换元积分法与分部积分法
《数学分析》
第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
?8.2 换元积分法与分部积分法
教学目标:掌握第一、二换元积分法与分部积分法(
教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法(
基本要求:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法(
教学建议:
(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算
(
(2) 总结分部积分法的几种形式:升幂法,降幂法和循环法( 教学过程:
一、第一类换元法 ——凑微分法:
有一些不定积分,将积分变量进行适当的变换后,就可利用基本积分表求出积分。例如,
cos2xdx,求不定积分,如果凑上一个常数因子2,使成为
11cos2cos2cos22xdxxxdxxdx,,,,,,,,22
2xu,令则上述右端积分
111cos22cossinxdxuduuC,,,,,,,222
x然后再代回原来的积分变量,就求得原不定积分
1cos2sin2xdxxC,,,2
Fxfx,,,x,,,,,,更一般的,若函数是函数的一个原函数,是可微函数,
Fx,,,,,,,并且复合运算有意义,根据复合函数求导法则
,,,,FxFxxfxx,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
及不定积分的定义,有
,fxxdxFxC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
fuduFuC,,,,,,,由于
,fxxdxfudu,,,,,,,,,,,,,ux,,,,,,,,从而 (1)
1
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 综上所述,可得如下结论
fuFufu,,,,,,定理8.4:(第一换元积分法) 设是连续函数,是的一个原函数。又若
fx,,,,,ux,,,,,,连续可微,并且复合运算有意义,则
,fxxdxfuduFxC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ux,,,,,,,,,, (2)
gxdx,,gxdx,,,第一换元积分
(2)说明如果一个不定积分的被积表达式能够写成
,fxxdx,,,,,,,,ux,,fudu,,,,,,的形式,可通过变量代换把被积表达式等同于,若不定积分
fuduFuC,,,,,,,
ux,,Fu,,,,容易求得,那么再将代入,便求出原不定积分
gxdxFxC,,,,,,,,,,,,
gxdx,,由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式变为
,fxxdxfxdx,,,,,,,,,,,,,,,,,gx,,,,,,的形式。也就是把被积函数分解成两个因子的乘积,其
fx,,,,,,x,x,,,,,,dx中一个因子与凑成某一函数的微分,而另一因子是的函数,且经过这样
fxdx,,,,,,,,,,的微分变形后被积表达式变为容易积分的形式,所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。凑微分法技巧性强,无一般规律可循,因而不易掌握,初学者只有多做练习,不断总结经验,才能运用自如。
11f(ax,b)dx,f(ax,b)d(ax,b),f(u)du.凑微分法1: aa
1dxdaxbabRa,,,,,,0,,,,a例,、利用,求下列积分
11331343434xdxxdx,,,,,,,,,,,,ux,,343,令有
1441131333334xdxuduuCuC,,,,,,,,,3344
ux,,34再将代入,有
41333434xdxxC,,,,,,,4
2
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dxdxx12()0,,,da,,,,,,,22axxax,22a1()1(),,aa
xu,a令,有
dxdu,,,arcsinuC,,222axu,,1
xx,a再将代入,
dxx,,arcsinC,22aax,有
xd()dxdx1a3,,,,22,,,xxaxa,222a[(1())]1(),,aa
xu,a令
dxdu11,,,arctanuC222,,axaua,,1
xu,a再将代入,有
dx1,,arctanxC22,axa,
ux,,,,如果运算比较熟练,为了简化解题步骤,变量代换可以不写出来,只需默记在头脑中
就可以了。
11k,1kkkxf(x)dx,f(x)d(x),f(u)du凑微分法2、 . 特别地, 有 kk
11f(x)222f(x)xdx,f(x)d(x),f(u)du 和 . ,,dx,2fxdx22x
例,、利用
1,,,1,,,,,,,,xdxdaxbabRa,,,0,1,,,,,a1,,,, 求下列积分
12221575757xxdxxdx,,,,,,,,,,,,,,,52, 3
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221111222257XC,,575757xdxxC,,,,,,,,,,,,,,,2010102 ,
11111xxxedxedeC,,,,,21(),,,,,,2xx
dxdxdx3222arctan,,,,xC,,2,,,1,xxx1,,,1,x,,
dx40x,,,,,,22xx1,
解:(4)
dx11111,,,,,,,dd,,,,,222xxx,,1xxx11,,,,1,,,2x,,
2,,111,,1,,d,,,,,22,22,,,,2x,,111,,,,,,1,,,,,,,11d,,,,1,,,,,,,,2xx,,,,x,,,,,,,,,,
1222,,111,,,,,,,,,,,,,211CC,,,,,,2xx,,,,,,,,
,,x,,,xdx,,,,,,fx,,,fxdxdx,,,,,,,,xxx,,,,,,,,,例,、若被积函数利用,有如下公式
,xdx,,,,,,fxdxdxxCln,,,,,,,,,,,,,,,xx,,,,,,
求下列积分
dxdxln1lnln,,,xC,,,,xxxlnln
sincosxdx2tanlncosxdxdxxC,,,,,,,,,,,coscosxx
cossinxdx3cotlnsinxdxdxxC,,,,,,,,,sinsinxx
以上,例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来,就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。
例,、将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分
dx111,,1,,,dx,,,,22,,axaaxax,,,2,,
4
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dxadxa,,,,,,,,11xa,,,,lnC,,,,,22axaxaaxa,,,,,
xxxde1,,,dxeedx1,,2,,,,dx,,222,,,,xxxx1,e111,,,eee,,,,,,
xxxde1,,,111,,eedxdx,,,,,,,,xxxx1111,,,,eeee
1xxeC,,,,ln1,,2,e1
2sin111x,,31dxdxdxdx,,,,,,,,222,,,,11sin1sinsin,,xxx,,1,2sinx,
cotxddxcot12xx,,,2,,1cotx,,cotx2cot,x,,2xC,,arctan1,,,,,222,,,,,
凑微分法3: f(sinx)cosxdx,f(sinx)dsinx,f(u)du;
f(cosx)sinxdx,,f(cosx)dcosx,,f(u)du;
2 f(tgx)secxdx,f(tgx)dtgx,f(u)du.
nnsinxdxcosxdxnN,,,,,n例,、对于与形式的积分,当是偶数时,可利用三角恒等式
1122sin1cos2cos1cos2xxxx,,,,,,,,22
n来降低三角函数的幂,当是奇数时,变正(余)弦函数的积分为余(正)弦函数的积分。
211,,421sin1cos212cos2cos2xdxxdxxxdx,,,,,,,,,,,,,,,,24,,,
11,,dxxdxxdx,,,,2cos21cos4,,,,,,,42,,
11x,,xxxC,,,,sin2sin4,,428,, ,
131,,xxxC,,,sin2sin4,,428,,
322cos1sincosxdxxxdx,,,,,,,,,
5
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123cossinsinsinsinxdxxdxxxC,,,,,,3
sinsin,cossincoscos,,,,,,xxdxxxdxxxdx和,,,例,、 对于形式的积分,可利用三角函
数的积化和差公式
1,,1coscos2cos12cos12xxdxxxdx,,,,,,,,,,,,,,2
,,sin12sin12,,xx,,,,1,,,,,C,,21212,,,,
12cos2sin3sin23sin32xxdxxxdx,,,,,,,,,,,,,,,,2,
111,,sin5sincoscos5xdxxdxxxC,,,,,,,,,,255,,
例,、根据
xxxx2sin2sincos2tancosx,,2222
xx1cos,tancsccot,,,xx2sinx
11x,,1csctanxdxdxd,,,,,,,,,,xxx22,,2tancostan222
xlntanlncsccot,,,,CxxC2
,,,dx,,,2,,,,,,,,2seclncsccotxdxxxC,,,,,,,,,,,,,,22,,,,,,,sinx,,,lnsectanxxC,,2,,, 例,、
arcsinarcsinarcsinxxxdxdxdx,,22,,,21,xxx1,,,1,x,,
2
2arcsinarcsinarcsinxdxxC,,,,,,
xxxx凑微分法4: . f(e)edx,f(e)de,f(u)du.
dt.例9、 ,t,2,e
6
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dx凑微分法5 : f(lnx),f(lnx)dlnx,f(u)du.x
dx例10、 .,x(1,2lnx)
f(arcsinx)凑dx,f(arcsinx)darcsinx,f(u)du;微分法6: 21,x
f(arctgx) . dx,f(arctgx)darctgx,f(u)du21,x
t,xarctgxarctgxarctgt例11、 dx,2dx,,,,,2dt,2,,,1,x1,t(1)x,x
22 . ,2arctgtdarctgt,(arctgt),c,(arctgx),c,
其他凑法举例:
x,xx,xe,ed(e,e)x,x例12、 dx,,ln(e,e),c. ,,x,xx,xe,ee,e
lnx1d(xlnx),dx例13、 ,,?22,,(xlnx)(xlnx)
2secx(secx,tgx)secx,secxtgx例14 secxdx,dx,dx,,,,secx,tgxsecx,tgx
d(secx,tgx) . ,,ln|secx,tgx|,c,secx,tgx
cosx,sinxdx例15、 . ,5sinx,cosx
cosx,5sinxdx例16、 . ,sinx,cosx
1,,1dx,,,1,22xx,1,,xdxdx例17、 ,,,?42,,,1x,121,,x,x,,22,,xx,,
x,5dx例18、 . 2,x,2x,2
以上例子大都采用了初等数学(代数或三角函数)中的运算技巧将被积函数进行适当的变形,然后再进行变量带换。因此在作积分运算时,应该重视有关初等数学知识的灵活运用。
习题:P188—189 1(1),(24);
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《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 二、第二类换元法
2 从积分 出发,从两个方向用凑微法计算,即 costdt,
sinx,t111222 = = (1,cos2t)dt,t,sin2t,c,costdt1,xdx,,,,1,sintdsint,,,,224
,,,xx2.1连续可微且定号,式中左端的不定积分,,,,,, 在式(,)中,如果
,fxxdxFxC,,,,,,,,,,,,,,,
,1xuux,,,,是的反函数,,,,容易求得,并且,则式(2)右端的不定积分
,1,,fuduFxC,,,,,,,,,,。利用这个过程求不定积分的
,称为第二换元积分法。 第二换元积分法可以确切的叙述如下。
,fx,x,x,,,,,,定理8.5(第二换元积分法):设是连续函数,是连续可微函数,且定号,
,ft,ftt,,,,,,,,,,,,Ft,,,,,,复合运算有意义。设是的一个原函数,
,fttdtFtC,,,,,,,,,,,,,,,即
,1,fxdxfttdt,,,,,,,,,,,,1,,,,FxC,,,,,,,,tx,,,,,, 则= (3)
,1,,xt是的反函数,,,,其中。
,1,,x,t,u,,,,,,证明:有定理假设定号,,故函数存在反函数,又
dFt,,,,,,,,ftt,,,,,,dt
,,dFt,,,,1ddt,1,,,,,,Fxftt,,,,,,,,,,,1,,,,,,tx,,,,,,,,,1,dxdtdxt,,,tx,,,,,,,,于是
ftfx,,,,,,,,,1,,,,tx,,,,=
,1,,Fx,,,,,可见是式(3)左端不定积分的被积函数的一个原函数,所以式(3)成立。
xt,,,,第二换元积分法指出,求式(3)左端不定积分,作变量代换,从而 fxftdxtdt,,,,,,,,,,,,,,,,于是
,fxdxfttdt,,,,,,,,,,,,,,,
,fttdtFtC,,,,,,,,,,,,,,,若上式右端的不定积分 (4)
8
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
,1tx,,,,容易求出,那么再代回原来的变量,便求出原不定积分
,1,,fxdxFxC,,,,,,,,,,
xt,,,,由于第二换元积分法的关键在于选择满足定理8.5条件的变换,从而使式(4)的不定
xt,,,,积分容易求出。那么如何选择变换呢,这往往与被积函数的形式有关。例如,若被积
xt,,,,函数中有根式,一般选择适当的变换来去掉根式,从而使被积函数得到简化,不定积分容易求出。
常用代换有所谓无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler代换等.
以下我们着重介绍三角代换和无理代换.
1、三角代换
22(1)正弦代换:正弦代换简称为“弦换”. 是针对型如的根式施 a,x(a,0)
目的是去掉根号. 方法是: 令, 则 行的, x,asint, (a,0)
x22t,arcsin. dx,acostdt,a,x,acost,a
22axdxa,,0,,,例19、计算
x,,xatttaxa,,,,,,,,sin,,arcsin,则22a解:令,且
22axatatdxatdt,,,,coscos,cos,从而
2a2222atatdtatdttdtcos.coscos1cos2,,,,,axdx,,,,,2 =
222aaa1,,ttCtttC,,,,,sin2sincos,,2222,, =
由图2.1知
22xax,sincostt,,aa
2222axaxax,22arcsin,,,Caxdx,,22aaa所以==
9
《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院 2axx22arcsin,,,axC22a
22(2)正割代换:正割代换简称为“割换”. 是针对型如 的根式施 x,a(a,0)
22行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式 令 x,asect,sect,1,tgt,
22有 变量还愿时, 常用辅助三角形法. dx,xsect,tgtdt.x,a,atgt,
dxa,0,,,22xa,例20、计算
x,,xatttxat,,,,,,sec,0sec当或时,t,arcsin,a22 解“令存在反函数。这里仅讨论
,,t0,,t,,,22的情况,同法可讨论的情况。
,,220,,txaatatdxattdt,,,,tantan,tansec22由于0
标准由“Q140200TTX009-2010”改为“Q/HDLTS.
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09-2011”.
4.卫生许可证由“晋卫食证字(2007)140000-110039号”,
改为吉卫食证字(2008)第220282-SC4348号。
5.增加了食品流通许可证号SP1101051010090481(1-1)。
6.盒子上增加了“数码钞票花纹防伪”技术,包装上的花纹
清晰,仔细观看,花纹中间有“压乐”字样。
北京鑫康胜生物技术开发有限公司
2011年4月6日
本店郑重声明:不卖假货!
每天解释防伪码的问题真的很累~请顾客买之前先看完。厂家因为不让在网上出售,所以我们的防伪码都要刮掉,那个防伪码对于顾客来讲是查询真伪用的,但是对于代理来讲是厂家用来查串货用的,所以我们网上出售一定要撕掉,希望您理解~如果您不能接受的话,请不要拍,免得没有必要的麻烦~以后凡是因为防伪码被撕申请退货的顾客,本店一律不支持~请您考虑好了再拍~~
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谁能详细给我介绍一下药品串货。谢谢~ 浏览次数:697次悬赏分:0 | 解决时间:2010-9-12 16:15 | 提问者:yanyecc
最佳答案 药品串货是一种违规操作。一般来说药品的经营,在地方都是有代理商,代理商是负责独家供货,而药品的生产厂家也会给予市场保护,每个地区不能出现同样品种的经营代理商。串货是指通过厂家发货到其他的地方,再把药品流通到有生产厂家代理商的地方市场去销售,形成了市场冲撞~ 分享给你的朋友吧:
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《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院
回答时间:2010-9-2 22:29
药品串货对药厂有什么害处 浏览次数:607次悬赏分:0 | 解决时间:2010-10-22 11:52 | 提问者:匿名
最佳答案 首先明确什么是串货。
串货的种类有以下3种:
1.良性串货:厂商在市场开发的初期,有意或者无意地选中了市场中流通性强的经销商,使其产品迅速流向市场空白区域和非重要区域。
2.恶性串货 :经销商为了获得非正常利润,蓄意向自己辖区外的市场倾销商品。
恶意串货形成的5个大的原因:
1.市场饱和;
2.厂商给予的优惠政策不同;
3.通路发展的不平衡;
4.品牌拉力过大而通路建设没跟上;
5.运输成本不同导致经销商投机取巧。
对厂家来说:——害处
可追溯性差,出了事搞不清状况。
价格体系混乱长远看影响品牌发展。
消费者得不到应有保证,经销商受到打击,不利于渠道建设。
当然也有好处。所以窜货屡禁不止
这里学问不小,可以慢慢交流。
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-22 10:20 | 我来评论 回答时间:2010-10
压乐胶囊”唯一成分“红曲酵素”大纪事
1970:红曲米提取6种他汀,制成降脂药世界第一
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2002:降压史上历史性突破----6种他丁+2种红曲降压素=“红曲酵素”
2002年,震惊世界的生物领域重大发明,红曲中的降糖、降压、抗癌成分(GABA-GLUCOSAMINE)通过发酵提取,在原来6种他丁的基础上合成“红曲酵素(Monacolin-R),经大量的临床试验,这种复合酵素不仅保留了生物他丁的降脂功效,而且它的降血压效果堪比任何药物,《药日新闻》撰文品论,红曲酵素的出现,将开辟降压药新时代。
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根源阻击高血压,不让血压升起来
全面逆转并发症,拯救心脑肝肾
30