组合数公式的计算和应用

组合数公式的计算和应用 海南省华侨中学 李红庆 现在普通高中新课程对组合数引起了足够的重视，组合数公式在离散数学中处于承前启后的作用，它既是数列、古典概型、排列数知识的延伸，又是二项式定理、离散型随机变量的概率分布列知识的奠基内容，是离散数学中一个重要的组成部分，要学好组合数公式要掌握相关基本内容与相关链接． 一．基本内容与相关链接 ——组合数公式的两种形式：组合数公式：，这里，并且．这个公式主要用在具体的计算问中．根据阶乘的含义，组合数公式还可以写成另外一种形式：，这个公式主要用在证明有关组合数和数列的命题． ——组合数的两个性质：性质1 ，这个性质主要用在当时，把转化为来计算；性质2 ，这个性质在计算与证明中的作用都比较大，在解题中要注意应用． ——两个重要的结论：1．，这个结论本来是二项式展开式中的重要结论，但我们可以“借用”到组合数的计算与证明问题中；2．，这个结论主要用在与组合数相关的数列问题和恒等式证明中． 二、例题举偶 例1 探求下列式子的结果：   （1）；   （2）． ：组合数公式也有定义域问题，首先要确定正整数的取值范围，它是由组合数公式的限制条件确定的． 解：（1）根据组合数公式的限制条件，原式中的正整数必须适合于不等式组 ，所以． （i） 当时，； （ii） 当时，； （iii） 当时，． （2）根据组合数公式的限制条件，原式中的正整数必须适合于不等式组 ，所以． 那么 ． 例2  已知当时，恒有成立，应用这个结论：     （1）求的值； （2）证明： ． 分析：由重要结论可以变换出其它形式的结论，如：，在涉及到组合数的数列题中比较常见． 解：（1） ， ∴ ． （2）∵通项是 ，∴等式的左边 ．