论文在不平的地面上把椅子放稳的充要条件

在不平的地面上把椅子放稳的充要条件 目 录 摘 要: ............................................................................................................................... 1 关键词: ................................................................................................................................. 1 Abstract : ............................................................................................................................. 1 Key words: .......................................................................................................................... 1 前言 .................................................................................................................................................. 1 1.椅子四脚连线为正方形的模型 .................................................................................. 1 1.1 模型假设. .................................................................................................... 2 1.2 模型建立. ...................................................................................................... 2 1.3 模型求解. .................................................................................................... 3 2、 椅脚连线为长方形的情形 ....................................................................................... 3 2.1模型建立........................................................................................................ 3 2.2模型求解. .................................................................... 错误～未定义签。4 3、椅脚连线为等腰梯形的情形 ..................................................................................... 4 4、椅脚连线为一般四边形的情形 ............................................................................... 5 5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件 ..................................................... 7 5.1模型建立........................................................................................................ 7 5.2 模型求解 ....................................................................................................... 8 5.3 放稳椅子的充要条件 ................................................ 错误～未定义书签。9 总结 .............................................................................................................. 错误～未定义书签。9 参考文献: ....................................................................................................................................... 10 在不平的地面上把椅子放稳的充要条件 摘 要: 把椅子放在不平的地面上 ,通常只有三只脚着地 ,放不稳然而只需稍挪 动几次 ,就可以使四脚同时着地 、放稳.文指出 ,当且仅当椅子的四脚共圆时 ,才能 在一般不平的地面上放稳并对此建立了数学模型 ,给出了理论上的证明 关键词: 椅子,不平地面,放稳,充分必要条件,数学模型 The Sufficient and Necessary Conduction to Make a Chair Steady on Uneven Ground Abstract : Under normal conditions, it is impossible to make a chair Steady on uneven ground. In this paper, a mathematical model on this question is established, and it is proved that a sufficient and necessary conduction to make the chair Steady on uneven ground is four feet of the chair is on the common circle. Key words: 前言 在凸凹不平的地面上,很难一次将四条腿椅子放稳,但在任何位置,四条腿椅子至 少有三条腿着地,然而将四条腿椅子旋转调整几次,就可以使其放稳. 1.椅子四脚连线为正方形的模型 为了比较彻底地解决这个问 ,我们先从一种特殊的情形入手 ,假设椅子的四脚 连线呈正方形.注意到椅脚连线是正方形 ,正方形绕它的中心旋转示了椅子的位置 - - 1 改变.因此 ,可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置.椅子位于不同的位置 ,椅脚与地面之间的距离就不同 ,所以这个距离可以是旋转角度的函数. 1.1 模型假设. (1)、 椅子四条腿一样长 ,即这样椅子绕中心旋转时 ,仅与旋转角有关 ,而不会因四条腿不一样长 ,而与椅腿有关 ,四只脚与地面接触处可视为一个点. (2)、 地面的高度是连续变化的 ,即为连续曲面 ,这样就不会出现台阶式地面. (3)、 对于椅子腿的长度和椅子脚之间的距离而言 ,地面是相对平坦的 ,也就是说 ,椅子在任何位置至少有三只脚可以同时着地. 1.2 模型建立. 现在根据模型假设 ,来建立数学模型. 如图1 所示 , 图1 ''''ABCDOO,为椅子的初始位置 ,中心是点 ,为椅子绕点旋转角后的位ABCD ''ABD,C置 ,即与轴夹角为,记,两脚与地面距离之和为,两脚与地面距离xf(),AC ,之和为 .由假设 ,地面为连续曲面 ,则和 都是的连续函数 ,并且g(),f(),g(), ,,,由于任何位置至少有三只脚着地 ,即对任意的, 和至f()0,,g()0,,f(),g(), fg,,,,()00,,0少有一个为 ,因此 ,恒有,不妨设当时, , .当椅g()0,,f()0,,，， ,BDBDACAC子旋转时,只是与二位置互换 ,也就是连线与连线互换.这样当2 ,f,,0g,,0,时,有, .于是四条腿椅子放稳问题就成了数学问题.建立模型,，，，，2 如下: - - 2 fg,,,,()0已知,为连续函数 ,且对于任意的,恒有,并且 ,f(),g(),，， ,f,,0g,,0当时,,;当,时,,. ,,0g()0,,f()0,,,，，，，2 fg,,,,()0求证:存在,使 . ,，，000 1.3 模型求解. 引理:若函数在闭区间上连续 ,且 (即与异号) ,hx()[]ab，hahb()()0,,ha()hb() ,h()0,则在区间至少存在一点,使.令则,(,)ab,f()0,,hfg()()(),,,,,h(0)0,2 ,0,,因为,是连续函数 ,所以是连续函数 ,由引理知 ,必存在,,,f(),g(),h(),,002使 h()0,,,即fg()()0,,,, 000 fg,,,,()0fg,,,,()0又因为恒有,所以, ，，，，00 从而f(),和g(), 必有一个为零 ,于是fg()()0,,,,,这就说明 ,存在, 方00000向 ,椅子的四条腿同时着地. 2、 椅脚连线为长方形的情形 2.1模型建立 当问题为稍一般情形 ,即椅子四脚连线呈长形时 ,借鉴上面问题的解决 ,也是建立椅脚与地面距离和旋转角度的函数关系 ,只是在处理问题的技巧上有一些变化 ,简述如下: ABCDCDABO如图2所示,为椅子初始位置 ,为椅子绕点旋转角的位置 ,记 180ADBC两脚与地面距离之和为,两脚与地面距离之和为,则由于椅子必有三f(),g(), 条腿同时着地 ,所以必有两条相邻的椅脚同时着地 ,亦即对任意的旋转角,和f(), fg,,,,()00,,0少有一个为 ,因此恒有:,不妨设当时,. g(),g()0,,f()0,,，， - - 3 图2 f,,0g,,0ADBC,,,当椅子旋转时,与位置互换 ,这样 ,当时 ,有,180，，，，此模型如下: fg,,,,()0,已知,为连续函数 ,且对于任意的,恒有 ,并且 f(),g(),，， f,,0g,,0,,0,,,当时,,;当时,. g()0,,f()0,,，，，， ,fg()()0,,,,求证存在 ,使 000 模型求解 ,h()0,令则,因为,是连续函数 ,所以 hfg()()(),,,,,h(0)0,f(),g(),h(),2 ,0,,,,h()0,,fg()()0,,,,是连续函数 ,由引理知 ,必存在,,使 ,即 00000 fg,,,,()0fg,,,,()0又因为恒有,所以, ，，，，00 f(),g(),fg()()0,,,,,从而和必有一个为零 ,于是,这就说明 ,存在方00000向 ,椅子的四条腿同时着地 3、椅脚连线为等腰梯形的情形 对于四脚呈等腰梯形的椅子情况,也可用零点存在定理解释.模型的假设与上面的类似:同样, 如果某个位置表示椅脚与地面的竖直距离,那么这个距离为零时就是椅脚 ,着地了,椅子在不同位置时椅脚与地面的距离不同,所以这个距离也是椅子位置变量的函数. BDAC如图3 所示,两脚与地面的距离和为,两脚与地面的距离和为,f(),g(), - - 4 f,,0在任何情况下至少三脚着地, 即,至少有一个为, 并且, . 0f(),g(),g()0,,，， 当 ,,0时,不妨设,, g()0,,f()0,, 图3 BDBDACOAC以对角钱、的交点为中心, 旋转, 使与原来的重合,此时不考, f,,0f,,0BDAC所处的位置,则边所对应的函数值由原来的变为,故，，，，f,,0. ，， 构造辅助函数, hfg()()(),,,,, 则; hfgf(0)(0)(0)(0)0,,,,hfgf()()()(0)0,,,,,,, ,由连续函数的零点存在定理可知:之间一正一负,至少有一个, (0,),1fg()()0,,,,. 11 0fg()()0,,,,在任何情况下至少三脚着地,即、至少有一个为,故. f(),g(),11 所以,也存在一个适当角度能使四脚连线呈等腰梯形的椅子平稳. 4、椅脚连线为一般四边形的情形 分析 首先,椅子绕中心轴旋转一周.显然的,椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线.下面主要考虑这条封闭曲线的性质. 其次, 选择一个水平面, 那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离, 并且这 ,个距离是椅子位置变量的连续函数. 如图4所示, 记封闭曲线上关于中心轴对称的Af,BDC、两点与水平面的距离之和为, 而对称的、两点与水平面的距离之和，， - - 5 gf(),,,,，f,为. 由于假设2知, 和都是连续函数.显然,四只脚同时着g(),，，，， 地也就是两个距离和相等. 最后,把四只椅子四脚同时着地的问题归结为如下的数学问题: f,已知和是,的周期为2,连续函数,对于任意的g(),，， ,,,02，gf(),,,,，, 证明:存在,使得. ,fg()()0,,,,，，,,000 证明 构造函数,显然连续. hfgff()()()=()(),,,,,,,,,，h(), f,是,的周期为2,连续函数,那么根据闭区间连续函数最值的性质,存在、,，，1,, 使ffxx()max{()|[02]},,,,，,ffxx()min{()|[02]},,,,，. 212 h()0,,h()0,,那么, 12 h()0,,h()0,,如果两个不等式有一个等号成立,那么问题得证; 否则、. 根据12 ,h()0,,fg()()0,,,,连续函数的零点定理, 存在, 使,即. 0000 图4图5 对于一般的四边形如何考察呢,显然,可以在一个封闭曲面上考察的. 如图 AEC5所示, 让、两点保持定长在封闭曲面上移动,点与水平面的距离是一个双 BED变量的连续函数; 让、两点保持定长在封闭曲面上移动,点与水平fxy(,) 面的距离是一个双变量的连续函数.具体结论如下: gxy(,) E,AC在封闭曲面上,在保长度的移动过程中,线段中的点与水平面的距离 EMBD是一个双变量的连续函数可以取到最大值和最小值,线段中的fxy(,)m '点与水平面的距离是一个双变量的连续函数可以取到最大值和最小值gxy(,)M'''(,)xyfxygxy(,)(,),.如果, 那么一定存在一点,使得, mMMmm,,>000000即椅子可以放平. - - 6 5、在不平地面上把椅子放稳的充分必要条件 在以上的讨论叙述中,从特殊到一般我们说明了椅子在地面可以放稳的情况,但最一般的情况是什么呢?接下来我们就探讨这个问题,找出椅子要在不平的地面放稳的充要条件.在上述的假设的基础上我们添加条件:椅子四脚连线为圆内接四边形,即椅子四个脚共面且共圆: 5.1模型建立 将椅子放在地面上任一位置,并使至少三只脚同时着地,这时以椅子四脚共圆的圆心为原点, A四脚所在的平面为坐标面 ,并使椅脚之一 (如椅脚)在 轴的正半轴上建x 立平面坐标系, ABDRC如图6由假设,椅子四脚、、 、共圆,设其圆的半径为,则这四点 222必在圆周xyR，, (1) BRR(cos,sin),,CRR(cos,sin),,上,且各点的坐标分别为,, AR(,0)1122 DRR(cos,sin),,,,,OBOCODOA,其中,,分别为、、与的夹角. 显然, 33123 02,,,,,,,,这三个夹角应满足条件 (2) 123 ABDOCO如果让椅子绕点转动,则、、 、四点将同时绕点转动,并且转过同样的角度. ABD,C设转过的角度为(取逆时针方向为正) ,则转动后、、 、四点对应的坐标分别为 'ARR(cos,sin),,, 'BRR(cos(),sin()),,,,，，, 11 'CRR(cos(),sin()),,,,，，, 22 'DRR(cos(),sin()),,,,，， (3) 33 见图7 这样 , 参数 就决定了椅子的位置 - - 7 图6 图7 由假设2, 地面可视为数学上的连续曲面 ,因此 ,如果取过原点O垂直于上述xoy面向上的轴为轴,则在如此选取的oxyz空间直角坐标系下,地面的方程便oz 可写成 (4) zfxy,(,) 是xy,的二元连续函数.特别地,在圆周(1)上, 必为极角,的以其中zfxy(,) 2,为周期的单值连续函数 (5) z,,,() ''''于是在空间直角坐标系下,地面上与(3)中,,,对应的点分别为 ABDC "ARR(cos,sin,()),,,, "BRR(cos(),sin(),()),,,,,,,，，， 111 "CRR(cos(),sin(),()),,,,,,,，，， 222 "DRR(cos(),sin(),()),,,,,,,，，， 333 由假设3 ,地面是相对平坦的 ,使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.这 O样,改变椅子位置(即让椅子绕点转动)能否使四脚同时着地的问题就归结为求 """",,,0,2解是否存在使上、、、四点共面,这就是我们对该问题建立ABDC,, 的数学模型. 5.2 模型求解 上面所建立的数学模型即有下面的定理 2,R,0定理1 设是以为周期的连续函数, 是满足不等式(2)的任意常,,() """",,,0,2,,,数则一定存在,使当时、、、四点共面 ABDC,,00 定理1说明,四脚共圆的椅子,在不平的地面上总可以经适当旋转把椅子放稳. - - 8 总结 椅子问题虽然是日常生活 中一件非常普通的事,但在上段就一般椅子给出的结论对实践却有指导性的意义.通常,在制作椅子时,我们事先并不知道要把椅子放在什么样的地面上, 因此,我们无法也不可能对地面提出任何要求,但为了保证椅子将来能在任何连续平坦的地面上放稳,我们可对椅子的设计提出一定的要求,这个要求就是,必须且只需把椅子做成四脚共圆或四脚连线呈圆内接四边形的形式.这也正好说明我们的祖先为什么都把椅子做成了正方形,长方形和等腰梯型,其原因就是它们都是圆内接四边形,这样的椅子能放稳. 当然 ,上述结论不只是对制作椅子有用 ,而对四脚共面的所有物体,如桌子,家用电器,甚至送上月球的四脚机器或设备等,都有设计方面的应用价值. - - 9 参考文献: [1] 邹云. 关于“稳定的椅子”模型问题[J]. 应用数学, 1990,(04) [2] 王文武. 椅子在不平的地面放平模型. 西南民族大学学报(自然科学版), 2010年 03期 [3] 陈雪梨. 椅子放稳问题另解. 湖州职业技术学院学报, 2008年 03期 [4] 李亮. 许宏伟; 王建军; 椅子放稳问题中的数学探究. 黑龙江科技信息, 2009年 17期 [5] 王焕许. 四条腿椅子能在不平地面放稳的数学模型 . 绥化学院学报, 2005年 03期 [6] 赵彦晖. 平地面上把椅子放稳的充分必要条件. 数学的实践与认识, 1999年 03期 [7] 姜启源等。数学模型(第三版)。高等教育出版社 - - 10