2018年高考数学 黄金100题系列 第37题 三角形中的不等问 理.doc

2018年高考数学 黄金100题系列 第37题 三角形中的不等问 理.doc 第 37题 三角形中的不等问题 I(题源探究?黄金母题 精彩解读 3.8n mile【例1】海中一小岛，周围内有暗礁，海轮【来源】人教版A版必修5第24 页复习参考题A组第2题( 由西向东航行，望见该岛在北偏东70?，航行 【母题评析】本题考查利用正余弦定8 n mile以后，望见这岛在北偏东60?，如果这艘轮 船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险, 理解与三角形有关的综合问题，是常 考题型( C【解析】根据题意作出如图所示，其中设为岛所在 C位置，是该轮船航行前后的位置，过作A,BC【思路方法】根据题意画出图形，CD,ABAB,8于，根据题意知，在?ABC中，，D A,B为岛所在位置，是该轮船航行前，CAB,20:，ABC,150:，， ，ACB,180:,，ABC,，CAB?=10?，?CCD,ABD后的位置，过作于，CBD=30?， AB,8根据题意知，在?ABC中，，BCAB,由正弦定理得，， sin，CABsin，ACB，CAB,20:，ABC,150:，，要 ABsin，CAB8sin20:BC,?=?15(7560， 判断是否触礁，即需要计算C点到直sin，ACBsin10: CD,BCsin，CBD,??7(878,3(8， 线AB的距离CD，在?ABC中利用正弦?没有触礁的危险( 定理计算出BC，在通过解直角三角形答:没有触礁的危险( 即可求出CD( II(考场精彩?真题回放 ,【例2】【2016年高考北京理数】在ABC中， 【命题意图】本题主要考查利用正余222acbac，,，2 ( 弦定理和三角公式求与三角形有关的，B(1)求 的大小; 三角式的范围问题，考查运算求解能 coscosAC，2(2)求 的最大值( 力，是中档题( 【解析】(1)由余弦定理及题设得 222acbac，,22【考试方向】这类试题在考查题型上，cosB,,,， 222acac 1 通常以选择题或填空题或解答题的形,，,B又?，?;(2)由(1)知0,，,B,4式出现，难度中等，考查学生利用正 3,余弦定理及相关知识解决与三角形有，，，,AC， 4关的综合问题( 3, 2coscos2coscos()ACAA，,，,4 【难点中心】解答此类问题的关键是22 ,,，2coscossinAAA22熟练学三角恒等变形能力，形成解题 22,的模式和套路 ,，,,，因为cossincos()AAA224 3,,0,，,A，,A，所以当时，44 1取得最大值( 2coscosAC， 【例3】【2016高考山东理数】在?ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 tantanAB2(tantan).AB，,， coscosBA (?):a+b=2c; (?)求cosC的最小值( ,【解析】由题意知，， sinsinsinsinABAB,,， 2，,，,,coscoscoscoscoscosABABAB,, 化简得 2sincossincossinsinABBAAB，,，， ，， 2sinsinsinABAB，,，即( ，， ABC，，,,因为，所以 sinsinsinABCC，,,,,( ，，，， sinsin=2sinABC，从而(由正弦定理得 abc，,2( ab，c,(),由(),知， 2 2ab，,,22ab，,,,222abc，,2,,？,,cosC22abab 2 311ba,,ab,，当且仅当时，等号成,，,,,,842ab,, 立( 1cosC故 的最小值为( 2 ,ABC【例4】【2015高考湖南，理17】设的内角，A CbabA,tan，的对边分别为，，，，且acBB为钝角( ,,,(1)证明:BA; 2 sinsinAC，(2)求的取值范围( abA,tan【解析】(1)由及正弦定理，得sinsinAaAsincosBA,,,，?，即cossinAbB ,sinsin()BA,，， 2 ,,,，,A(,),，BA又为钝角，因此，故，,B222 ,,,BA即( 2 (2)由(1)知，， CAB,,，,() ,,,,，,,,(2)20AAA,(0,)，?， ,422 于是 ,sinsinsinsin(2)ACAA，,，,=2 sincos2AA， 1922,，，,,,，2sinsin12(sin)AAA=， 48 ,20,,A?，?， 0sin,,A42 21992因此，由此可知,,,，,2(sin)A2488 3 29sinsinAC，的取值范围是( (,]28 III(理论基础?解题原理 考点一 三角形中的不等关系 1(任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边; 00002(任一角都大于0而小于180，任意两角之和也是大于0而小于180;3 0,sinA,13((设角A是一三角形的内角，则; 004(在锐角三角形中，任意两角之和也是大于90而小于180; 5(在同一三角形中大边对大角，大角对大边 考点二 与三角形有关的综合问题类型 常以三角形中的不等和最值问题为载体，考查运用三角变换、正余弦定理、基本不等式、平面向量等知识和方法求取值范围或值域或求值，要求学生有较强的逻辑思维能力、三角恒等变形能力以及准确的计算能力(对这类问题要认证读题，利用相关知识将条件转化为三角形的边角条件，利用正余弦定理，将问题转化为三角形的纯边或纯角的函数问题，再利用基本不等式或函数求值域的方法处理之( IV(题型攻略?深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，一般中档题，考查综合运用正余弦定理及相关知识与方法解综合问题的能力( 【技能方法】 1(与平面向量结合的三角形问题，常利用平面向量的知识将向量条件或问题化为三角 ,ABC形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解，如在中， 222222uuruuruuruurabcabc，,，,CACBCACBCabCab,,,,,coscos由( 22ab 2(与数列结合的三角形问题，常利用数列的相关知识将条件或问题转化为三角形的边角条件或问题，再利用正余弦定理化为纯边或纯角条件或问题求解( 3(三角形中的取值范围问题或最值问题，常常利用正余弦定理化成纯边问题，利用基本不等式或重要求最值，或者化成纯角问题，利用三角公式化成一个角的三角函数，利用三角函数的图像与性质求最值，要注意角的范围( 【易错指导】 在求与三角性有关的最值(范围)问题时，常先利用正余弦定理将其化为角的三角函数，再利用三角形内角和定理消去角的个数，结合题中的条件和消去角的范围确定留下角的范围，利用三角函数图像与性质求解，最容易出现的错误?没有进一步确定留下角的范围;? 4 在求最值时没有结合三角函数图像求最值而是直接代角范围的端点值，应尽量避免之( V(举一反三?触类旁通 考向1 关于三角形边的代数式的范围(最值)问题 4,,,2【例5】【2017黑龙江哈尔滨九中二模】设函数( ,,，fxxxcos22cos，，,,3,,(1)求的最大值，并写出使取最大值时的集合; fxfxx，，，， 3,ABC(2)已知中，角的边分别为，若，求fBCbc，,，,,2aABC,,abc,,，，2 的最小值( ,【】(1)2， ;(2)1( {|,}xxkkZ,,,,6 试题解析:(1) ？ 444,,,,,,,2 ,,，,，，，fxxxxxxcos22coscos2cossin2sin1cos2，，，，,,,,333,,,, 13,,, ,,，,，，cos2sin21cos21xxx,,223,, ？fx的最大值为2( ，， ,,,,fx要使取最大值， ， cos21,22xxkkZ，,，,,,，，，，,,33,, ,{|,}xxkkZ,,,故的集合为 x,6 ,3,1，，,,(2)，即( cos22,，,AfBCBC，,，，，,cos21,，，，，,,,,3232,,，， ,1,,化简得 cos2A,,,,32,, ,,,,,,5,,2,AA,,,，只有( ？AA,？,,,0,,2,,，，,,333333,, ,2222,ABCabcbcbcbc,，,,，,2cos3在中，由余弦定理， ( ，，3 2bc，,,2bc，,2bc,,1a,1由知，即，当时a取最小值1(， bc,,1,,2,, ,ABCCAB【例6】【2017山西怀仁县一中高二上期开学考】在中，角、、的对边 bbCbCaccos3sin0，,,,ac分别为、、( ，已知 B(1)求; 2ac，b,3(2)若，求的取值范围( 5 (2)由(1)得: b， 22,222sinsin5sin3cos27sinRacRACAAA,,，,，,，,，,，，，，sinB 352,,,其中，( ,,,，,？sin,cos0,,27sin3,27AA,,,，，，，,,32727,, 【方法】对于三角形中边的代数式的最值问题，若是三角形中最大(小)边长问题，先根据角判定三边的大小关系，再用正弦定理或余弦定理求解;若是关于两边以上的齐次代数式，若能求得两边的和或积为常数，可以利用基本不等式求最值，也可以利用正弦定理化为对应角的三角函数式的最值，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围( 【跟踪练习】 ,ABC【2016湖北华中师大一附中高三五月适应性考试】在中， 13tanA,,cosB,10，若最长为，则最短边的长为 ( 1210 5【答案】 5 考向2 关于三角形角的三角函数式的范围(最值)问题 【例7】【2017贵州遵义一联】已知在中，角、、的对边分别为、、aAB,ABCCb 2 c2sin3cos0ABC，，,，，，且( A(1)求角的大小; ,ABCsinsinBC，(2)若的面积，求的值( Sa,,53,21 222sin3cos0ABC，，,2cos3cos20AA，,,【解析】(1)由，得，即，， 6 1cos2A,,，解得或(舍去)，因为2cos1cos20AA,，,cosA,，，，，2 ,( 0,,,？,AA,3 1133bc,20(2)由，得(由余弦定理，得SbcAbcbc,,，,,,sin532224 2222abcbcAbcbcbc,，,,，,,？，,2cos321,9(由正弦定理，得，， bcAsin397( sinsinsinsin9BCAAbc，,，,，，,，,，，aaa14221 【方法总结】对于三角形中角的三角函数式的最值问题，若是三角形某个角余弦的最值问题，常用余弦定理化为边，利用基本不等式求最值;若是含有多个角三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围( 【跟踪练习】 112cosB，,【2017重庆一中高二下学期期中】在中，已知，则,ABCtanAtanCtanB的最小值为( ) 2211A( B( C( D( 3432 【答案】D 112coscos2cosACB，,，,【解析】由有，通分化简有tantantanACBsinsinsinACB 22sin2sinsincosBACB,bacB,2cos，由正弦定理有，由余弦定理有 22222acb，,acac，211222cosB,bac,，()cosB,,,?，化简得，代入?有，22ac442acac 1cosB所以的最小值为，选D( 2 考向3 关于三角形面积的最值问题 ,ABC【例8】【2017河北石家庄二中三模】如图，在 中，角ABC,, 的对边分别为 absinC,，cosCabc,, ， ( ，， 7 (1)求角 的大小; B ,,ABCABCD(2)若 为外一点， ，求四边形面积的最AD,,DBDC,,2,12 大值( ,5【答案】(1)(2) ,B，244 ,ABC试题解析:解:(1)在absinC,，cosC 中， (有，，sinABsinCCsinBCsinBsinCC,，，,，sincos,cos ， ，，，，，， cosBsinB,tan1,0,BB,,, ，则 ，即 ，则？,,cos,0BsinCsinBsinCsinC，，,,B ( 4 ,BCD(2)在 中， ,222,A ，又 ， BDDCBCDD,,？,，,，，，,,2,1,12212cos54cos2 11152,ABCSBCBCBCD,，，，,,,cos则为等腰直角三角形， ，又,ABC2244 155,,,SBDDCsinDsinD,，，, ， ， SDsinDsinD？,,，,，,cos2,BDCABCD,,2444,, 3,5ABCD,D，2当 时，四边形 的面积最大值，最大值为( 44 【跟踪练习】 ABCD1(【2017江西质检】如图所示，在平面四边形中，，，AB,4AD,2 ,,ABCD，,DAB60，,BCD120，，则四边形的面积的最大值是 ( 8 【答案】( 33 【方法总结】对三角形中面积的最值问题，若一角为定值，常用余弦定理及基本不等式求出这个角两边积的最值，即可利用面积公式求出面积的最值，也可以利用正弦定理化为对角的三角函数式的最值问题，常用题中条件和三角形内角和定理化为一个角的三角式函数最值问题，再利用三角公式化为一个角的三角函数在某个范围上的最值问题，再利用三角函数图像图像与性质求最值，注意要根据消去角的范围确定留下角的范围;若邻边的积为定值，先求出夹角的正弦的取值范围，即可求出三角形面积的最值( ,ABC2(【2017云南玉溪三模】已知的内角的对边分别为，且ABC,,abc,, 3( abCcB,,cossin3 B(1)求; AC,ABCD(2)若点为边的中点，，求面积的最大值( ABBC,,2,1 3【解析】(1)因为， abCc,,cossinB3 3由正弦定理知， sinsincossinsinBABCC,,3 3即， sinsincossinsinBCBCCB，,,，，3 3， sincoscossinsincossinsinBCBCBCCB，,,3 3( cossinCsinsinBCB,,3 C,ABCsin0C,tan3B,,又由为的内角，故而，所以( 2,,ABCB,B又由为的内角，故而 3 9 22ac,4ac,,2所以，即，当且仅当时取等号( 42，,，,acacac 13又， SacABCac,，,sin,ABC24 ac,,2故而当且仅当时，取到最大值3 S,ABC 2,,,ab,sin<，故a,b的取值范围是,1,2( 2,,，，,,24,, 考向4 与解三角形有关的其它最值(范围)问题 【例9】【2017江苏南通如皋第一次联考】如图，矩形ABCD是某小区户外活动空地的平面示意图，其中AB,50米，AD,100米，现拟在直角三角形OMN内栽植草坪供儿童踢球娱乐(其中，点O为AD的中点，OM?ON，点M在AB上，点N在CD上)，将破旧的道路AM重新铺设(已知草坪成本为每平方米20元，新道路AM成本为每米500元，设?OMA,θ，记草坪栽植与新道路铺设所需的总费用为f(θ)( (1)求f(θ)关于θ函数关系式，并写出定义域; (2)为节约投入成本，当tanθ为何值时，总费用 f(θ)最小, 11ππ，，,,500002)【答案】(1f(θ),，其定义域为;(2) ，,，25000,,,,63,,,sincostan，，,, 5050试题解析:(1)据题意，在Rt?OAM中，OA,50，?OMA,θ，所以AM,，OM,，tan,sin, 10 50据平面几何知识可知?DON,θ，在Rt?ODN中，OD,50，?DON,θ，所以ON,，所cos, 1505050以f(θ),,,，，，，，2050020500,，,SAM,OMN,,,2sincostan π11,, ，据题意，当点M与点B重合时，θ取最小值;当点N与,，25000,,6,,,sincostan,, πππ11,,点C重合时，θ取最大值，所以，所以f(θ),，,,,,，25000,,363,,,sincostan,, ππ，，其定义域为( ，,,63，， ππ11,,(2)由(1)可知，f(θ),， ， ,,,,f',,，25000，，,,63,,,sincostan,, 222222，，，，0cossin,,,,，，sincos1,,,sincos,,,,,25000,,,,,,,25000,，2222sin,sin,sincos,,，，,,,,sincos，，,,，，，， 22sin2cos,,,ππ，，25000,，令f',,0，得，其中，列表: tan2,,,,，，，002,,63sincos，，，，,, ππππ,,,, ,,，，θ ,00,,,,06363,,,, ,f', 0， ，， 极小值725000，525000， f, ? ? ，，500002 33 tan2,,500002所以当时，总费用 f(θ)取最小值，可节约投入成本( 【跟踪练习】 ,ABCCbAB【2017浙江杭州模拟】在中，内角，，的对边分别为，，，已知ac ( (3sinB,cosB)(3sinC,cosC),4cosBcosC A(?)求角的大小; ,ABCp(?)若，且是锐角三角形，求实数的取值范围( sinB,psinC ,1A,,p,2【答案】(I);(II)( 23 【解析】 试题分析:(?)由已知及三角函数中的恒等变换应用得 A，从而可求得，即可解得的大小;(?),3sin(B，C),3cos(B，C)tan(B，C),,3 sinBsin(120:,C)31,,ABCp,,,，A,由已知得，由是锐角三角形，，3sinCsinC2tanC2 tanCp可求得的取取值范围，即可解得实数的取值范围( 11 12