7、速度合成公式的思考

7、速度合成公式的思考 7、速度合 成公式的思考 1、相对论速度变换 ' 在、系上测某一质点在某一瞬时的速度 SS dx',,,x,(x,vt)v,x,,dt'y,y,,dy,'v, 系上: ; 系 。 SS',,yz,zdt,,v'dzt,tx,(,),,v,2zc,,dt, ',,dx,(dx,vdt) ,'dy,dy, ,',dz,dz,v'dt,dtdx,(,),2c, dx,,,v',v,vdx(dx,vdt)'xdtv,,,,,x'vvdxv,dt,(dt,dx)1,1,vx222,dtccc ,dy',vdydy,y'dt v,,,,,y'vvdxvdt,,,,(dt,dx)(1,)(1,v)x222dt,ccc dz,',vdzdz'dtzv,,,,,z'vvdxvdt,,dtdx,,v(,)(1,)(1,)x222,dtccc, ,,',v，v,v,vx'xv,v,x,,xvv',1，v,1,vx2x2c,c,',vv,,yy'即 v, 及 (17-11) v,,,yyvv',,,,(1,v)(1，v)xx22,c,c'v,,v'zzv,v,z,,zvv',,,(1,v),v(1，)x2x2,c,c, v讨论: 时， ,,1,,1c '',,vvvvvv,,,，xxxx,,'' 及 vvvv,,,,,yyyy'',,vvvv,,zzzz,, 洛伦兹变换伽利略变换。 , 2、速度合成公式 在以速度 v 沿 K 系的 X 轴运动着的k系中，设有一个点依照下面的方程在运动: 此处 和 都表示常数。 求这个点对于 K 系的运动。借助于?3 中得出的变换方程，我们把x，y ，z，t 这些量引进这个点的运动方程中来，我们就得到: ，， 这样，依照我们的理论，速度的平行四边形定律只在第一级近 似范围内才是有效的。我们令: 和 ;[20] α因而被看做是 v 和ω两速度之间的交角。经过简单演算后，我们得到: 值得注意的是，v 和ω是以对称的形式进入合成速度的式子里的。如果ω也取 X 轴 (Ξ 轴 ) 的方向，那么我们就得到: ，从这个方程得知，由两个小于 V 的速度合成而得的速度总是小于 V 。因为如果我们置 此处 k 和 λ 都是正的并且小于V，那么: 进一步还可看出，光速 V 不会因为同一个“小于光速的速度”合成起来而有所改变。在这场合下，我们得到: 当 U 和 ω具有同一方向时，我们也可以把两个依照?3 的变换联合起来，而得到 U 的公式。如果除了在?3 中所描述的 K 和 k 这两个坐标系之外，我们还引进另一个对 k 做平行运动的坐标系k' ，它的原点以速度ω在 Ξ 轴上运动着，那么我们就得到x，y，z，t 这些量同 k' 的对应量之间的方程，它们同那些在?3 中所得到的方程的区别，仅仅在于以 这个量来代替“v”; 由此可知，这样的一些平行变换——必然 地——形成一个群。 洛伦兹变换和爱因斯坦速度相加规建立在平直时空惯性参考系基础上，而现实世界中纯粹的惯性参考系是不存在的，在这种意义上狭义相对论应当被看成一种理想状态的理论。一般而言在有引力场存在的情况下，爱因斯坦速度相加规则仅是一个近似公式。但我们也知道，现有的关于光速不变的实验和观察都是在地球、太阳系和银河系的弱引力场空间范围内进行的。例如在地球绕太阳转动的轨道上完成的迈克耳逊-雷默干涉实验，对自转的太阳两边缘发出的光的观察【3】，对银河系内双星系统的光速的观察【4】，以及银河系内恒星和河外星系光行差现象的观察等等【5】。所有这些实验和观察都证明，即使在弱引力场和弱非惯性运动情况下，光的速度仍然与光源的运动状态无关，近似地满足爱因斯坦速度相加规则。 假设我们的旧相识，火车车厢，在铁轨上以恒定速度v行驶;并假设有一个人在车厢里沿着车厢行驶的方向以速度w从车厢一头走到另一头。那么在这个过程中，对于路基而言，这个人向前走得有多快呢,换句话说，这个人前进的速度W有多大呢,唯一可能的解答似乎可以根据下列考虑而得:如果这个人站住不动一秒钟，在这一秒钟里他就相对于路基前进了一段距离v，在数值上与车厢的速度相等。但是，由于他在车厢中向前走动，在这一秒钟里他相对于车厢向前走了一段距离儿也就是相对于路基又多走了一段距离w，这段距离在数值上等于这个人在车厢里走动的速度。这样，在所考虑的这一秒钟里他总共相对于路基走了距离W=v+w。我们以后将会看到，表述了经典 力学的速度相加定理的这一结果，是不能加以支持的;换句话说，我们刚才写下的定律实质上是不成立的。但目前我们暂时假定这个定理是正确的。(摘自《浅说》第6节、经典力学中所用的速度相加定理的全文) 在狭义相对论中，两惯性系相对速度 与 和 平行 (1) ( )为 坐标系的坐标，( )为 坐标系的坐标，令， ，所以变换矩阵为 (2) ,,,,x,x,x,x,0x,x,x,x,012341234 如果; ,相对速度 不变，那么 (3) 比较 与 (4) (5) 比较后知道(4)式=(5)式 (6) 2 相对论中速度合成公式V=(V?V)?(1?VV/C)，仅适用于同1212 一直线上两个速度的合成。当物体的两个速度不在同一直线时，其合成公式又是怎样的呢,下面探讨一下当两个速度垂直时速度的合成，由于互相垂直 的两个速度互不影响，因此可从引力质量角度利用Lorentz transformation推导出来。 设物体的引力静止质量为m，水平速度为v，垂直速度为v，合012速度为v，不妨设先有水平速度v，此时引力质量为 m，由Lorentz 11 20.5222transformation得m=m?(1, v?c)，m=m?(1, v?c)1012120.52240.520.5.2222=m?(1, v?c, v?c+v v?c)=m?(1, v?c)0121202 22222222?V= v+v,v v?c，当v,,c,v,,c时，v v?c?0，此212121212 222时V= v+v，这就是经典力学中正交速度合成公式。 12 0.522 在经典力学中速度合成公式为v=(v+v+2vvcosθ)，在相1212 222222222对论中v+v变为 v+v,v v?c，可设其合速度公式为v=(v+v12121212 20.522,v v?c+Xcosθ)，令θ=0，解得X，代入上式得到合速度的计12 222算公式。当v,,c,v,,c时，v v?c?0，也可以回到经典力1212 学中的速度合成公式，在此从略。这也符合量子力学的对应原理。由于整个宇宙形成的绝对空间不存在运动问题，因此相对论中的速度合成公式，仅适用于有限多个合成，不适用于无限多个。 早在二十世纪初，人们就已经对Einstein相对论力学和Newton力学的数学结构做了最透彻的研究。其研究后果之一就是把Newton力学与Galileo抛物几何空间【1】相对应;把Einstein相对论力学与Minkowski双曲几何空间【2】相对应;直言之，Galileo惯性运动变换群确定了Newton力学空间为非Euclid性质的Galileo抛物空间;而Lorentz惯性运动变换群确定了Einstein相对论力学空间为非Euclid性质的Minkowski双曲空间。古新妙先生认为:因为牛顿力学意义下的速度与相对论力学意义下的速度并不相同，各自满足不同的加法公式，牛顿速度满足的加法公式是: , U,U，u (1) 而相对论速度满足的加法公式是: V，v,V, V,v1，2c (2) 从牛顿速度到相对论速度之间存在如下的映射关系: ,UUu, V,c,thV,c,thv,c,thccc(3) 这里的映射关系由双曲正切函数来实现。双曲函数的定义如下: x,xx,xe,ee，e双曲正弦:， 双曲余弦:， 双曲正切:shx,chx,22 shx。 thx,chx thx，thyth(x，y),双曲正切具有下列性质:。 1，thx,thy 从牛顿速度加法公式(1)转换到相对论速度加法公式(2)，是双曲正切的功劳，是相对论的奥秘。 下面是杨金城先生的认识: 定义:什么是相对论,相对论，就是“研究相对运动系统内，物质运动变化规律的科学理论。” 什么是相对论的时空变换,“就是分别在相对运动系统中，测量同一事件的时间和空间之间的关系”，就是相对论的时空变换。我们的相对论，是以相对性原理为基础，光作为信息传递的使者，在动态平衡系统中建立起来的时空理论。 ，，以下二图，在τ=t=O时，系统Σ和Σ都重合。当Σ相对于Σ以速度V向右运动的同时，从原点射出一光信号。光在Σ系统中经过 ，时间t，在Σ系统中经过时间到达的同一点P。光从原点出发，在, 相对运动的不同系统中，分别经过时间t和τ到达同一终点P，这是同一事件在相对运动系统中的不同结果。如[图五]所示。 ,`,Y, Y `,` ,Y Y V P P V ctc,ct cτ [图三] α β [图四] α β `,0 Vt 0 Q X x ``, 0 -vτ 0 X X 从[图三]可得: ----(a) ctcos,,vt,c,cos, ----(b) ctsin,,c,sin, 2222222将(a)(b)两式平方后相加得:-----ct,2cvtcos,，vt,c,(c)， 2,2vv,1,cos,， 对(c)作移项整理得: ----2tcc(2) [图四]是改变光(运动物质)的传播方向得出下列结果: ---(c) ,c,cos,,(,v,),,ctcos, ---(d) ctsin,,c,sin, 2222222将(c)和(d)两式平方后相加: c,,2cv,cos,，v,,ct 2t2vv经整理得: ----,1,cos,，2,cc(3) 相对论新论的时空变换，具有鲜明的方向特征。 vv,,(A) 当时， (B) 当时， ,1,,1，,,o,,,tctc(纵向相对论公式) 22,,vv,,(C) 当时， (D) 当时， ,,,,,1,,1，222tc2tc (横向相对论公式) (2)式和(3)式，都是相对论新论时空变换的一般表达式。它们都将纵向相对论，横向相对论的时空变换都包含在其中。并充分揭示出了相对论时空变换的方向特征，这是Einstein狭义相对论没有结果。Einstein的狭义相对论仅考虑了平动的相对论效应，没考虑转动的相对论效应。 参考文献: 【1】Galileo几何 H. Beek 最小曲面的几何学，Sitzungsber. Leipziger Berliner Math. Gee.12:14-30,1913 L. Silberstein, Galileo时空中的射影几何 ，Philos. Mag. 10: 1925 Makarova, N., M., Tow-dimensional Noneuclidean Geometry with Parabolic Angle and Dissertation, Leningrad, 1962 【2】Minkowski几何 A. Einstein关于相对性原理和有此得出的 结论 Einstein文集 第二卷 商务印书馆出版，1977 J. D. Jackson, Classical Electrodynamics. John Wiley & Sons Books Lnc. 1975 Shervatov, V. G.., Hyperbolic Functions. Heath, Boston,1963 【3】 狭义相对论入门，叶壬葵，厦门大学出版社，317，(1988). 【4】. P. de Bernardis at al, Nature, 404, 955 (2000). Mermentt C. L., et al, Astrophys, J., Suppl., 148, 1 (2003). 【5】 S. 温伯格，引力论和宇宙学，科学出版社，478 (1984).