2)变形为 g(e)Jof(删,(Jg(删,? 定理1的证明由已知条件,我们可写出,()和g()的泰勒展开式 f(t)=()一( 其中f【,c2?(口,). ,n)出=1)(一 ?:)(f. 将以上各式代人(3)式,可得 ()1)(一一())(f 因?,将上式两边同除以(x-n)一(一),并令—n,利用罗比达法则可推出 (3) (4) (5) 104工科数学第17卷 警1一-4-暑厂.!()!!(?1)!l—dJ. 由F一"(口)时(d)?0知f(日)g(口)?0.因此有 .. d—m-4-11II h „ rn— 32- — a一玎』' 定理2的证明由已知条件.我们可写出,()和g()的泰勒展开式 ,")一(„H(„一.~rJ, )一(一H(一??(". ,.出一鲁c32--0+三g}—一, c出=c—n-+出. 将式(6)(9)代人(3)式,并化简,得 等c一„+c— + 苫写字c一专孚c一一rd ==(x--a一-c—n+ _[+c]c_fc一. (n)g一(口)一f(日)(d) (-4-1)!(-4-r)j 由")G一件(n),G什)F„ 定理34,5的证明类似,略去 lira』,(n)g一(口)g(d),一(?) !(-4-r-4-1) )?O知f"(d)g(d)一g"),(d)vaO,由此可得 l}m:c--a=(n.4.+1I1'1r\十r十lf [参考文献] [1]李文荣.关于推广的积分中值定理的一个注记口].工科数学,2000.16(3):1l0一l11. :2]饪林,戴正簿等.数学分析问题研究与评注(第一版)[M].北京:科学出版社,1995,138 3]沈永欢.粱在中等.实用数学手册(第版)[M].北京:科学出版杜,1992.164168. AsymptoticPropertyofMid—Valueon theMeanValtieTheoremforDifferentiaIs GAOGuocheng (DepartmentofBasicCourses,ShandongUniversityofScienceandTechnology.Jinan2500 31) Abstract:Inthispaper.westudytheasymptoticofmid—valueontheme[tnvaluetheoremfordifferentials. Keywords:differentialcalculus;me~.nvaluetheorem{asymptoticproperty (6) (7) (8) (9)