点关于直线的对称点的一种公式求法

点关于直线的对称点的一种公式求法 上海市奉贤中学 王志和 读了本刊文(1)，很有收获。文(1)说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式: A(x,y)结论:设直线，(、至少有一个不为0)，点关于直ax，by，c,0l:ab00 22,,,,(ba)x2aby2ac00,x1,22,，abB(x,y)线的对称点的坐标是，则; l11,22,,,(ab)y2abx2bc00,,y122,，ab, 这个结论的方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具，因而这样总结的结论很有必要。 但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进，体现出数学的对称美，而且有很明显的几何意义，因而便 于记忆和运用。 22(b,a)x,2aby,2ac00将以上的 变为: x,122a，b 222(b，a)x,2ax,2aby,2ac000 O x,122a，b 2a(ax，by，c)00 ,x,022a，b a2(ax，by，c)00 ,x,, 02222a，ba，b a,,x,,2d ， 022a，b ax，by，c00,d,(x,y)(其中的绝对值是点到直线的距离) l0022a，b b,A(x,y)y,y,,2d同理:，于是点关于直线的对称点是 l001022a，bB d y d ab,,B(x,,2dy,,2d)，， A 002222a，ba，bx O e 图一 ab其中的向量e,是直线的法向量的单位向量，如图，设点(,)Al(a,b)2222a，ba，b ab,,到直线的距离是，则，意思是将点B(x,,2dy,,2d)dl002222a，ba，b abA(x,y)按单位法向量的方向向直线的“对面”移动个单位(,)2dl002222a，ba，b 便得到关于直线的对称点，从图中看得更明显。 AlB ab,,因而，对称点B(x,,2d，y,,2d)既是求对称点的公式，002222a，ba，b也是沿法向量平移个单位而得到对称点的方法。 2d 例1 求点关于直线:的对称点的坐标; B(1,3)2x,3y，2,0A A(x,y解法一:公式法，设关于直线:的对称点坐标为) 2x,3y，2,0B(1,3)11 依照上述公式得: 22(292)33,，32(292)9,,，1x,,,,y,3,,,，， 11131313131313 339A(,)所以对称点是。 1313 5d, 解法二 如图一，点到直线的距离是，点在直线的上方，直线的单BlBll 13 2310(,,)2d,位法向量是=，沿此方向将点平移个单位便得到对称点 B(1,3)e 131313 339A(,); 1313 A(x,y) 例2 已知点，(1)求关于直线x，y，c,0的对称点坐标;(2)求关AA00 于直线x,y，c,0的对称点坐标; B(x,y) 解(1)设对称点，则由求对称点公式得: 11 12()12()x，y，cx，y，c0000x,x,,,,y,cy,y,,,,x,c，， 1001002222 (,y,c,,x,c)所以对称点是; 00 2()1x,y，c12()x,y，c,0000x,x,,,y,c(2)， y,y,,,x，c1001002222 (y,c,x，c)即对称点是:; 00 参考文献: (1)姚格，圆锥曲线的轴对称图形方程的求法，数学教学，2009年第9期。