数值计算中的外推算法1000字

PAGEPAGE1数值计算中的外推算法外推算法（Extrapolationmethod）在数值计算中是一种常用的数值逼近。该方法能够通过有限点的函数值来估算函数在另一个点上的值，并具有高精度和快速收敛的特点，因此在科学计算、工程应用、金融衍生品定价等领域中被广泛应用。外推算法主要是通过利用已知的数列的一些限制性条件，如递推公式、递推关系等，构造新的数列，并利用这些新数列来逼近未知数列的极限值。外推算法通常具有快速收敛、精度高和计算速度快等特点。常用的外推算法有原点外推法、Aitken外推法、Richardson外推法、Shanks外推法、Wynn算法等。原点外推法是最简单的外推算法，可以用来处理一些简答或者线性递推法难以解决的问题。原点外推法是基于拉格朗日插值多项式的一种数值逼近方法。其基本思路是假设一个函数为$f(x)$，已知一个点$(x_0,f(x_0))$，然后用拉格朗日插值多项式$P_n(x)$来逼近$f(x)$，即$f(x)\\approxP_n(x)$，然后用$P_{2n}(x)$来逼近$P_n(x)$。实现过程如下：设已知$f(x_0),f(x_1),\\cdots,f(x_n)$，则$$P_n(x)=\\sum_{i=0}^nf(x_i)\\prod_{j=0,j\eqi}^n\\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$对$P_n(x)$进行平方差外推，得到$$P_{2n}(x)=\\frac{4P_n(x)-P_{n/2}(x)}{3}$$其中，可以将$n$不断加倍，以达到更高的逼近精度。Aitken外推法是一种通用的外推算法，适用于逐级递推的有限数列，特别适用于容易被单调函数逼近的数列。假设已知数列${x_0,x_1,\\cdots,x_n}$，首先构造关于$n$的$m$项多项式$$P_m(n)=\\sum_{i=n-m+1}^nx_i\\prod_{j=i}^{n-m}\\frac{1}{i-j}$$其中$m\\leqn$，然后可以得到$m$项递推列$\\{S_k\\}$，其中$S_k=P_k(n)$：$$S_0=P_0(n)=x_n$$$$S_k=\\frac{(n-k+1)(x_{n-k}S_{k-1}+(k-m)S_{k-2})}{n-m-k+1}$$其中$k=1,2,\\cdots,m$。通过递推计算出$S_k(k\\leqm)$，最终得出逼近值$S_m$。实际上，$P_m(n)$是递推有限差分$F_i^{\\Deltan}$的$\\Deltan^m$阶多项式逆运算，从而可以描述函数的$\\Deltan^m$阶误差。除了Aitken外推法，还有一种广泛应用的外推算法是Richardson外推法，它是将多点插值和递推算法结合起来的一种方法。在该算法中，通过两个相邻的有限差分$F^{\\Deltan}$和$F^{\\Delta(n/2)}$之间的递归关系，构造了一个无限递推序列，从而极大地提高了逼近精度。其递推公式如下：$$R_k^{(n)}=\\frac{4^kR_{k-1}^{(n/2)}-R_{k-1}^{(n)}}{4^k-1}$$其中，$R_0^{(n)}=F^{(n)}$。该方法的精度高、收敛快，相对于其他外推算法，具有更好的稳定和更小的计算量，在数值计算和科学计算中应用广泛。Shanks外推法是通过将差分算子$\abla$（具有线性递推算法）进行外推，形成一个非线性递推算法，并通过对递推算法进行求和，得到一种多项式逼近技术。其递推公式为：$$T_k(x)=\\frac{(T_{k-1}(x))^2-T_{k-2}(x)T_{k-1}(x+\\Deltax)}{T_{k-2}(x+2\\Deltax)-2T_{k-2}(x+\\Deltax)}$$其中$T_i(x)$满足的递推式为$F_i=T_i(x)-T_{i-1}(x)$。通过多次递推，可以得到$T_n(x)$，从而可以得到$F_n$的逼近值。Shanks外推法简单易用，但相较于其他递推法，其在计算过程中容易出现奇异性。Wynn算法是一种基于完全加速方法（FullyAceleratedConvergence，FAC）的外推算法，通过构造一个空间中的交错网格，并在该网格的对角线方向中对数列的增长率进行估计来实现快速收敛。这种算法简单易用、计算速度快，并且适用于广泛的数值逼近问题。