行走问题数学建模

行走问题数学建模 对人行走问题的探究 摘要 本论文主要讨论人在行走时在做功最小的准则下，每秒钟走几步最合适的问题。 为了简化对问题的分析过程，我们将人走路时的状态单纯的看做重心不断上下移动的过程，而且走路的整个过程看作是匀速的，也就是说，人走路作的功为太高人体重心所需势能与两腿运动所需动能的和，而忽略人体外部和内部消耗的其他形式的能。 在计算人体重心升高的过程中，我们运用物理模型分析人体走路的分解动作，人行走分为双腿重合和双腿分开两种情况，在知道步长和腿长的前提下，运用勾股定理，用双腿重合时的重心高度减去双腿分开时的重心高度即为人在行走过程中重心的升高。在知道重心的升高后，又知道行走的速度，这样我们很容易就可以求出单位时间行走需要的动能。 在计算频率的时候，我们分别两种不同假设的前提下建立两种模型，一种是假设将腿看做均匀直杆，行走看做时腿绕腰部的转动，另外一种是将腿的质量集中在脚部，行走看做是脚的直线运动。这两种模型建立后，在速度一定时，求出在做工最小的准则下，每秒应该走的步数，即行走的频率，结果发现，在假设二，也就是将腿的质量集中在脚部时，所得的频率更加符合实际情况。 在解决题中的问题后，我们又对模型进行了进一步的分析，找出缺点和不足，分析模型的实际性，并且对模型进行了进一步的推广，希望能在实际中有更加广泛的应用。 关键词:行走 转动惯量 作功最小 转动动能 1 一、 问题的重述 在如此快节奏的社会中，无论是生活，工作还是学习都追求高效率，走路也不例外，我们也力求最优方式。走的太快就会气喘吁吁，可是走得越慢就越省力吗,现实中的经验告诉我们并非如此。那我们每秒钟应该迈几步更为合适呢,对于不同的人走路方式是 否应该有所区别呢,那么接下来我们就对走路这个过程做一些探究与分析。(1) 计算人体重心在行走时升高多少。 (2) 将腿看做均匀直杆时，行走腿绕腰部的转动，求单位时间所需动能。 (3) 求在速度一定时，每秒行走几步作功最小，分析题中答案是否合理。 (4) 将(2)中的假设修改为:腿的质量集中在脚部，行走看做脚的直线运动，证明 题中给出结果是否合理。 二、 问题的分析 为了简化研究模型，我们可以忽略次要因素，将人的行走时作的功看作是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和，而且整个过程中在此基础上建立模型讨论在作功最小的准则下每秒走几步最合适。 对于问题(1)由于知道了步长和腿长，又由简化图分析可以知道，运用勾股定理可以求出在双腿分开和重合时候的高度差，即人体升高的高度。对于问题(2)，是在将腿看作是均匀直杆的假设的前提下，行走看做是腿绕腰部的转动，行走速度又已知，可以运用物理中关于转动惯量的知识来求出转动动能。在(2)中已经求出单位时间所需动能，问题(1)中也知道了人体重心的升高高度，那么人体消耗的总能量即势能和动能的和，关系式通过平方差公式可以知道在总能最小的准则下，每秒应该走的步数，那么就解决了问题(3)中的问题。可是结果发现，结果并不符合实际。对于问题(4)则是换成了另外一种假设，将腿的质量完全集中在脚部，行走看做脚的直线运动，依然运用转动惯量的知识求出每秒应该走的步数，结果可以发现，与第一次假设相比较，假设二更加符合实际情况。 三、 基本假设 1、人行走时做的功是抬高人体重心所需势能与两腿运动所需动能之和。 2、人匀速行走，其他对步速匀速造成影响的因素全部忽略。 3、人与人之间没有显著的个体差异，走路方式相同，也不考虑路面及其他状况对模型 的影响。 4、在模型I中将行走看作是腿绕腰部的转动，将腿看作均匀直杆。 5、在模型II中假设腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动。 四、 符号说明 l，，m腿长 s ，，m步长 2 ,，，人体重心升高m m 腿的质量，， kg M ，，人体质量kg v ，，行走速度(匀速)m/s u ，，转动动能J p ，，腿单位时间作功w 五、 模型的建立与求解 5.1 针对问题(1): 计算人体在行走时重心升高，分析如右图所示，人体行走时分为两腿分开和两腿重 合部分，人体重心上下不断改变，两腿互相交替，从而达到前进的目的。如图: 人行走时运动状态可进一步简化为如下图所示: 3 图中圆圈部分表示人体重心位置。 2s,,2当两腿分开时，腿根部距离地面: ， l,,,2,, 当两腿重合时，腿根部距离地面:， l 2s,,2所以重心的升高为:， ,,l,l,,,2,, 2s,将上式进行分子有理化可得:， ,,,2s,,,,2，,4ll,,,,2,,,,,, 2s,,2l，l,,2l又因为，， s,l,,2,, 2s,,所以。 8l 5.2 针对问题(2)计算人行走时两腿运动的功率建立模型I: 将腿看作均匀直杆，行走看作腿绕腰部的运动，设腿的质量 ，行走速度 ，由物理学知识可以知道，两腿的转动动能等于转动惯量与转动角速度平方乘积的一半，即: 1v2J,ml， ,,3l 4 1122所以转动动能， u,J,mv,26 s人每行走一步所花时间为，所以两腿运动的功率为: t,v 33u1vmvmv2pmv,,，,，与题中所给结果一致，所以单位时间所需动能为。 t6s6s6s3针对问题(3)同样在模型I的基础上求解: 5. ，因为每步的步长为 假设人在作功最小的准则下的行走频率也就是每秒走的步数为n，所以每秒钟行走的路程为，单位时间的路程即速度，所以，那么两腿单位snsv,ns 3332()mvmnsmns时间的运动动能为,,， 666ss 2sMg,n,Mgn 单位时间内人体抬高重心所需势能为， 8l 人行走单位时间所做的总功为动能和势能的和，即 32233mnssmnMgnmnMgn22Mgns()s2， ，,，,，，68l68l68l 3mnMgn3Mgn,, 只有当，即时总功最小，可证明题中所给。 4ml68l M 可是实际上，，，代入上式得出，每秒钟大约走5~6步显然与,4n,3gl,1m 实际情况不符，结果不合理。 5.4针对问题(4)我们建立模型II: 问题(4)将(2)中的假设改为:腿的质量集中在脚部，行走看作脚的直线运动，在此基础上分析每秒钟应该走几步才合理。 根据物理知识我们仍然可以得出腿的转动动能等于转动惯量与转动角速度平方乘积 2的一半，可是由于腿的质量集中在脚部，所以转动惯量发生变化，，转动角速J,ml 11sv22u,J,mv度没有发生变化，，进而转动动能，时间t,， ,,,22lv 3u1vmv2pmv,,，,所以腿运动时单位时间的动能为， t2s2s 3332()mvmnsmns,,又因为v,ns，那么两腿单位时间的运动动能为， 222ss 所以人行走时单位时间作的总功为 32233mnsMgsnmnMgnmnMgn22s()s2， ，,，,，，28l28l28l 5 3mnMgnMgn,,当，即时，总功最小。结果和题中所给结果一致。 4ml28l M可是由(3)中知道实际上，，那么，每秒钟大约走3步，与(3),4n,gl,1m 相比较当然更加合理。 六、 模型的推广 6.1上班族的生活节奏需要合理的走路方式 由于现代社会生活节奏不断加快，做任何事情都讲究高效高质，走路自然也要跟上时代的步伐，尤其对于上班族来说，早出晚归的生活方式已让人们疲惫不堪，为了在有限的时间干更多的事情，即使走路也追求科学合理，能够在不太累的前提下节约更多的时间，所以应该专门针对上班族的身体状况，生活环境来建立更加全面的模型，以便于为上班族提供合理的走路方式参考。 6.2在道路交通方面的应用 根据实地观测，上海青年人步行速度平均为每秒1.35米至1.51米，中年人步行速度平均为每秒1.37米至1.45米，均高于全国标准。而老年人的平均步速只有每秒0.96米至1.01米，低于全国标准。在双向八车道上，如果过街绿灯时间少于30秒的话，可 斑马线绿灯时间设置太短。《中国城市道路交通规划设能有15%的老人无法一次过街， 计》中设定的行人步速为1.1米/秒，实际上，由于车辆的前后夹击，行人要达到这个速度比较难，特别是老年人。就30米宽的马路而言，在道口等待的行人过街，需要28秒，但市内不少斑马线绿灯时间只有10-20秒，不少人过马路，经常跑步前进。不少路口行人绿灯间隔时间都在60秒以上。 所以由以上数据和本次模型的建立情况，我们可以依据不同年龄段人的步速情况，做一个统计分析，设定合理的斑马线绿灯时间，给交通部门提出合理化建议，为我国的道路交通顺畅和人民群众的生活便捷尽自己的绵力。 6.3在竞走比赛中为队员提供科学数据 与大多数人相比较，竞走队员的身高，腿长和身体的耐力方面显然更有优势，那么建立模型时，这些因素自然要重新考虑，为了给竞走队员更加安全面的，细致的分析，无论是在中心位置的确定还是步长的估计，人体体重还是腿的质量，都要重新考虑在内，这样才更接近实际情况，比赛中才能充分发挥实力，取得优异的成绩。 七、 模型的评价 本模型是建立在人行走时做的总功只与抬高人体重心所需的势能和两腿运动所需动能有关系的基础之上，不考虑人体内部及外部能量的所有损耗，并且在人行走时始终认为是匀速行走的。显然有很多因素没有考虑在内，结果自然有很大误差，与实际情况未必贴合的紧密，因而本次模型建立所得结论也仅供参考，不能作为实际生活中人们的行走规范。 在对问题进行解答的过程中，由于腿长和步长设为已知，所以很容易计算出人体重心升高，也就很容易得到人行走时所需势能。对于人行走时所需动能的求解，我们分别建立两种模型，一种是将腿看作均匀直杆，行走时看作腿绕腰部的转动的情况，另一种是把腿看做质量都集中在脚部，行走时看作脚的直线运动的情况，二者均通过物理方法 6 进行作功分析，并结合相应的计算与优化，结果发现后者将腿的质量集中在脚部的模型算出的步速与实际更为相符，更合理。但是二者同时也存在缺陷，因为都不能准确反映人体行走过程中真正的能量消耗情况。同时受不同年龄，不同身体素质，不同道路环境等其他因素的影响，结果也不尽相同。在建立模型过程中，很大部分依赖物理分析方法，可是，许多变量是受外界因素影响的，比如: 影响转动惯量的三个因素: (1) 刚体自身的性质如质量，大小和形状。 (2) 质量的分布(质量分布越靠近边缘转动惯量越大)。 (3) 转轴的位置(同一个刚体对于不同的轴转动惯量不同。 除此之外，在人体重心和腿部重心的确定方面也难免会有误差。人个体本身身体条件的不同也会对模型结果造成影响，如果一个人质量较大而腿的质量相对较小，那么他应该走得快些;如果一个人质量较小而腿的质量相对较大，那么他走的应该慢些;如果一个人的腿较长，那么他应该走的慢些。当道路平坦的时候，我们当然要走的快点，当道路坎坷崎岖的时候，自然要放慢脚步。所以，在整个模型建立过程中，我们忽略的外部和内部的其他因素的影响太多，应该对于不同群体进行分别的建模，这样在实际应用过程中人们才能对号入座，寻找对自己来说最合适的走路方案。 参考文献: [1] 汪培庄，应用模糊数学(修订版)，北京:首都经济贸易大学出版社，1998 [2] 黄健元,模糊集及其应用,银川:宁夏人民教育出版社 ,2002; [3] 叶其孝,大学生数学建模竞赛辅导材料(三)，长沙:湖南教育出版社，1998 ; [4] 李美丽，浅谈数学建模竞赛的命题，2010.08.11。 7 附录 2，即刚体内所有质点的质量与该点到轴的距离平方1、转动惯量的定义:J,mru,uii 的乘积之和成为刚体对轴的转动惯量， u 2J,rdm， 若刚体的质量连续分布，则转动惯量的表达式改为:u,M其中， 12均质等截面细直杆对于通过杆端且与杆垂直的轴转动惯量:， zJml,z3 2J,mr均质等截面细圆环对于通过圆心且垂直于环面的轴转动惯量:。 zz 1112222E,mv,mr,J,,2、刚体绕定轴转动的转动动能:。 ,,kiiii222ii a，b,2ab3、平方差公式，当且仅当时等式两边相等。 a,b 4、勾股定理:在一个直角三角形中，两条直角边长度的平方相加等于斜边长度的平方。 来自Ada的努力 8