§162 二元函数的极限12524493
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幻灯与一元函数极限类似地,
片 1 从几何直观,引入二元函
?16.2 二元函数的极限数极限.
一. 全面极限与相对极限:
二重极限
复习一元函数极限:
,lim()fxA,,,,,,,,0,0,(,),:xUa有,,,xa,
fxA(),,,
幻灯
lim(,)fxyA,1. 全面极限的定义 片 2 (,)(,)xyxy,00
定义1设函数zfxy,(,)的定义域为
DDPxy,(,)是的内点,是实常数;动点A000
,,,0,,,0PxyD(,),;如果,,,,PUP(,),,0
fxyA(,),,,有:成立,
Pxy(,)则称函数zfxy,(,)在点存在极限,且000
xx,yy,称zfxy,(,)A为函数当,时的极00
限(全面极限),记为 lim(,)fxyA, xx,0yy,0
lim(,)fxyA,或lim()fPA,,或 xyxy,,,PP,,,,,000
幻灯分析法讲证明,
,,,例1.用“”定义验证极限 片 3 22lim()7xxyy,,, xy,(,)(2,1)
2222,,,,,,(4)21xxyy()7xxyy,,,证明:,,
,,,,,,,,,,(2)(2)(2)2111xxxyyyy,,,,,,
,,,,,,,xxyyy2213
,,,,,(,)21,11,xyxy限制(,)((2,1),1)xyU,,,
,,,,,,xy2157,,,,,,,yy14145,,,,,,
,,,0,要使:22,,,,7251xy()7xxyy,,,
,,,,,,721xy,,
598933031.doc 第 2 页 共 11 页 幻灯不等式与邻域部分(白)分
片 4 层讲
,,, ,,min1,0,取,,,14,,
当时xy,,,,2,1,,,,,(,)((2,1),)(xyU,方)
22,,,,7,,有:()7xxyy,,,,,,14,
22故lim()7xxyy,,,xy,(,)(2,1)
幻灯分析法讲证明, 不等式与
2xy片 5 邻域部分(白)分层讲. ,,, 例2.用“”定义验证极限lim0,. 22x,0,xy y,0
证明:0, ,,,要使:
2xyxy1,,,0,,y0,,y0,,2222xy,xy,2
,,(,)((0,0),)(xyU,方)当时xy,,,,0,0,,,取,,,,20,
2xy1有,,,,,:022,xy22xy故lim0,22x,0,xyy,0
幻灯 片 6 122例3求证lim(,)sin,0xy220x,x,yy,0
122(x,y)sin,0证22x,y
12222,x,y,sin,x,y22x,y
,,,0,,,,,,
22,,(,)((0,0),) ( xyU,圆)0,(x,0),(y,0),,当时,
122(x,y)sin,0,,原结论成立(22xy,
598933031.doc 第 3 页 共 11 页 幻灯分析法讲证明 22,xy,片 7 xyxy, (,)(0,0),,,22 例4.设fxy(,), xy,,
,0 , (,)(0,0).xy,,
证明lim(,)0fxy,。(用极坐标变换) (,)(0,0)xy,
则(,)(0,0)xy,xr,cos,,,证明:令(极坐标变换),,,,,,,0都有ryr,sin.,,
,,,0,:要使22xy,1122fxy(,)0,,xy,,,rrsin422xy,44
122,,,,xy,,422只要 2,xy,,, 幻灯不等式与邻域部分(白)分
片 8 层讲.
22,,(,)((0,0),) ( xyU,圆)当时0,,,,,rxy,取,,,,20,
不论取什么值,,,都有:(,)0fxy,,
故lim(,)0fxy,(,)(0,0)xy,
幻灯分二层讲,无穷远点的极
片 9 限. ,.相对极限及方向极限
定义2. 设函数zfxy,(,)的定义域为数集
P(0,),,DDPxy,(,)是的聚点,A是实常数;动点0000
,,,0,,,0PxyD(,),;如果,,,,,0,R,
fxyA(,),,,,有:成立, 当时,,PUPDxyR,,,0,,(,),,0
DPP,则称函数f在上当时,以为极限, A0
lim()fPA,记为 PP,0PD,
在对PxyD(,),不致产生误解时,也可简记为:
lim(,)fxyA,lim()fPA,, 或。 lim(,)fxyA,xyxy,,,PP,,,,,(,)(0,)xy,,,000
(,)xy,无穷远点的情况.
598933031.doc 第 4 页 共 11 页 幻灯 片
10
lim()fPA,特别,在相对极限中, PP,0PD,
Dxyyykxx,,,,,()为一条直线时, ,,,,00
记为lim()fPPP,,,,lim( , ())fxykxx,A000xx,PD,0
称为方向极限。
幻灯定理1及其推论的证明,
片 与一元函数极限的海涅归3.全面极限与相对极限的关系11 结原理相似.
lim()fPA,定理1.,,对D的每一个子集PP,0PD,
Plim()fPA,E,只要点是E的聚点,就有. 0PP,0PE,
ED,PE 推论1.设,是的聚点。若极限101
lim()fPlim()fP不存在,则极限也不存在 . PP,PP,00PD,PE,1
幻灯 片
12 EED,,PEE 推论2. 设,是和的聚点。 12012
若存在极限lim()fPA,,lim()fPA,, 12PP,PP,00PE,PE,12
AA,lim()fP但,则极限不存在。 12PP,0PD,
lim()fP 推论3. 极限存在,, 对D内任一PP,0PD,
{ }PPP,PP,{()}fP,但,数列收敛。 点列n0nnn0
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幻灯
片
lim()fP通常为了证明极限不存在, 13 PP,0
可证明沿某个方向的极限不存在,
或证明沿某两个方向的极限不相等,
或证明方向极限与方向有关。
但应注意,沿任何方向的极限存在且相等
, 全面极限存在(以下例,)。 ,
幻灯Page.95例3 xy, , (,)(0,0),xy,片 ,22xy,例5.设fxy(,), ,14 ,0 , (,)(0,0) .xy,,
证明极限lim(,)fxy不存在. (,)(0,0)xy,
当动点沿着直线而趋于定点时(,)(0,0)xyykx,,证明:
xkx,,k,fxkx(,),,,由于此时fxy(,)2221,kxkx,,,
k? lim(,)fxy,lim(,)fxkx,.(,)(0,0)xy,2x,01,k ykx,
这一结果表明动点沿不同斜率的直线趋于原点时k,
对应的极限值也不同因此所讨论的极限不存在,.
幻灯Page.95例4 2, 1 , 0,当,,,,,,,,yxx片 例6. (,)设fxy,, 0 , 其余部分15 ,
fxy(,)0,,当点沿着任何直线趋于原点时(,)(0,0)xy,
在时(,)(0,0)xy,,但这并不表明,
函数的极限存在fxy(,).
2当点沿着抛物线(,)xyykx,y
(01)(0,0),,,k趋于点时f,0fxy(,)1,,f,1f,1
?极限不存在lim(,)fxy.ox(,)(0,0)xy,f,0
598933031.doc 第 6 页 共 11 页 幻灯 片 3xy16 lim例7证明不存在(620x,x,y0y,
3y,kx,证取
333xyx,kxklim,lim,,6262620x,x,0xy,,xkx1,k30y,y,kx
其值随k的不同而变化,
故极限不存在(
幻灯
3片 3xyxylimz,图形,不存在.62观察17 620x,x,yx,y0y,
播放播放
幻灯重极限的计算方法,(1)四
二元函数函数极限具有与一元函数极限类似片 则运算法则,(2)两边夹定的运算性质.18 理„ 例8 求下列极限: 2xyxysin).lim, ).lim,iii22(,)(0,0)(,)(3,0)xyxy,,xyy, 22xy11,,ln(1)xy,,iiiiv).lim, ).lim.22(,)(0,0)(,)(0,0)xyxy,,xyxy,
2xyxyx0,解:).i,x,0,22,22xy,xy,2(,)(0,0)xy,2xylim0,,由两夹定理知,22xy,(,)(0,0),xy
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sinxysinxy片 ,,ii).limlimx,3,(,)(3,0)xy,(,)(3,0)xy,yxy19
22xy,,11,,xy,,11iii).lim,lim(,)(0,0)xy,(,)(0,0)xy,xyxyxy,,11,,
11,lim,,(,)(0,0)xy,2xy,,11
2222令txy,,ln(1),tln(1),,xylimiv).lim,,22t,0xy,(,)(0,0)txy,
1(1),t,lim,1.,t,01
幻灯 片 2sin(xy)例9求极限lim.20 220x,x,yy,0
2sin(xy)lim解220x,,xyy,022sin(xy)xylim,,,2220x,xyx,y0y,
22sin(xy)u,xysinulimlim,1,其中2x,0u,0xyuy,022sin(xy)xy1x,0?lim,0.,,,,0,22,x22x,0x,yx,y2y,0
幻灯白色部分,分三层讲非正
片 常极限. lim(,)fxy,,,4(极限的定义 (,)(,)xyxy,0021 定义3. 设函数zfxy,(,)的定义域为数集
DPxy,(,)DPxyD(,),是的聚点,动点; 000
,,M0,,,0如果,,,有:,,PUPD(,),0
fxyM(,),, (,)fxyM,fxyM(,),成立,
DPP,则称函数f在上当时,存在非正常极限0
lim() lim()fPfP,,,,,,,lim()fP,,,,记为 ,, ,PPPP,,PP,000PDPD,,PD,
lim()fP,,,lim(,) lim(,)fxyfxy,,,,,lim(,)fxy,,,lim()fP,,,简记, 或。 lim() fP,,PP,(,)(,)(,)(,)xyxyxyxyxyxy,,,,,PP,,,,,PP,000000000
其他类型的非正常极限
598933031.doc 第 8 页 共 11 页 幻灯分析法讲授,
1片 ,,,例10.验证. lim22(,)(0,0)xy,xy,2322
证明:,,M0,:要使
11,,M,222223xy,3xy,,,
112222只要xy,,, 即xy,,3M3M
122,,(,)(0,0),xyU,,,取,,,0,当时0,,,xy,,3M
1有:,M,2223xy,
1故lim,,,22(,)(0,0)xy,xy,23 幻灯 片
23 二. 累次极限
上段研究的极限lim(,)fxy中,两个自变(,)(,)xyxy,00
xy,量同时以任何方式趋于.这种极限又称xy,00
为重极限.在这一段里,我们要考察x与依一定y
xy与时f的极限,这种极限称的先后顺序趋于00
为累次极限.
幻灯二类累次极限,平行地分常认为均是区间1. 累次极限的定义片 二层次讲授. Ey 定义4. 设是的聚点,是的聚EEx,,,REx0xy0y24
点,二元函数f在集合上有定义.若对每一DEE,,xy
个,存在极限,此极限一般与yEyy,,,lim(,)fxyyxlim(,)fxyxExx,,,y0x0xx,yy,00xE,yE,0x0y类似地可定义 有关,记作:,()lim(,)yfxy,, ,()lim(,)xfxy,xx,yy,00xE,yE,先对后对x yx00y
Kx,lim(),如果进一步存在极限 Ly,lim(),, 的累次极限, xx,yy,00xE,yE,x00y
x,,yxx,,xy则称此极限为f先对先对y(())后对后对y(() )的累次极0000
Kfxy,limlim(,)Kfxy,limlim(,)限,记作 Lfxy,limlim(,),简记Lfxy,limlim(,). xxyy,,xxyy,,yyxx,,yyxx,,00000000xEyE,,yExE,,00xy00yx
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幻灯
xy片 例11.设,求在点( 0 , 0 )的两fxy(,),22xy,25
个累次极限。
xylim,0,当时y,0:,有解:220x,,xy
xy从而有 limlim,0,22yx,,00,xy
xy同理得: limlim0.,22xy,,00,xy
xy注:此例全面极限不存在lim,见例5.22(,)(0,0)xy,,xy
幻灯 22xy,片 例12.设, 求在点( 0 , 0 )的fxy(,),22xy,26
两个累次极限。
222xy,,y解:lim,当时y,0:,有,,1,222x,0xy,y22xy, limlim从而有,,1,22yx,,00xy,
222xy,x同理得: limlim,lim,1.222xy,,000x,xy,x
22xy,lim注:此例中全面极限不存在.22xy,(,)(0,0)xy,
幻灯 11 例13.设,求在点fxyxy(,)sinsin,,片 yx27 ( 0 , 0 )的两个累次极限。
,,11xylimsinsin,当时y,0:不存在,解:,,x,0yx,,
,,11xy从而有 limlimsinsin,不存在.,,yx,,00yx,,
,,11xy同理得: limlimsinsin,不存在.,,xy,,00yx,,
注:此例中全面极存在限事实上lim(,),,fxy(,)(0,0)xy,
11,,xyfxyxy(,)sinsin,,0,,0yx
?,lim(,)0.fxy(,)(0,0)xy,
598933031.doc 第 10 页 共 11 页 幻灯先请同学们,
归纳关2.全面极限与累次极限的关系片 系. ?两个累次极限存在时,可以不相等. (例12) 28
?两个累次极限中的一个存在时, 另一个
可以不存在.
1例如函数在点( 0 , 0 )的情况。 fxyx(,)sin,y
?全面极限存在时, 两个累次极限可以不
存在.如例13。
?两个累次极限存在(甚至相等)
,全面极限存在. ( 参阅例5和例11 ).,
综上所述,全面极限、两个累次极限三者的存在性
彼此没有关系。但有以下确定关系. 幻灯
定理2 若全面极限lim(,)fxy和累次极限片 (,)(,)xyxy,00
29 limlim(,)fxy(或另一次序)都存在,则必相等。 xxyy,,00
证明:设lim(,),fxyA,则 0,,,,(,)(,)xyxy,00
当且时xxyyxyxy,,,,,,,,,(,)(,),,,,0,0000
有:fxyA(,). (1),,,
又当时0 lim(,)(),,,,xxfxyx,,,有:0yy,0
于是中令得, (1), : ().yyxA,,,,,0
?,lim(),,xA即limlim(,)lim(,)fxyfxy,xx,yyxxxyxy,,,(,)(,)00000
幻灯 片 推论1全面极限和两个累次极限三者都存在30 时,三者相等。
推论1给出了累次极限次序可换的一个充分
条件.
推论2两个累次极限存在但不相等时,全面
极限不存在。
但两个累次极限中一个存在,另一个不存在
,全面极限不存在。参阅?的例. ,
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n利用点函数的形式有元函数的极限 31
nDP, 定义5设元函数fP()的定义域为点集0
PD,,,,0是其聚点,是实常数,动点;如果,A
,,,0,,有:|()|fPA,,, ,,PUPD(,),0
DPP,成立,则称函数f在上当时,以为极A0
lim()fPA,限,记为 PP,0PD,
lim()fPA, 也可简记为: PP,0